第15章 轴对称图形与等腰三角形测试·提升卷（答案及评分标准）-沪科版(2024)八上

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第十五章轴对称图形与等腰三角形·能力提升（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）12345678910ABCBDBDBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．12．2013．3014．或三、解答题（共4小题，每小题8分,共32分）15．（本题8分）已知：如图，D是等腰中边上一点，E是上的一点，，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查等边对等角及角的和差计算，结合图形得出，，然后作差即可证明．【详解】证明：∵等腰，∴，∴，∵，∴，∴∠ABC∴．（8分）16．（本题8分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．

(1)求证：；(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．【答案】(1)见解析(2)36【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可证明；（2）由，，得出为直角三角形，，再根据，得出，进而求出的长，进而求解．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（4分）（2）解：∵，，∴为直角三角形，，∵，∴，∴，∴的周长为：．（8分）17．（本题8分）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行．(1)求点的坐标；(2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标；(3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，作轴对称图形，解题关键是正确作出图形．（1）先根据点的坐标及与轴平行，求出点的横坐标，再根据，，，求出点的纵坐标即可；（2）作出关于轴对称的，根据轴对称的性质求出，两点的坐标；（3）作出与关于轴对称，再求出各顶点的坐标．【详解】（1）解：∵点的坐标为，与轴平行，∴点的横坐标为，∵，，，∴点的纵坐标为1，∴点的坐标为；（2分）（2）如图所示，即为所求．∵点的坐标为，点的坐标为，关于轴对称的，∴点的坐标，点的坐标；（5分）（3）如图，即为所求．∵与轴平行，，点的坐标为，∴，∵点的坐标为，点的坐标为，与关于轴对称，∴．（8分）18．（本题8分）尺规作图：如图，某快递公司要在区域修建一个快递中转站．要满足中转站到两个城镇的距离必须相等，到两条高速公路的距离也必须相等，中转站应修建在什么位置？在图上标出中转站的位置．（保留必要的作图痕迹）【答案】作图见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和角平分线的作法，熟练掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法是解答关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，解平分线上的点到角的两边的距离相等来求解．【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，再作两条高速公路夹角的平分线相交于点，则，到两条高速公路的距离也必须相等，点即为所求．（8分）四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19．（本题10分）如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明；（2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可．【详解】（1）证明：连接，如图，平分，于E，交的延长线于F，,在和中，，∴，，是中点，；（5分）（2）解：由(1)知：在和中，，,，，，．（10分）20．（本题10分）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G．(1)求证：G为中点；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证；（2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵和为等边三角形，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即平分，又∵，∴，即G为的中点；（5分）（2）解：如图，与交于点M，由（1）可得，∴，∵，∴，在中，，∴．（10分）五、解答题（共2小题，每小题12分，共24分）21．（本题12分）如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先利用等腰三角形得出，再由，结合直角三角形两锐角互余，推出，通过对顶角相等得到，从而得证．（2）根据已知角的关系和直角三角形性质求出，再利用含角的直角三角形的性质求出，最后结合的长度求出．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴；（6分）（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴．（12分）【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．22．（本题12分）如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．(1)求；(2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有；(3)当t取何值时，与全等．【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理．（1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可；（2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明；（3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，，∴，∴；（4分）（2）证明：∵，，∴，∵动点E以的速度从A点向F点运动，且动点G以的速度从C点向A点运动，又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，∴，．∴，∴，∴在运动过程中，不管t取何值，都有；（8分）（3）解：∵在与中，，∴，∴，∵点E以的速度从A点向F点运动，且动点G以的速度从C点向A点运动，又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t，∴，．∴，∴，①当M在线段上时，，当时，与全等，∴，解得；②当M在线段延长线上时，，当时，与全等，∴，解得：，∴当或时，与全等．（12分）解答题（共1小题，每小题14分，共14分）23．（本题14分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，．(1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______．(3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示．【答案】(1)成立，理由见解析(2)90,6(3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等，【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案；对于（2），仿照（1）解答即可；对于（3），添加条件仿