2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（北京）含答案解析

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷02（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（）A．B．C．5D．22．圆心为，且半径为的圆的方程是（）A．B．C．D．3．已知两个向量，且，则（）A．B．C．D．4．已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（）A．B．C．D．5．在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（）/A．B．C．D．6．已知圆和圆，则它们的位置关系是（）A．外离B．相切C．内含D．相交7“”是“直线与平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知直线：和直线：，则与间的距离最短值为（）A．1B．C．D．29．已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．10满足为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（）A．1B．2C．3D．4共二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。．直线的倾斜角为.12．已知空间向量，则./13．已知长方体的底面是正方形，，，为棱的中点，则.14．已知点P是圆上的动点，直线：，：P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0（1）的最大值为；（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是．15．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有①．当向运动时，二面角的大小不变②．二面角的最小值为③．当向运动时，总成立④．在方向上的投影向量为三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1614分）已知向量，，(1)求的值；(2)求；(3)求的最小值.1713分）已知的三个顶点，，.(1)求过点且与直线平行的直线的方程；(2)求边的高线所在直线的方程.1814分）已知向量，，./（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.1915分）已知圆上三点坐标分别为．(1)求该圆的一般方程；(2)求弦BC垂直平分线的方程；(3)求的面积．2015分）已知点和圆C：.(1)求圆C的圆心坐标及半径的大小；(2)求过点P且与圆C相切的直线方程；(3)若直线：与圆C交于OA：与圆C交于O，两点,且直线AB恒过定点.2115分）如图，在长方体中，和交于点E，F为AB的中点.(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（i）平面与平面的夹角的余弦值；（ii）点A到平面的距离.条件①：；条件②：与平面所成角为.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分./

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷02第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678910ADBDBBCCCC共二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．012．13．814.315.①②④(答对1个或2个得3分，错1个0分)三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1614分）1）因为，，所以，又因为，所以.（6分）（2）因为，，所以.（3）因为，，所以，所以，当时，取得最小值，则最小值为.（14分）1713分）1/61）由，可知，故所求直线的方程为，即.（6分）（2）易知，则所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.（13分）1814分）【解析】解：(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.（6分）(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.（14分）1915分）1）设圆的一般方程为.将，，分别代入方程可得：解得，，.2/6所以圆的一般方程为.（5分）（2中点坐标，，.垂直平分线的斜率为.根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即.（10分）（3）.直线的方程为，即.点到直线的距离.所以的面积.（15分）2015分）1）由题可知，所以圆的圆心为，半径为.（4分）（2）当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切；当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切，则有所以过点P且与圆C相切的直线方程为，.（9分）（3）由题可知，显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为，联立得所以有所以3/6由题可知，所以有所以此时此时的直线方程为故过定点.（15分）2115分）1）连接相交于点G，连接EG，则G是的中点，由长方体的性质知，点E是的中点，所以，，而F是AB的中点，且，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（4分）（2）选择条件①：，以D为原点建立空间直角坐标系，设，则，所以，若，则，解得5分）（ⅰ），所以，设平面CEF的法向量为，则，令x=1，则，所以，4/6设平面BCE的法向量为，则，令b=1，则，所以，所以，故平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为.（ⅱ），由（ⅰ）平面CEF的法向量为，所以点A到平面CEF的距离为.选择条件②：BD与平面ADDA1所成角为，以D为原点建立空间直角坐标系，设，则D（0，0，0B（2，t，2所以，平面的一个法向量为，因为与平面所成角为，所以，解得10分）（ⅰ），所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，5/6所以，故平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为.（13分）（ⅱ），由（ⅰ）平面的法向量为，所以点A到平面的距离为.（15分）6/6

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷02全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则（）A．B．C．5D．2【答案】A【解析】若，所以，故.故选：A.2．圆心为，且半径为的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知圆心为，且半径为，则圆的方程是.故选：D./3．已知两个向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】向量，且，则存在实数，使得，即，所以,解得,故，故选：B4．已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线，即，令，解得，所以直线恒过点.故选：B5．在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（）A．B．C．D．【答案】D/【解析】解：点是靠近的三等分点，.故选：D.6．已知圆和圆，则它们的位置关系是（）A．外离B．相切C．内含D．相交【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为，故，故圆与圆的位置关系为相切.故选：B.7．“”是“直线与平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线，则，解得：.所以“”是“直线的充分必要条件.故选：C8．已知直线：和直线：，则与间的距离最短值为（）/A．1B．C．D．2【答案】C【解析】因为直线：即为，可知直线与直线平行，则与间的距离，当且仅当时，等号成立，所以与间的距离最短值为.故选：C.9．已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得点在以线段为直径，中点为圆心的动圆上，令圆的圆心为，则，当且仅当时取等号，而点在圆上，则圆与圆必有公共点，显然点在圆外，于是，又有最小值2，无最大值，因此无最大值，，所以的取值范围是.故选：C10满足为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】直线过定点，对于任意确定的点，/当时，此时，当不垂直时，过点作，此时，如图所示：因为，所以，所以，由上可知：当确定时，即为，且此时；又因为在如图所示的正方形上运动，所以，当取最大值时，点与重合，此时，所以，故选：C.共二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。．直线的倾斜角为.【答案】0/【分析】根据直线与坐标轴平行可得倾斜角.【解析】因为直线与轴平行，所以直线的倾斜角为.故答案为：12．已知空间向量，则.【答案】【分析】利用空间向量的坐标运算，来求向量的模.【解析】由，故答案为：./13．已知长方体的底面是正方形，，，为棱的中点，则.【解析】解：以、、所在直线分别为轴,轴，轴建立空间坐标系，如图所示：则,,,所以，所以.故答案为：.14．已知点P是圆上的动点，直线：，：，记P到直线，的距离分别为，（若P在直线上，则记距离为0），（1）的最大值为；（2）若当点P在圆上运动时，为定值，则m的取值范围是．【答案】3【解析】（1）圆，圆心，半径为，圆心到直线的距离，所以P到直线的距离的最大值为；（2）/当时，两直线重合，不符题意；当时，直线，平行，若当点P在圆上运动时，为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线与圆相离，所以，解得或，又因为当时，直线，在圆同侧，不符合题意，所以，故答案为：3，.15．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有①．当向运动时，二面角的大小不变②．二面角的最小值为③．当向运动时，总成立④．在方向上的投影向量为【答案】①②④【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，/则，，，因为在上，且，故可设，，，所以，.对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面，故当向运动时，二面角的大小不变，①对；对于②，设平面的法向量为，又，所以取，则，所以是平面的一个法向量，又平面的一个法向量为，所以，设二面角的平面角为，则为锐角，故，因为，故，所以，当且仅当时取最大值，此时取最小值，②对；对于③，因为，故不恒为零，③错；对于④，因为，，所以，故在方向上的投影向量为，④对.故选：①②④./三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（14分）已知向量，，(1)求的值；(2)求；(3)求的最小值.16．（14分）【解析】（1）因为，，所以，又因为，所以.（2）因为，，所以.（3）因为，，所以，所以，当时，取得最小值，则最小值为.17．（13分）已知的三个顶点，，.(1)求过点且与直线平行的直线的方程；(2)求边的高线所在直线的方程.17．（13分）【解析】（1）由，可知，故所求直线的方程为，即./（2）易知，则所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.18．（14分）已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.18．（14分）【解析】解：(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.19．（15分）已知圆上三点坐标分别为．(1)求该圆的一般方程；(2)求弦BC垂直平分线的方程；(3)求的面积．19．（15分）/【解析】（1）设圆的一般方程为.将，，分别代入方程可得：解得，，.所以圆的一般方程为.（2中点坐标，，.垂直平分线的斜率为.根据点斜式可得弦垂直平分线的方程为，即.（3）.直线的方程为，即.点到直线的距离.所以的面积.20．（15分）已知点和圆C：.(1)求圆C的圆心坐标及半径的大小；(2)求过点P且与圆C相切的直线方程；(3)若直线：与圆C交于OA：与圆C交于O，两点,且直线AB恒过定点.20．（15分）【解析】（1）由题可知，所以圆的圆心为，半径为.（2）当过点直线斜率不存在时，为，显然此时与圆相切；当过点直线斜率存在时，设为，若与圆相切，则有/所以过点P且与圆C相切的直线方程为，.（3）由题可知，显然可以竖直，但是不能水平，故设的直线方程为，联立得所以有所以由题可知，所以有所以此时此时的直线方程为故过定点.21．（15分）如图，在