2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（泸教版）含答案解析

/NUMPAGES2025-2026学年高二数学上学期第一次月考直线与圆的方程卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。5．难度系数：0.61。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1直线与直线垂直，则实数2.已知直线，，则直线、的夹角为3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是4.一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为5.与圆，同时相切的直线有条6.若方程仅表示一条直线，则k的取值范围是7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P，若光线QR经过△ABC的重心，则AP=．9．已知直线l:xsinα−ycosα+1=0α∈R①直线l的一个法向量是sinα,cosα；②直线l的斜率是tanα；③对任意α∈R，直线l都不过原点；④存在α∈R，使直线l与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是．10．设a∈R，k∈R，三条直线l1:ax−y−2a+5=0，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为11．已知圆O:x2+y2=r过点P作圆O的两条互相垂直的弦AC,BD，则四边形ABCD面积的最大值为.12.在直角坐标平面xOy中，已知两定点、位于动直线的同侧，设集合点与到直线l的距离之差等于1，，记，，则由T中的所有点组成的图形面积是二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13.已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③14.“”是“直线（）与圆相交”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.已知平面向量a，b，c满足：a=b=c=1，aA．172 B．2 C．5216.在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为（）A.B.C.D.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知m∈R，设直线l1：x−my+1=0，直线l2：mx−4y−m+4=0.（1）若l1（2）当l1与l2相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点18．已知直线l:2x−3y+1=0，点A(−1，（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M(2，2)，且被圆A截得的弦长为27人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点)和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭.（1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程；（2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由.如图，已知满足条件z−3i=3−i为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数z=x+yix,y∈R对应的点为x，x+3y+6=0，过A−1,0的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、QM是弦PQ中点．（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当PQ=23时，求直线（3）设t=AM⋅AN，试问t是否为定值？若为定值，请求出t21.如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线，切点分别为M、N，若，则称P为圆T的环绕点.（1）当圆O半径为1时，①在、、中，圆O的环绕点是；②直线与轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围；（2）圆T的半径为1，圆心为，以（）为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在圆T的环绕点，直接写出t的取值范围.2025-2026学年高二数学上学期第一次月考直线与圆的方程卷全解析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。5．难度系数：0.61。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1直线与直线垂直，则实数1．【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：2.已知直线，，则直线、的夹角为2．【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.【详解】将直线方程化为斜截式方程得，所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以直线与的夹角是故答案为：3.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是3．3x-2y=0或x+y-5=0【分析】分截距为0时和截距不为0时两类讨论，分别求出直线的方程可得答案．【详解】当截距为0时，直线方程为3x-2y=0；当截距不为0时，设直线方程为，则，解得a=5，所以直线方程为x+y-5=0.综上，直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故答案为：3x-2y=0或x+y-5=0.4.一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为4．【分析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，又点，所以，直线的方程为：，由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:.故答案为：.5.与圆，同时相切的直线有条5．【分析】判断两个圆的位置关系，由此确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；圆心距，所以两圆相交，公切线有条.故答案为：.6.若方程仅表示一条直线，则k的取值范围是6．或【分析】先将原方程变形，再分类讨论，即可求得实数的取值范围．【详解】原方程可变形为，∴①显然，时，；当时，①式右边有两值，则直线不唯一；当时，①式右边一正一负，负值不满足，故所求的取值范围是或．故答案为或．7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，若已知△ABC的顶点、，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是7．或【分析】设，依题意可确定的外心为，可得出一个关系式，求出重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为，∴①由，，重心为，代入欧拉线方程，得②由①②可得或.故答案为：或.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.8．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P，若光线QR经过△ABC的重心，则AP=．8．43.【分析】建立平面直角坐标系，求出直线BC与直线QR的解析式，即可得出AP【详解】由题意，如图建立直角坐标系：

则B(4，0)，C(0，4)，直线BC方程为x+y=4即y=−x+4，三角形重心为0+0+43，0+4+03即43，43，设直线QR斜率为4−a−04−−a=4−a4+a，直线方程为y=4−a4+a(x+a)过重心，即3a29．已知直线l:xsinα−ycosα+1=0α∈R①直线l的一个法向量是sinα,cosα；②直线l的斜率是tanα；③对任意α∈R，直线l都不过原点；④存在α∈R，使直线l与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是．9．③【分析】①根据直线方程即可得出法向量；②根据直线方程即可得出斜率；③将0，【详解】由题意，在直线l:xsinα−ycosα+1=0α∈R中，直线的方向向量为n法向量为n2=sinα，−cosα，①错误；当α=当x=0，y=0时，代入直线方程得，l:1=0，显然不存在，故对任意α∈R，直线l都不过原点，③正确；当直线和两坐标轴都相交时，交点为三角形的面积为121cosα⋅1sinα使直线l与坐标轴围成的三角形面积小于1，④错误，故答案为：③.10．设a∈R，k∈R，三条直线l1:ax−y−2a+5=0，则l1与l2的交点M到l3的距离的最大值为10．5+2/2+5.【分析】根据直线l1与l2的的方程易知l1⊥l2，而得到l1与l2的交点M在以AB为直径的圆上，求出圆心和半径，结合到原点的距离加半径解出．【详解】因为a×1+−1×a=0，所以l1⊥l2．而直线l1:ax−y−2a+5=0，整理为ax−2−y+5=0，令x−2=0−y+5=0，解得：x=2y=5，故l1过定点A2,5，l2:x+ay−3a−4=0，变形为x−4+ay−3=0，过定点B4，3，所以l1与l2的交点即(3−0)2+(4−0)已知圆O:x2+函数fx=loga2x−1+2AC，BD，则四边形ABCD面积的最大值为11．5【分析】先根据相切求半径，再求出定点，最后求得四边形ABCD面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.【详解】由题意圆O:x2+y2半径为d=r=|−10|32+42=105作OE⊥AC，OF⊥BD垂足分别为E、F，∵AC⊥BD，∴四边形已知OA=OC=2，OP=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d四边形ABCD的面积为：S=1从而：S=1当且仅当d12=d22时即12.在直角坐标平面xOy中，已知两定点、位于动直线的同侧，设集合点与到直线l的距离之差等于1，，记，，则由T中的所有点组成的图形面积是12．【详解】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分；∴阴影部分的面积为，故答案为.选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13.已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③13．D【分析】根据倾斜角、斜率的知识对个命题进行分析，由此确定正确答案.【详解】①，时，直线的斜率不存在，①错误；②，，直线的倾斜角为，不是，②错误；③，当时，，③错误；所以不正确的是①②③.故选：D.14.“”是“直线（）与圆相交”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14．A【分析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解【详解】当时，直线为，过圆心，故直线与圆相交，当直线与圆相交时，圆心到直线的距离，化简得，显然恒成立，不能推出，所以“”是直线与圆相交的充分不必要条件，故选：A.15.已知平面向量a，b，c满足：a=b=c=1，aA．172 B．2 C．5215.【答案】A【分析】如图，⊙O为单位圆，A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，根据相似三角形和向量的运算，结合向量的几何意义即可求出．【详解】如图，⊙O为单位圆，A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠BOA=πB′在OB的延长线上，OB′=2，B′′为OB中点，A′为OA中点，A′′在OB的延长线上，OA′′=2，设a=OA，b=OB，C为⊙O上一点，c=OC，则OA′OC′=OC2c−∴|2c16.在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为（）A.B.C.D.16．C【分析】先分析出极距的含义，就是直角三角形中较小的直角边的大小.先用几何法求出PQ的最小值，再求P，Q两点之间的极距.【详解】如图示：在平面直角坐标系内，，作出直角三角形,则由极距的定义知，就是直角三角形中较小的直角边的大小；因为点是直线上的动点，是圆上的动点，要使PQ最小，则，最小，此时.设直线l交x轴于A，交y轴于B,因为直线l的斜率为-2，所以，过P作轴，过Q作轴，则,所以在直角三角形中，P，Q两点之间的极距即为RQ,设，则,所以，解得：，即，所以P，Q两点之间的距离最小时的极距为，故选：C.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知m∈R，设直线l1：x−my+1=0，直线l2：mx−4y−m+4=0.（1）若l1（2）当l1与l2相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点17．（1）m=−2；（2）Im−2m+2,2m+2，点【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得m，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上.【详解】（1）因为l1∥l2，所以当m=2时，直线l1：x−2y+1=0，直线l2：2x−4y+2=0即当m=−2时，直线l1：x+2y+1=0，直线l2：−2x−4y+6=0即x+2y−3=0，符合题意，故（2）由（1）知，当l1，l2相交时m≠±2，联立x−my+1=0mx−4y−m+4=0，解得x=因为x+2y=m−2m+2+2×2m+2=m+218．已知直线l:2x−3y+1=0，点A(−1，（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M(2，2)，且被圆A截得的弦长为2718．（1）B(−3313，413)；（2）【分析】（1）设点B(m,n)，由A,B关于直线l对称，列出方程，解得m,n，得到点B的坐标；（2）设P(x,y)是直线m上任意一点，则点P关于点A的对称点在直线l，用代入法可求得直线m的方程；（3）用垂径定理将弦长为27，转化为圆心A到直线n的距离为2，设出直线n的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线n【详解】解：（1）设点B(m,n)，则n+2m+1⋅2即点A关于直线l的对称点B的坐标为(−33（2）设P(x，y)是直线m上任意一点，则点P(x，y)在直线l上，所以2(−2−x)−3(−4−y)+1=0，即2x−3y−9=0；（3）设圆心A到直线n的距离为d，直线n被圆A截得的弦长为27，因此d=当直线l斜率不存在时，x=2不满足条件；当直线l斜率存在时，设其方程为y−2=k(x−2)，则|3k−4|1+解得k=12±307，综上，直线l的方程为y=19.人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点)和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭.（1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程；（2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由.19.【答案】（1），，；（2）【分析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l的交点，即为所求.【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等故故即故故李叔叔负责区域边界的曲线方程为（2）圆心关于的对称点为则有，解得，，联立与，可得交点为，王阿姨和李叔叔为交流登记信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.20.如图，已知满足条件z−3i=3−i为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数z=x+yix,y∈R对应的点为x，x+3y+6=0，过A−1,0的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、QM是弦PQ中点．（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当PQ=23时，求直线（3）设t=AM⋅AN，试问t是否为定值？若为定值，请求出t20．（1）证明见解析；（2）x+1=0或4x−3y+4=0；（3）是，t=−5【分析】（1）通过圆心C和A计算出l的斜率kl，m的斜率已知为km，计算kl⋅k对直线l的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法PQ=2R2−d圆的半径）求解斜率；（3）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，l先与圆的方程联立求从而求解出AM的坐标表示，同理l与m联立求解出AN的坐标表示，由此计算t是否为定值.【详解】（1）因为z−3i=3−i，所以C:又因为A−1,0，所以kl=3−00−−1=3，而k（2）当直线l的斜率不存在时，l:x=−1，此时d=1，所以PQ=2当l的斜率存在且为k时，l:y=kx+1，即kx−y+k=0，则d=所以由PQ=2R2−d2=2综上：直线l的方程为x+1=0或4x−3y+4=0（3）当直线l的斜率不存在时，易知M−1,3所以AM=0,3,AN=当直线l的斜率存在且为k时，设l:y=kx+1，P联立y=kx+1x2+y−3所以xM=x1+x2又由y=kx+1x+3y+6=0，可得N−3k−6故t=AM⋅AN=−15k−5【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，难度较难：（1）复数的常见轨迹问题：z−z0=rr>0表示以z0对应的点为圆心，半径为r的圆；z−z121.如图，在平面直角坐标系xOy中，过圆T外一点P引它的两条切线，切点分别为M、N，若，则称P为圆T的环绕点.（1）当圆O半径为1时，①在、、中，圆O的环绕点是；②直线与轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在圆O的环绕点，求b的取值范围；（2）圆T的半径为1，圆心为，以（）为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在圆T的环绕点，直接写出t的取值范围.21.（1）①P1，P3；②或；（2）-2<t≤4.【分析】（1）①当时，结合切线长定理可得TP=2TM，然后以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图可得答案，②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E，当直线经过点E时，b=1，当直线与大圆相切于K(在第二象限)时，结合勾股定理可求出的值，从而可求出的取值范围；如图以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上，然后分⊙T的圆心在y轴的正半轴上时和当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时结合切线长定理两种情况求解【详解】（1）①P1，P3；如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM=∠TPN=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT=∠PNT=90°，∴TP=2TM，以T为圆心，TP为半径作⊙T，观察图象可知：当60°≤∠MPN<180°时，⊙T的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点).如图中，以O为圆心2为半径作⊙O，观察图象可知，P1，P3是⊙O的环绕点，故答案为P1，P3.②如图，设小圆交y轴的正半轴与于E，当直线经过点E时，b=1；当直线与大圆相切于K(在第二象限)时，连接OK，由题意B(0，b)，A(-2b，0)，∴OB=b，OA=2b，，∵OK=2，•AB•OK=•OA•OB，∴，解得，观察图象可知，当时，线段AB上存在⊙O的环绕点，根据对称性可知：当时，线段AB上存在⊙O的环绕点，综上所述，满足条件的b的值为或；（2）如图3中，不妨设E(m，m)，则点E在直线y=x上，∵m>0，∴点E在射线OE上运动，作EM⊥x轴，∵E(m，m)，∴OM=m，EM=，∴以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图象可知，以E(m，m)(m>0)为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上；当⊙T的圆心在y轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于D，连接TD.∵，∴∠EOM=30°，∵ON，OM是⊙E的切线，∴∠EON=∠EOM=30°，∴∠TOD=30°，∴OT=2DT=4，∴T(0，4)，当⊙T的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点O(0，0)时，T(0，-2)，观察图象可知，当-2<t≤4时，在图形H上存在⊙T的环绕点.【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线长定理，直线与圆的位置关系，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想问题，学会利用特殊位置解决数学问题.属于压轴题.

2025-2026学年高二上学期第一次月考卷数学·答案及评分参考（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：沪教版2020选修第一册第一、二章直线和圆的方程章节。5．难度系数：0.61。一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．2．3．3x-2y=0或x+y-5=04．5．6.或7．或8．439．③10．5+2/2+511．512．选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．D14．A15．A16．C三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．已知m∈R，设直线l1：x−my+1=0，直线l2：mx−4y−m+4=0.（1）若l1（2）当l1与l2相交时，求交点I的坐标（用m表示），并证明点17．（1）m=−2；（2）Im−2m+2,2m+2，点【分析】（1）根据直线平行的条件列方程可得m，然后验证是否重合可得；（2）联立直线方程求解可得点I的坐标，然后消参可知点I在定直线上.【详解】（1）因为l1∥l2，所以1×(−4)=(−m)×m，解得当m=2时，直线l1：x−2y+1=0，直线l2：2x−4y+2=0即显然此时两直线重合……2分，当m=−2时，直线l1：x+2y+1=0直线l2：−2x−4y+6=0即x+2y−3=0，符合题意，故m=−2……2分由（1）知，当l1，l2相交时m≠±2，联立x−my+1=0mx−4y−m+4=0∴Im−2m+2,2m+2……2分，因为x+2y=所以点I恒在定直线x+2y−1=0上……2分.18．已知直线l:2x−3y+1=0，点A(−1，（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点M(2，2)，且被圆A截得的弦长为2718．（1）B(−3313，413)；（2）【分析】（1）设点B(m,n)，由A,B关于直线l对称，列出方程，解得m,n，得到点B的坐标；（2）设P(x,y)是直线m上任意一点，则点P关于点A的对称点在直线l，用代入法可求得直线m的方程；（3）用垂径定理将弦长为27，转化为圆心A到直线n的距离为2，设出直线n的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线n【详解】（1）设点B(m，n)，则n+2m+1即点A关于直线l的对称点B的坐标为(−33（2）设P(x，y)是直线m上任意一点，则点P(x，y)在直线l上……2分，所以2(−2−x)−3(−4−y)+1=0，即2x−3y−9=0……（3）设圆心A到直线n的距离为d，直线n被圆A截得的弦长为27，因此d=当直线l斜率不存在时，x=2不满足条件……2分；当直线l斜率存在时，设其方程为y−2=k(x−2)，则|3k−4|1+k2=2综上，直线l的方程为y=12+30719.人口普查期间，作为街道工作人员的叶阿姨和王叔叔需要上门登记每户的家庭成员信息，叶阿姨和王叔叔分别需上门走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过叶阿姨家(点)的东西和南北走向的街道，且王叔叔家在叶阿姨家的东偏北45度方向，以点0为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知张姓家庭(即点)和李姓家庭(即点)是王叔叔负责区域中最远的两个家庭.（1）求出k，并写出叶阿姨和王叔权负责区域边界的曲线方程；（2）叶阿姨和王叔叔为交流登记信息，满在华山路(直线)上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由.19.【答案】（1），，；（2）【分析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l的交点，即为所求.【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：，李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向……2分，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等，故……2分，故即故，……2分，故李叔叔负责区域边界的曲线方程为……2分；（2）圆心关于的对称点为则有……2分，解得，……2分，联立与，可得交点为，王阿姨和李叔叔为交流登记信息，可选择在地点碰面，距离之和最近……2分.20.如图，已知满足条件z−3i=3−i为圆C（圆心为C），设复平面xOy上的复数z=x+yix,y∈R对应的点为x，x+3y+6=0，过A−1,0的一条动直线l与直线m相交于N点，与圆C相交于P、QM是弦PQ中点．（1）若直线l经过圆心C，求证：l与m垂直；（2）当PQ=23时，求直线（3）设t=AM⋅AN，试问t是否为定值？若为定值，请求出t20．（1）证明见解析；（2）x+1=0或4x−3y+4=0；（3）是，t=−5【分析】（1）通过圆心C和A计算出l的斜率kl，m的斜率已知为km，计算kl⋅k对直线l的斜率是否存在分类讨论，利用几何方法PQ=2R2−d圆的半径）求解斜率；（3）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时通过数值直接计算即可；斜率存在时，l先与圆的方程联立求从而求解出AM的坐标表示，同理l与m联立求解出AN的坐标表示，由此计算t是否为定值.【详解】（1）因为z−3i=3−i，所以C:x2又因为A−1,0，所以kl=3−00−−1=3，而km=−1（2）当直线l的斜率不存在时，l:x=−1，此时d=1，所以PQ=2满足题意……2分；当l的斜率存在且为k时，l:y=kx+1，即kx−y+k=0，则d=k−31+所以由PQ=2R2−d2=23，得综上：直线l的方程为x+1=0或4x−3y+4=0……2分当直线l的斜率不存在时，易知M−1所以AM=0，3，当直线l的斜率存在且为k时，设l:y=kx+1，P联立y=kx+1x2+y−32=4所以xM=x1+所以AM=1+3k1+k2，3k故t=AM⋅AN=−15k−5【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，难度较难：（1）复数的常见轨迹问题：z−z以z0对应