2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（人教B版）含答案解析

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册第一章~第二章2.3节。第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，则（）A．B．C．D．2．设，，向量，且，则（）A．1B．2C．3D．43经过点的倾斜角是直线的倾斜角的2）A．B．C．D．4．到直线的距离为1的直线方程为（）A．B．C．或D．或5．对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A．B．C．D．1/47中，，沿处于与所成角的余弦值取值范围是（）A．B．C．D．8与直线交于点关于直线对称的点为，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9中，为的中点，则（）A．B．C．D．10．圆和圆的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线的方程为B．公共弦AB所在直线的方程为C．公共弦AB的长为D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为．已知直线过定点，则下列说法正确的是（）A．直线过定点B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为C．若直线在轴上的截距为－3，则D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为2/4共三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12经过点轴、轴分别交于、的方程为.13．已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则.14．对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）已知直线．(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．1615分）已知空间中三点，，．(1)设，且，求的坐标；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；(3)求的面积．3/41715分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点．(1)求的轨迹方程；(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．1817分）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点．(1)证明：平面；(2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB．1917分）已知曲线.(1)在答题卡中画出C的大致图形，并说明理由.(2)若是C上的动点，，，证明：为定值.(3)若直线与C的所有交点的纵坐标之和大于，求m的取值范围.4/4

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DCADBDCD二、选择题：本题共3小题，每小题618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．910ACDADACD共三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．1）由直线可得斜率为，2分所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得；6分（2）联立，解得，即直线与的交点为，分当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；分当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，1/5依题意，解得，此时直线方程为，即12分综上所述：所求直线方程为或．13分161）由已知得．因为，所以可设，所以，解得，分所以或．分（2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，由，，，得，，7分所以，故．分（3）由题可得，，所以，，所以，分又，所以，所以的面积．分171）设点的坐标为，则点的坐标为，点为圆上的动点，，化简得，故的轨迹方程为．3分（2）圆的圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，2/5此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，化简得，因为，所以圆心到直线的距离，9分由圆心到直线的距离公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，故直线的方程为，即．13分综上，直线的方程为或．15分181）如图①，连接BO并延长交AC于D．连接OA，，易得平面ABC．分因为平面ABC，平面ABC，所以，．3/5又，所以，即，故．4分因为，所以，则，，即，故，所以，故O为BD的中点，又E是的中点，所以，又平面，平面，所以平面．7分（2）因为，故以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，过点A作，建立如图②所示的空间直角坐标系Axyz，8分易得，设，，则，故，，，，，则，，，10分设平面AEC的法向量为，则，则，令，得，故，13分设直线AB与平面EAC所成的角为θ，则解得，即．分4/5191）由，得或，所以C由两条直线与圆组成.分故C的图形如图所示.............................................................................................................6分（2）因为，所以点P在圆上，所以，所以为定值.10分（3）将代入，得，将代入，得，则.因为，所以l不经过点，依题意可得，l与圆的所有交点的纵坐标之和大于.12分当时，l与C的所有交点的纵坐标之和为，所以不符合题意.14分当时，联立消去x，得.因为l过定点，且该点在圆的内部，所以l与圆总有两个交点.设l与圆的交点为，，则，解得，故m的取值范围为.分5/5

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷全解全析（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册第一章~第二章2.3节。第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】若，，则.故选：D.2．设，，向量，且，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】设、，向量，且，，解得，又因为，所以，解得，所以，故选：．1/153经过点的倾斜角是直线的倾斜角的2）A．B．C．D．【答案】A【详解】由得，设的倾斜角为，所以，故，故直线的斜率为，故选：A4．到直线的距离为1的直线方程为（）A．B．C．或D．或【答案】D【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或，即所求直线方程为或．故选：D．5．对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】空间任意一点和不共线的三点，令，若，则，，，，所以四点共面，所以充分性成立；2/15若四点共面，当与四个点中的一个（比如点）重合时，，可取任意值，不一定有，即不一定有，所以不能得到，故必要性不成立，所以“”是“四点共面”的充分不必要条件，故选：B.6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A．B．C．D．【答案】D【详解】化为，圆心为，半径为2所以点到圆心的距离为，则切线长为，所以，则.故选：D7．如图，四边形中，，．现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C3/15【详解】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为．因为，所以．又，所以，取中点，连接，，则，，所以，又因为，．所以在中，，即，又由，．因为，所以．所以，即又因为，所以．因为异面直线所成角范围为，所以直线与所成角的余弦值取值范围是．故选：C.8与直线交于点关于直线对称的点为，则的取值范围是（）A．B．C．D．4/15【答案】D【详解】由，解得，可得，所以，即，当时，，则无意义；当时，，当且仅当即等号成立；当时，，当且仅当即等号成立；综上，，或.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出点坐标，代入利用基本不等式求最值.二、选择题：本题共3小题，每小题618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9中，为的中点，则（）5/15A．B．C．D．【答案】ACD【详解】依题意可得，同理，，故C正确；连接，则，故A正确；，故B错误；，故D正确.故选：ACD.10．圆和圆的交点为A，B，则有（）A．公共弦AB所在直线的方程为B．公共弦AB所在直线的方程为C．公共弦AB的长为D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为【答案】ADAB所在直线的方程为A正确，B错误，6/15由，易知，半径，则点到直线的距离，故弦长；故C正确，当，并在如图所示位置时，P到直线AB的距离最大，为；故选：AD.．已知直线过定点，则下列说法正确的是（）A．直线过定点B．若直线不经过第四象限，则的取值范围为C．若直线在轴上的截距为－3，则D．若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为【答案】ACD【详解】对于A，直线，即，令，解得，故直线过定点，故A正确；对于B，直线，即，直线不经过第四象限，，解得，故的取值范围是，故B错误；对于C，易知时，直线在轴上的截距存在，依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得．对于D，设三点共线，7/15，整理得，当且仅当，即时等号成立，当取得最小值时，直线的方程为，即．故选：ACD.共三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12经过点轴、轴分别交于、的方程为.【答案】【详解】依题意，设，，则，，则，由得，解得，则，，则直线的斜率为，方程为即.故答案为：.13．已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则.【答案】【详解】设动点，则有，由，由于为常数,所以，解得或，因为，所以，8/15故答案为：.14．对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是.【答案】【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系，则，设，则，所以，即，所以；，令，则，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是.故答案为：；9/15四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）已知直线．(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．1）由直线可得斜率为，2分所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得；6分（2）联立，解得，即直线与的交点为，分当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；分当直线的截距都不为0时，假设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，即12分综上所述：所求直线方程为或．13分1615分）已知空间中三点，，．(1)设，且，求的坐标；(2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标；(3)求的面积．1）由已知得．10/15因为，所以可设，所以，解得，分所以或．分（2）设，因为ABCD是平行四边形，所以，由，，，得，，分所以，故．分（3）由题可得，，所以，，所以，分又，所以，所以的面积．15分1715分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点．(1)求的轨迹方程；(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．1）设点的坐标为，则点的坐标为，点为圆上的动点，，化简得，故的轨迹方程为．3分（2）圆的圆心坐标为，半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，11/15此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为，化简得，因为，所以圆心到直线的距离，分由圆心到直线的距离公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，故直线的方程为，即．13分综上，直线的方程为或．15分1817分）如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为，，，，，E是的中点．(1)证明：平面；12/15(2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为，求AB．1）如图①，连接BO并延长交AC于D．连接OA，，易得平面ABC．分因为平面ABC，平面ABC，所以，．又，所以，即，故．4分因为，