2025年高中数学上册《函数》专项训练卷

2025年高中数学上册《函数》专项训练卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若集合A={x|x^2-3x+2≤0},B={x|x-a∈R^+},则A∩B=?(A){x|1≤x≤2}(B){x|x≥2}(C){x|x≤1或x≥2}(D){x|x∈R}2.函数f(x)=log_a|x|(a>0,a≠1)的图像关于哪条直线对称？(A)x=0(B)y=x(C)y=-x(D)y=03.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为？(A)3(B)-3(C)2(D)-24.函数g(x)=2^x-1的反函数g^(-1)(x)的定义域是？(A)(-∞,+∞)(B)(0,+∞)(C)(-1,+∞)(D)(-∞,0)5.函数h(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是？(A)π/2(B)π(C)2π/3(D)3π/26.已知函数f(x)=e^x-kx在整个实数集R上单调递增，则实数k的取值范围是？(A)k≤e(B)k≥e(C)k<e(D)k>e7.若函数m(x)=x^2-2kx+k+1在x∈[1,+∞)上恒为正值，则实数k的取值范围是？(A)k<0或k>3(B)k≤0或k≥3(C)0≤k≤3(D)-1≤k≤48.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+1，且f(0)=1，则f(2025)的值为？(A)2025(B)2026(C)2015(D)2016二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）9.函数f(x)=sqrt(4-x^2)的值域是________。10.若函数g(x)=(1/3)^(-x)+ax+b在x=-1时取得最小值-1/3，则a+b的值为________。11.函数h(x)=tan(x-π/4)的图像的一个对称中心是________。12.若函数f(x)=x^3-3x+2的图像与直线y=kx+1有且仅有两个交点，则实数k的取值范围是________。13.已知a>1，b∈(0,1)，则log_ab与log_ba的大小关系是________（填“<”或“>”）。14.设函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是________。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x^2+2ax+3，讨论函数f(x)的单调性。16.(本小题满分12分)求函数g(x)=ln(x+sqrt(x^2+1))的反函数g^(-1)(x)的定义域和值域。17.(本小题满分14分)设函数h(x)=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)-1。(1)求函数h(x)的最小正周期及对称轴方程；(2)求函数h(x)在区间[-π/2,π/2]上的最小值。18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=e^x-ax^2。(1)若a=1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。19.(本小题满分16分)设函数F(x)=f(x)+f(1-x)，其中f(x)=xlnx-x+1。(1)求函数F(x)的单调区间；(2)若对任意x1,x2∈(0,1]，有|F(x1)-F(x2)|≤1，求实数k的取值范围。20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|(a∈R)。(1)当a=2时，画出函数y=f(x)的图像，并求其与坐标轴围成的图形的面积；(2)讨论关于x的方程f(x)=k有两个不同实数解的条件。试卷答案一、选择题1.(A)2.(A)3.(A)4.(C)5.(B)6.(A)7.(D)8.(A)二、填空题9.[0,2]10.111.(π/4,0)12.k<-3或k>313.<14.3三、解答题15.解：f'(x)=2x+2a。令f'(x)=0，得x=-a。当a>0时，f'(x)<0当且仅当x∈(-∞,-a)，f'(x)>0当且仅当x∈(-a,+∞)。故f(x)在(-∞,-a]上单调递减，在(-a,+∞)上单调递增。当a<0时，f'(x)<0当且仅当x∈(-a,+∞)，f'(x)>0当且仅当x∈(-∞,-a)。故f(x)在(-∞,-a]上单调递增，在(-a,+∞)上单调递减。当a=0时，f'(x)=2x，故f(x)在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增。综上，当a>0时，f(x)的减区间为(-∞,-a]，增区间为(-a,+∞)；当a<0时，f(x)的减区间为(-a,+∞)，增区间为(-∞,-a]；当a=0时，f(x)的减区间为(-∞,0]，增区间为[0,+∞)。16.解：令g(x)=y，则y=ln(x+sqrt(x^2+1))。由ln(x+sqrt(x^2+1))>0得x+sqrt(x^2+1)>1，即sqrt(x^2+1)>1-x>0，解得x>0。故反函数g^(-1)(x)的定义域为(0,+∞)。由y=ln(x+sqrt(x^2+1))得x+sqrt(x^2+1)=e^y。平方得2x=e^y-1，即x=(e^y-1)/2。故反函数g^(-1)(x)=(e^x-1)/2。由g(x)=y得y=ln(x+sqrt(x^2+1))≤ln(1+sqrt(1^2+1^2))=ln(1+sqrt(2))。等号成立当且仅当x=1。故g(x)的值域为(-∞,ln(1+sqrt(2)))。因此，反函数g^(-1)(x)的值域为(-∞,ln(1+sqrt(2)))。答：反函数g^(-1)(x)的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,ln(1+sqrt(2)))。17.解：h(x)=2sin(x+π/6)cos(x-π/6)-1=sin(2x+π/3)-1。(1)函数h(x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。对称轴方程为2x+π/3=kπ+π/2，k∈Z，即x=kπ/2+π/12，k∈Z。(2)在区间[-π/2,π/2]上，k=0,1。当x∈[-π/2,π/2]时，2x+π/3∈[-2π/6,5π/6]。函数sin(θ)在[-π/6,5π/6]上的最小值为-1/2（当θ=-π/6时取到）。故h(x)的最小值为-1/2-1=-3/2。答：(1)最小正周期为π，对称轴方程为x=kπ/2+π/12，k∈Z。(2)最小值为-3/2。18.解：(1)当a=1时，f(x)=e^x-x^2。f'(x)=e^x-2x。令g(x)=e^x-2x，则g'(x)=e^x-2。令g'(x)=0，得x=ln2。当x∈(-∞,ln2)时，g'(x)<0；当x∈(ln2,+∞)时，g'(x)>0。故g(x)在(-∞,ln2]上单调递减，在[ln2,+∞)上单调递增。g(x)的最小值为g(ln2)=2-2ln2。又g(0)=1>g(ln2)，g(1)=e-2<g(ln2)。故f'(x)<0当且仅当x∈(-∞,0)∪(ln2,+∞)；f'(x)>0当且仅当x∈(0,ln2)。故f(x)的减区间为(-∞,0]∪[ln2,+∞)，增区间为[0,ln2]。(2)f'(x)=e^x-2ax。由题意，f'(1)=e-2a=0，解得a=e/2。此时f'(x)=e^x-e^x=e^x(e^(1-x)-2a/e)=e^x(e^(1-x)-1)。当x∈(-∞,1)时，e^(1-x)>1，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，e^(1-x)<1，f'(x)>0。故f(x)在x=1处取得极小值。答：(1)减区间为(-∞,0]∪[ln2,+∞)，增区间为[0,ln2]。(2)a=e/2，极小值。19.解：F(x)=f(x)+f(1-x)=xlnx-x+1+(1-x)ln(1-x)-(1-x)+1=xlnx+(1-x)ln(1-x)-x+1+x=xlnx+(1-x)ln(1-x)+1。F(1-x)=(1-x)ln(1-x)+xlnx+1=F(x)。故F(x)是偶函数。只需讨论x∈[0,1]。F'(x)=lnx-ln(1-x)。令F'(x)=0，得lnx=ln(1-x)，即x=1-x，解得x=1/2。当x∈[0,1/2)时，lnx<0,ln(1-x)>0，F'(x)<0；当x∈(1/2,1]时，lnx>0,ln(1-x)<0，F'(x)>0。故F(x)在[0,1/2]上单调递减，在[1/2,1]上单调递增。F(x)在x=1/2处取得最小值F(1/2)=(1/2)ln(1/2)+(1/2)ln(1/2)+1=-ln2+1。F(x)在x=0时取得值F(0)=0ln0+1ln1+1=1。F(x)在x=1时取得值F(1)=1ln1+0ln0+1=1。故F(x)在[0,1]上的最小值为-ln2+1。由题意，对任意x1,x2∈(0,1]，有|F(x1)-F(x2)|≤1。即-1≤F(x1)-F(x2)≤1。等价于F(x1)-1≤F(x2)≤F(x1)+1。令k=F(x)-1，则k在[0,1]上的最大值为(-ln2+1)-1=-ln2，最小值为1-1=0。故对任意x∈(0,1]，k≤-ln2，k≥0。即-ln2≤F(x)-1≤0，等价于1-ln2≤F(x)≤1。由于F(x)在(0,1]上的最小值为-ln2+1，最大值为1，故k的取值范围是[0,1]。答：(1)单调减区间为[0,1/2]，单调增区间为[1/2,1]。(2)k的取值范围是[0,1]。20.解：(1)当a=2时，f(x)=|x-1|+|x-2|。①x≤1时，f(x)=(1-x)+(2-x)=3-2x。②1<x<2时，f(x)=(x-1)+(2-x)=1。③x≥2时，f(x)=(x-1)+(x-2)=2x-