译林版高中一年级数学上册期末试卷

译林版高中一年级数学上册期末试卷班级：________姓名：________分数：________考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={1,2,3}，则A与B的关系是（）A.A=BB.A⊂BC.B⊂AD.无包含关系2.函数f(x)=√(2x-1)+1/(x-2)的定义域是（）A.[1/2,+∞)B.[1/2,2)∪(2,+∞)C.(1/2,2)∪(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A.f(x)=-x+1B.f(x)=x²-2xC.f(x)=1/xD.f(x)=2^x4.已知sinα=3/5，α是第二象限角，则cosα的值为（）A.4/5B.-4/5C.3/4D.-3/45.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)+f(0)的值为（）A.-2B.0C.1D.27.已知log₂a=3，log₂b=4，则log₂(ab)的值为（）A.7B.12C.3/4D.4/38.函数f(x)=x²-4x+3在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是（）A.3,-1B.3,0C.0,-1D.4,-1二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9.已知集合A={0,1,2}，B={2,3,4}，则A∩B=________，A∪B=________。10.计算：2^(-1)+log₃9-(√2)^0=________。11.已知tanα=2，则(sinα+cosα)/(sinα-cosα)的值为________。12.函数f(x)=2x²-4x+1的单调递减区间是________。13.已知函数f(x)=3x+2，若f(a)=8，则a的值为________。14.已知函数f(x)=sinx+cosx，则f(π/4)的值为________，函数f(x)的最大值为________。三、解答题（本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（12分）已知集合A={x|x²-4x-5≤0}，B={x|x<2}，求A∩B和(∁ᵣB)∩A。解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________16.（12分）已知函数f(x)=x²-2ax+2（a为常数），x∈[-1,1]。（1）若a=1，求函数f(x)的最大值和最小值；（2）若函数f(x)在区间[-1,1]上是单调函数，求实数a的取值范围。解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________17.（14分）已知函数f(x)=logₐ(x+1)-logₐ(1-x)（a>0且a≠1）。（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；（3）若a>1，解不等式f(x)>0。解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（14分）已知sinα=1/3，α∈(π/2,π)，cosβ=-1/4，β∈(π,3π/2)，求sin(α+β)和cos(α-β)的值。解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.（14分）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件（x≥20），每天的销售量为(100-x)件，设每天的利润为y元。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（14分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π/2）的部分图象如图所示（考试时提供图象，此处略），其图象经过点(0,1)，且在x=π/12时取得最大值2。（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的取值范围。解：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案及评分标准（附后）一、选择题（每小题5分，共40分）1.B2.B3.D4.B5.B6.A7.A8.A二、填空题（每小题5分，共30分）9.{2}；{0,1,2,3,4}10.211.312.(-∞,1]13.214.√2；√2三、解答题（共80分）15.（12分）解：先解集合A中的不等式x²-4x-5≤0，即(x-5)(x+1)≤0，解得-1≤x≤5，所以A={x|-1≤x≤5}。（4分）因为B={x|x<2}，所以A∩B={x|-1≤x<2}。（6分）∁ᵣB={x|x≥2}，则(∁ᵣB)∩A={x|2≤x≤5}。（12分）16.（12分）解：（1）当a=1时，f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1。（2分）因为x∈[-1,1]，所以当x=1时，f(x)取得最小值1；当x=-1时，f(x)=(-1-1)²+1=5，取得最大值5。（6分）（2）函数f(x)=x²-2ax+2的对称轴为x=a。（8分）因为函数在[-1,1]上是单调函数，所以对称轴x=a≥1或x=a≤-1，即实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞)。（12分）17.（14分）解：（1）由题意得{x+1>0,1-x>0}，解得-1<x<1，所以定义域为(-1,1)。（4分）（2）奇函数。证明：定义域(-1,1)关于原点对称，f(-x)=logₐ(-x+1)-logₐ(1+x)=-[logₐ(x+1)-logₐ(1-x)]=-f(x)，所以f(x)是奇函数。（8分）（3）当a>1时，f(x)>0即logₐ(x+1)>logₐ(1-x)，因为a>1时对数函数单调递增，所以{x+1>1-x,-1<x<1}，解得0<x<1，不等式的解集为(0,1)。（14分）18.（14分）解：因为sinα=1/3，α∈(π/2,π)，所以cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-1/9)=-2√2/3。（3分）因为cosβ=-1/4，β∈(π,3π/2)，所以sinβ=-√(1-cos²β)=-√(1-1/16)=-√15/4。（6分）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(1/3)×(-1/4)+(-2√2/3)×(-√15/4)=(-1+2√30)/12。（10分）cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-2√2/3)×(-1/4)+(1/3)×(-√15/4)=(2√2-√15)/12。（14分）19.（14分）解：（1）利润y=(x-20)(100-x)=-x²+120x-2000。（4分）自变量x的取值范围是20≤x≤100（因为销售量100-x≥0）。（6分）（2）y=-x²+120x-2000=-(x-60)²+1600。（10分）因为-1<0，所以抛物线开口向下，当x=60时，y取得最大值1600。（12分）即当售价为60元时，每天的利润最大，最大利润是1600元。（14分）20.（14分）解：（1）由图象可知A=2（最大值为2）。（2分）因为图象经过点(0,1)，所以f(0)=2sinφ=1，即sinφ=1/2。又|φ|<π/2，所以φ=π/6。（6分）因为在x=π/12时取得最大值，所以2sin(ω×π