2025年高中数学必修1真题模拟卷

2025年高中数学必修1真题模拟卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},则A∩B=.（A）{x|x<-1}（B）{x|1≤x<2}（C）{x|x≥1}（D）{x|-1<x≤1}2.“x²=1”是“x=1”的.（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3.若命题p:“存在x∈R,使得x²+x+1=0”,则命题p的否定“¬p”是.（A）存在x∈R,使得x²+x+1≠0（B）对任意x∈R,使得x²+x+1=0（C）对任意x∈R,使得x²+x+1≠0（D）不存在x∈R,使得x²+x+1=04.函数f(x)=x³-3x的单调递减区间是.（A）(-∞,-1)∪(1,+∞)（B）(-1,1)（C）(-∞,0)（D）(0,+∞)5.函数g(x)=log₃(x-1)的定义域是.（A）(-∞,1]（B）[1,+∞)（C）(-1,+∞)（D）(-∞,-1)6.若a=2¹⁰,b=10³,则a与b的大小关系是.（A）a>b（B）a<b（C）a=b（D）无法比较7.函数h(x)=x²的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的函数图像对应的解析式是.（A）y=(x-2)²+1（B）y=(x+2)²+1（C）y=x²-2x（D）y=x²-2x+28.若幂函数f(x)=axⁿ的图像经过点(4,2),则a的值是.（A）2（B）4（C）1/2（D）1/4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A∪B=.10.函数f(x)=√(x-1)的定义域是.11.若函数g(x)=2-3^x是减函数，则实数k的取值范围是.12.已知函数h(x)=log₅(x+k)在区间(0,+∞)上是减函数，则实数k的取值范围是.13.比较大小：log₂(3)log₂(5)（填“>”,“<”或“=”）.14.若a>1,b∈(0,1),则ab与a的关系是（填“>”,“<”或“=”）.三、解答题：本大题共4小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分16分）设集合A={x|x²-5x+6≥0},B={x|2a-1≤x≤a²+1}。（1）求集合A；（2）若A∩B=∅,求实数a的取值范围。16.（本小题满分18分）已知函数f(x)=x²-4x+3,g(x)=2^x。（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）解不等式f(x)<g(1)。17.（本小题满分18分）设函数h(x)=log₃(2x+1)。（1）求函数h(x)的定义域；（2）求函数h(x)的反函数h⁻¹(x)，并写出其定义域。18.（本小题满分18分）比较3^x与x³的大小（x∈R）。（提示：可构造函数f(t)=3^t-t³，讨论其单调性）（1）写出函数f(t)=3^t-t³的定义域；（2）求函数f(t)的导数f'(t)；（3）讨论函数f(t)的单调性，并由此比较3^x与x³的大小。试卷答案1.B2.B3.C4.B5.B6.A7.B8.D9.{1,2,3,4,5,6}10.[1,+∞)11.k>112.k<-113.<14.>15.解：（1）由x²-5x+6≥0得(x-2)(x-3)≥0,解得x≤2或x≥3。故A={x|x≤2或x≥3}。（2）由A∩B=∅,得B⊆A^c,其中A^c={x|2<x<3}。①若B=∅,则2a-1>a²+1,即a²-2a+2<0。此不等式无解。②若B≠∅,则需满足：{①}2a-1≤a²+1⇒a²-2a≥0⇒a≤0或a≥2。{②}a²+1<2⇒a²<1⇒-1<a<1。由{①}和{②}得a的取值范围是(-1,0]。综上，实数a的取值范围是(-1,0]。16.解：（1）函数f(x)=x²-4x+3的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x=2。故f(x)在区间(-∞,2]上单调递减。（2）g(1)=2¹=2。解不等式x²-4x+3<2,即x²-4x+1<0。Δ=16-4=12>0。设u(x)=x²-4x+1,对称轴为x=2。u(2)=1²-4*2+1=-3<0。故不等式的解集为(2-√3,2+√3)。17.解：（1）由2x+1>0得x>-1/2。故函数h(x)的定义域为(-1/2,+∞)。（2）令y=log₃(2x+1)。则2x+1=3^y,即x=(3^y-1)/2。反函数h⁻¹(x)的解析式为h⁻¹(x)=(3^x-1)/2。由定义域可知，h(x)的值域为R，故h⁻¹(x)的定义域为R。18.解：（1）函数f(t)=3^t-t³的定义域为(-∞,+∞)。（2）f'(t)=3^t*ln(3)-3t²。（3）令φ(t)=f'(t)=3^t*ln(3)-3t²。求φ(t)的导数φ'(t)：φ'(t)=3^t*(ln(3)²)-6t。令ψ(t)=φ'(t)=3^t*(ln(3)²)-6t。讨论ψ(t)的符号：①当t<0时，3^t∈(0,1)，(ln(3)²)>0，-6t>0。故ψ(t)>0。②当t=0时，ψ(0)=1*(ln(3)²)-0=(ln(3)²)>0。③当t>0时，3^t>1，(ln(3)²)>0，-6t<0。需要比较3^t*(ln(3)²)与6t的大小。令h(t)=3^t*(ln(3)²)-6t。求h(t)的导数h'(t)：h'(t)=3^t*(ln(3)²)*ln(3)-6=3^t*(ln(3)³)-6。当t=1时，h'(1)=3*(ln(3)³)-6。因为ln(3)>1，所以(ln(3)³)>2，h'(1)>0。由于h'(t)随t增大而增大（因为3^t*(ln(3)³)>0），且h'(1)>0，可以推断存在t₀∈(1,+∞)使得h'(t₀)=0。当t∈(0,t₀)时，h'(t)<0；当t∈(t₀,+∞)时，h'(t)>0。因此，h(t)在(0,t₀)上单调递减，在(t₀,+∞)上单调递增。又h(0)=1*(ln(3)²)-0=(ln(3)²)>0，h(t)在(0,+∞)上递增，且h(0)>0。所以，当t>0时，h(t)≥h(0)>0，即ψ(t)>0。综上，φ'(t)=ψ(t)>0对所有t∈R恒成立。因此，f'(t)在R上单调递增。由于f'(0)=3^0*ln(3)-3*0²=ln(3)>0。故f'(t)>0对所有t∈R恒成立。这说明函数f(t)在R上是单调递增函数。因此，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)。即当x₁<x₂时，3^x₁<3^x₂。另一方面，x³=(3^log₃(x))³=3^(3*log₃(x))。令t=log₃(x)，则x³=3^(3t)。要比较3^x与x³，即比较3^x与3^(3*log₃(x))。等价于比较x与3*log₃(x)的大小。令φ(t)=t-3*log₃(t)。求φ(t)的导数φ'(t)：φ'(t)=1-3/(t*ln(3))=(t*ln(3)-3)/(t*ln(3))。令φ'(t)=0得t*ln(3)=3，即t=3/(ln(3))。当t∈(0,3/(ln(3)))时，φ'(t)<0；当t∈(3/(ln(3)),+∞)时，φ'(t)>0。因此，φ(t)在(0,3/(ln(3)))上单调递减，在(3/(ln(3)),+∞)上单调递增。φ(1)=1-3*log₃(1)=1-0=1>0。由于3/(ln(3))>1，且φ(t)在(0,3/(ln(3)))上递减，在(3/(ln(3)),+∞)上递增，且φ(1)=1>0，可以推断φ(t)≥φ(1)=1对所有t>0恒成立。即t-3*log₃(t)≥1对所有t>0恒成立。令t=x，则x-3*log₃(x)≥1对所有x>0恒成立。等价于x-1≥3*log₃(x)对所有x>0恒成立。等价于3*log₃(x)≤x-1对所有x>0恒成立。等价于log₃(x³)≤log₃(3^(x-1))对所有x>0恒成立。由于对数函数log₃(x)在(0,+∞)上单调递增，且x³>0,3^(x-1)>0对所有x>0恒成立，因此，上式等价于x³≤3^(x-1)对所有x>0恒成立。由前面的分析知，当x₁<x₂时，有3^x₁<3^x₂。要得到x³≤3^(x-1)，即3^log₃(x³)≤3^(x-1)，即x³≤3^x/3。即3*x³≤3^x对所有x>0恒成立。由前面的分析知，当x₁<x₂时，有3^x₁<3^x₂。要得到3*x₁³≤3^x₁对所有x₁,x₂>0恒成立，只需证明x³≤3^x对所有x>0恒成立。而前面已经证明了当x₁<x₂时，有3^x₁<3^x₂，即x₁³≤3^x₁对所有x₁,x₂>0恒成立。因此，x³≤3^x对所有x>0恒成立。即x³≤3^