2025考研专业课《概率论与数理统计》卷

2025考研专业课《概率论与数理统计》卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（请将正确选项前的字母填在答题纸上。每小题2分，共10分。）1.设事件A与B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，则下列结论正确的是（）。（A）P(A|B)=P(A)（B）P(A|B)=0（C）P(A∪B)=P(A)+P(B)（D）P(B|A)=P(B)2.已知随机变量X的分布律为P(X=k)=C(k+1)/20，k=1,2,3，则常数C等于（）。（A）3（B）4（C）5（D）63.设随机变量X～N(μ,σ²)，Y=1/(σ√(2π))*∫_μ^xe^(-(t-μ)²/(2σ²))dt，则Y的分布函数F(y)在y=0处的值为（）。（A）0（B）1/2（C）1/e（D）1-1/e4.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(1,2)，则随机变量Z=2X-Y的均值E(Z)和方差D(Z)分别为（）。（A）-1,6（B）-1,5（C）1,6（D）1,55.从均值为λ（λ>0）的泊松分布总体中抽取容量为2的简单随机样本X₁，X₂，则样本方差S²的期望E(S²)等于（）。（A）λ（B）λ/2（C）2λ（D）λ²二、填空题（请将答案填在答题纸上。每小题3分，共15分。）6.设A,B,C为三个事件，若A∪B=A∪C，且A∩B⊆A∩C，则P(B-C)=__________。7.设随机变量X的密度函数为f(x)={c(x-1),0<x<2;0,其他}，则常数c=__________。8.设随机变量X～N(μ,4)，Y～N(μ,9)，且X与Y相互独立，记U=X+Y，V=X-Y，则协方差Cov(U,V)=__________。9.设总体X～N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xn为样本，样本均值为X̄，样本方差S²，则统计量T=(n-1)S²/σ²服从______分布，自由度为______。10.从总体中抽取样本容量为n的样本，若用样本均值X̄和样本方差S²分别估计总体的期望μ和方差σ²，则X̄是μ的______估计量，S²是σ²的______估计量。三、计算题（请写出详细计算过程。每小题5分，共20分。）11.一批产品共10件，其中有3件次品。现从中不放回地抽取3件，求抽到的次品件数X的分布律。12.设随机变量X的密度函数为f(x)={1/π(1+x²),-∞<x<∞;0,其他}，求随机变量Y=1/X的密度函数f_Y(y)。13.设随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)={c(x+y),0<x<1,0<y<x;0,其他}，求常数c及边缘密度函数f_X(x)。14.从正态总体N(10,4)中抽取容量为9的样本，样本均值为X̄。求X̄大于9.5的概率。四、综合应用题（请写出详细解答过程。每小题10分，共30分。）15.甲乙两人约定在下午1点至2点之间在某地会面，先到者等待另一人15分钟，过时就离开。假设两人在下午1点至2点之间（60分钟内）的任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。16.设总体X～N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知。样本容量为n，样本均值为X̄。记θ=μ-1，欲用X̄对θ进行估计。（1）求θ的无偏估计量；（2）求该估计量的方差。17.从总体中抽取样本容量为n的样本X₁,X₂,…,Xn，总体均值记为μ，总体方差记为σ²（σ²>0）。考虑统计量T=(X̄-a)/(S/√n)，其中a为已知常数，X̄为样本均值，S为样本标准差。（1）当总体X服从正态分布N(μ,σ²)时，证明T服从t分布，并指出其自由度；（2）当总体分布未知，但n足够大时，说明T近似服从什么分布，并指出其理由。试卷答案一、单项选择题1.B2.C3.B4.A5.A二、填空题6.P(A∩B^C)7.1/38.-59.χ²;n-110.无偏；一致三、计算题11.解：次品件数X可能取值为0,1,2,3。P(X=0)=C(7,3)/C(10,3)=35/120=7/24。P(X=1)=C(7,2)C(3,1)/C(10,3)=21/120=7/40。P(X=2)=C(7,1)C(3,2)/C(10,3)=21/120=7/40。P(X=3)=C(3,3)/C(10,3)=1/120。或写成分布律：X0123P7/247/407/401/12012.解：y=g(x)=1/x，x=h(y)=1/y，h'(y)=-1/y²。f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|=f_X(1/y)*|(-1/y²)|=|1/(π(1+(1/y)²))|*|(-1/y²)|=1/(π(y²+1))*1/y²=1/(π(y²+1))，y∈(-∞,∞)。即f_Y(y)={1/(π(y²+1)),y∈(-∞,∞);0,其他}。13.解：由∫_0^1∫_0^xc(x+y)dydx=1，得c∫_0^1[xy+y²/2]_0^xdx=c∫_0^1(x²+x³/2)dx=c[x³/3+x⁴/8]_0^1=c(1/3+1/8)=c(11/24)=1，故c=24/11。f_X(x)=∫_0^x(24/11)(x+y)dy=(24/11)[xy+y²/2]_0^x=(24/11)(x²+x³/2)=(12/11)x(2+x)，0<x<1。即f_X(x)={(12/11)x(2+x),0<x<1;0,其他}。14.解：X̄~N(μ,σ²/n)=N(10,4/9)。P(X̄>9.5)=P((X̄-10)/(2/3)>(9.5-10)/(2/3))=P(Z>-1.5)=1-P(Z≤-1.5)=1-0.067=0.933。（或查表得0.9332）四、综合应用题15.解：设甲到达时间为x，乙到达时间为y，x,y∈[0,60]。会面的条件是|x-y|≤15。这是一个几何概型问题，样本空间Ω的面积为60*60=3600。会面区域A由|x-y|≤15表示，即y-15≤x≤y+15。在xy平面上，该区域由四条直线x=y-15,x=y+15,x=0,x=60围成。该区域面积为60*60-2*(60-15)*(60-15)=3600-2*45*45=3600-4050=-450。这显然不对，重新分析。会面区域A是夹在x=y-15和x=y+15之间的带状区域，在样本空间内。其边界与x=0,x=60的交点分别为(0,15),(0,-15)（舍去），(45,60),(60,45)。面积为矩形面积-两个三角形面积=60*60-2*(1/2)*45*45=3600-2*2025=3600-4050=-450。仍然错误。正确的会面区域是两条平行线x=y-15和x=y+15在正方形[0,60]×[0,60]内的部分。其面积为2*(1/2)*45*45=2025。故所求概率P=面积A/面积Ω=2025/3600=45/80=9/16。16.解：（1）θ=μ-1。欲用X̄估计θ，令μ̂=X̄，则θ̂=μ̂-1=X̄-1。E(θ̂)=E(X̄-1)=E(X̄)-1=μ-1=θ。故θ̂是θ的无偏估计量。（2）Var(θ̂)=Var(X̄-1)=Var(X̄)=σ²/n。（因为常数1的方差为0）即该估计量的方差为σ²/n。17.解：（1）当X～N(μ,σ²)时，X̄～N(μ,σ²/n)，且S²是σ²的无偏估计量。T=(X̄-a)/(S/√n)=[(X̄-μ)+(μ-a)]/(S/√n)=(X̄-μ)/(S/√n)+[(μ-a)/(S/√n)]。由于X̄-μ∼N(0,σ²/n)，故(X̄-μ)/(σ/√n)∼N(0,1)。又T=(X̄-μ)/(S/√n)=(X̄-μ)/(√[(n-1)S²/(n-1)])∼t(n-1)。（由抽样分布定理）而(μ-a)/(S/√n)是一个随机变量除以一个随机变量（S/√n），其分布一般不是t分布。但若将T写为T=(X̄-μ)/(S/√n)+(μ-a)/(S/√n)，其中第一项服从t(n-1)分布，第二项不服从t分布。因此，此形式不能说明T整体服从t分布。题目可能设问有误。如果题目意图是考察T的第一项，则T的第一项服从t(n-1)分布，自由度为n-1。如果题目意图是考察T的形式，则不能直接断言T服从t分布。（2）当总体分