备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线2基础知识抛物线4

.10抛物线两条切线的交点——双切线模型焦点在x轴如图所示，直线和抛物线交于A、B两点，过点A、B分别作切线交于点P，设，，则点P的坐标为．因此，过点P作PQ平行x轴，交AB于点Q，则Q是弦AB的中点．证明易知抛物线在点A、B处的切线方程为：，即，由①－②可得：，即，进而易得．记忆说明显然，切线交点P的纵坐标是两个切点A、B纵坐标和的一半，而横坐标和抛物线的替换性质很相似，这又是为何？如图所示，不妨设直线AB和x轴交于点，由于极点M对应的极线是，因此，点P的横坐标必定也是，再结合抛物线的替换性质有，显然是一致的！例如，直线CD也过点，设，，则C、D两点的切线方程的交点为，亦即．焦点在y轴直线和抛物线交于A、B两点，过点A、B分别作切线交于点P，设，，则点P的坐标为．注(1)

这个模型很重要，不仅是考试的热门题型，同时，也是解决关于抛物线的极点极线问题的一把利器，比如在前面的抛物线的极点极线专题中的相关证明中的应用．(2)

这个模型实质就是抛物线的阿基米德三角形，同时，抛物线阿基米德三角形的诸多性质都可以利用此模型进行解决，具体参考下面的阿基米德三角形专题．(3)

实际上，焦点在y轴的情况更常见，因此，要熟练焦点在y轴的套路推导过程！例(2012辽宁文压轴、理)已知P、Q为抛物线上两点，点P、Q的横坐标分别为4、，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为．答案．法一易得P、Q两点的切线方程为：，解得．法二利用结论：，即．例已知二次函数，点．若存在两条都过点P且互相垂直的直线和，它们与二次函数的图象都没有公共点，则a的取值范围为()．A． B． C． D．答案选A．解根据题意，可以转化为：过点P所作抛物线的两条切线的夹角小于，此时，就转化为我们常见的双切线模型的问题．法一设点法＋利用抛物线的双切线模型＋向量点乘小于0设，，则，又，故，因此， ，结合，可解得．法二设线法＋双切线问题的处理套路＋到角公式设过点P的切线方程为：，与抛物线联立：，令可得：，设过点P的两条切线、的斜率分别为、，则．不妨假设，则到的角θ满足：，即．法三也可以借助常用结论及抛物线开口的变化规律求解；当两条切线垂直时，切线的交点在抛物线的准线上（类似椭圆的蒙日圆），故，即；又对于抛物线，a越大抛物线的开口越小，因此，必有．例如图，抛物线与圆相交于A、B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点作圆O的切线交抛物线E于C、D两点，分别以C、D为切点作抛物线E的切线、，与相交于点M．(1)

求p的值；(2)

求动点M的轨迹方程，以及点M到直线CD距离的最大值．答案(1)

1；(2)轨迹方程为，，最大值为．解(1)

，代入E，解得；(2)

设，利用上述套路，易求得切点弦CD的方程为：…①，直线CD和圆相切，故，即，即动点M的轨迹方程为：，接下来求范围．又圆在点处的切线亦为直线CD，其方程为：…②，由于①②是同一条直线，故，即点M为；又，故，即动点M的轨迹方程为：，．点到直线距离为 ，d关于是单调递减的，因此，当时，有．例(2013辽宁文理)如图，抛物线，．点在抛物线上，过M作的切线，切点为A、B(M为原点O时，A、B重合于O)．当时，切线MA的斜率为．(1)

求p的值；(2)

当M在上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A、B重合于O时，中点为O)．答案(1)2

；(2)．．分析第小(2)问利用抛物线的双切线套路可以轻松解决掉，但是，要注意解题的完备性，不要看到西瓜，就丢了芝麻！解(1)

对于抛物线，，由于切线MA的斜率为，易得点，进而可得切线MA的方程为，由于点在切线MA和抛物线上，故，，解得．(2)

法一利用抛物线的双切线套路求交点设，，，线段AB中点，则，．切线MA、MB的方程为：、，联立可解得切线MA、MB的交点坐标为：，，又点M在上，即，即，进而可得，即．此外，当，即A、B重合于O时，此时中点N为O，亦满足．综上所述，线段AB中点N的轨迹方程是．法二直线AB也是极点M对应的极线，也可以不求解交点，而是利用同一法进行求解设，，，则切线MA、MB的方程为：，由于点在切线MA、MB上，故，显然点A、B在直线上，亦即直线AB为：．设中点，则，将点N代入直线AB：…，【此时只需要设法将用含有的式子表示出来即可！】又，进而，将代入，整理得，即为．此外，当，即A、B重合于O时，此时中点N为O，亦满足．综上所述，线段AB中点N的轨迹方程是．注①法一和法二相比较，法一思路相对更简单一些，但是如果不知道抛物线双切线套路，法一就有可能会在计算上受阻！此外，法一和法二，在参数的处理上，实际上是一样的，先设出轨迹上的一点，然后将其他未知参数都用含x、y的式子表示出来，同时结合条件化简求解即可！！②可以将法一和法二类比，注意体会同一法和抛物线双切线套路的设点和求解区别．例(2012大纲卷文压轴、理)已知抛物线与圆有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．(1)

求r；(2)

设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．答案(1)

；(2)．分析对于第(1)小问，是圆锥曲线和圆相切的问题，此类问题的一般优先利用套路求解，即利用圆锥曲线切线斜率与切点到圆心的斜率，两个斜率乘积为．对于第(2)小问，估计会有同学把直线m、n设成形式，然后利用相切关系构造两个方程进行求解，但是，此法在尝试后，会发现及其繁琐．不过，如果能注意到所求的点D到直线l的距离，而点D恰好也是抛物线的两条切线的交点，此时，显然可以利用设点法，结合抛物线的双切线交点模型即可轻松求解．解(1)

设，由于，故l的斜率，又时，不合题意，故．圆心，由于l⊥MA，故，解得，则，从而．(2)

设为C上一点，则C在该点处的切线方程为：，若该直线与圆M相切，则有：，化简可得：，解得，，．故l、m、n三条切线分别为：，…①，…②由②③解得，，即，故点D到l的距离为．例(2007江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P、Q，(1)

若，求c的值；(2)

若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；(3)

试问(2)的逆命题是否成立？说明理由．答案(1)2

；(2)略；(3)成立．解设，，则直线AB为：，代入点得：．由于，故抛物线在点处的切线为：…①，同理，抛物线在点处的切线为：…②由①②解得：，，因此，两条切线的交点坐标为．(1)

此时，结合，解得．(2)

若点P为线段AB的中点，则，又，此时，点Q和点H的坐标相同，因此，QA为此抛物线的切线．(3)

(2)的逆命题是：若QA为此抛物线的切线，则P为线段AB的中点．由于QA为此抛物线的切线，则点Q亦为点H，显然此逆命题成立．例(2006重庆文压轴)如图，对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点F的直线交抛物线于另一点．(1)

试证：；(2)

取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．试证：．分析第(1)小问，根据抛物线的替换性质，显然有；第(2)小问，显然也是抛物线双切线模型的应用．证明(1)

由于，，故直线的方程为，代入点，可得．(2)

由于，故抛物线在点的切线为…①，同理可得抛物线在点的切线为…②，联立①②解得：，，即点C的坐标为．故，即．又，因此，．例过点作抛物线的两条切线，切点分别为、．(1)

证明：为定值；(2)

记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．答案(1)

；(2)是，理由略．分析(1)

极线对应的极点是，故直线AB恒过定点，故，．(2)

此问的计算量稍大，估计有些同学会畏于尝试，不敢去求垂直平分线方程，或者求了，看到很复杂，可能也不敢继续算下去．解(1)

，故，故直线PA的方程为：，即为…①，同理，可得直线PB的方程为：…①【利用替换法则求切线方程①②！！】由①②解得，又点，故，．(2)

法一硬算，求出三条中垂线，进而求出点M．由于，，，故线段PA的垂直平分线为：，即为－③，同理，线段PB的垂直平分线为：…④，又，故线段AB的的垂直平分线为：，即为…⑤由③④可得，代入⑤，可得，即M为，由于，故，，由于，故MF⊥PF，即对任意实数a，以PM为直径的圆恒过点F．法二巧妙转化，如果能逆向推导求出点M的坐标，即可判断存在，若求不出，则不存在．练习如图，点F是抛物线的焦点，点A是抛物线上的定点，且，点B、C是抛物线上的动点，直线AB、AC斜率分别为．(1)

求抛物线的方程；(2)

若，点D是点B、C处切线的交点，即△BCD的面积为S，证明S为定值．答案(1)；(2)

S为定值32；略解如下：，设，，则，即．又，直线BC的方程为：，故 ．例已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦长为．(1)

求p的值；(2)

若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线BC的方程；若不存在，请说明理由．答案(1)

；(2)最大值为，此时直线BC的方程为．解(2)设，，则直线AC的方程为：，令可得点．由于、BA⊥BC，故，即．由于，故抛物线在C、A处切线方程分别为：、，联立方法可解得点D的坐标为，故．又，故，即．由于关于是单调递增的，因此，当时，取得最大值为，此时直线BC的方程为．例已知A、B为抛物线上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，分别过点A、B且与抛物线C相切，P为的交点．设C、D为直线与直线的交点，求△PCD面积的最小值．略解设，，，利用判别式法求得切线方程：，联立解得，又，，故 ，令，则，利用导数易得当，即，即时，△PCD的面积取得最小值为．注最后的最值也可以借助高次均值不等式得到： ．如图所示，抛物线在点A、B处的切线相较于点P，抛物线在点I处的切线分别交PA、PB于点S、T，△PST为切线三角形，△IAB为切点三角形．(1)A、B、P设P、S、T、F四点共圆特殊地，设直线AP、BP分别与y轴交于点C、D，则P、C、D、F四点在以PF为直径的圆上．证明设，，，易得，，．注意到∠SPT，即∠APB的大小只和有关，因此，只要能够证明∠SFT的大小也只和有关，而与无关，亦即利用到角公式，证明成立即可．易知，，故；由于，同理，故，因此，，亦即，即P、S、T、F四点共圆得证．证明直线AP为，令，可得，因此，，显然，同理可得，所以，，即P、C、D、F四点在以PF为直径的圆上．例过点作抛物线的两条切线、，设、与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为．法一通法先行，常规方法，硬解设切线方程为，与抛物线联立：，利用，可得，进而易得，．因此，可设△ABC的外接圆为：，代入点、，可解得，，即．法二利用抛物线的双切线模型设切线、与抛物线的切点为、，则抛物线在切点P、P的切线分别为，此方程组的解为点A，故，．同时，令，可得，，设△ABC的外接圆方程为，令，可得，则，即，即，代入点，可得，因此，△ABC的外接圆是．法三抛物线的焦点为，利用上述结论可知：△ABC的外接圆是以AF为直径的圆，利用圆的双根式，即为，即．△PST的垂心H在抛物线的准线上．易得直线TH为：，令，可得，由于、、是轮换的，同理可得直线PH、SH与准线的交点纵坐标亦为，因此，△PST的垂心H为，即H在抛物线的准线上．已知抛物线和直线，P是直线l上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B．若PA、PB分别交y轴于M、N，求△PMN外接圆半径的最小值．解利用结论可知，当FP⊥l时，所求外接圆的半径最小，即．8.11阿基米德三角形阿基米德三角形的定义及名称由来抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形常被称为阿基米德三角形．这是由于阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的．阿基米德三角形问题的处理方法(1)

综合利用抛物线的两点式方程＋抛物线的双切线模型；(2)

和极点极线有关的问题，要熟练利用设而不求法，即“同一法”，求极点的极线或极线对应的极点．阿基米德三角形的常见性质此处以抛物线为例进行说明：如图，以F为焦点的抛物线在点A、B处的切线相交于点P，则△PAB就是阿基米德三角形，且称弦AB为阿基米德三角形的底边．抛物线在点I处的切线分别交PA、PB于点S、T，此时，一般称△PST为切线三角形，△IAB为切点三角形．1.设点，，则点P的坐标为．2.(1)

若点P为定点，则底边AB的方程为；(2)

若底边AB过定点，则点P在定直线上；特殊地，若底边AB过的定点是焦点，则点P在准线上．【参考抛物线的极点极线专题】3.

(1)

阿基米德三角形的底边中线平行于x轴，如图，设底边AB的中点为Q，则PQ∥x轴；(2)

设PQ与抛物线交于点M，则M是线段PQ的中点；(3)

过点M作抛物线的切线，则此切线和底边AB平行．抛物线的中切线性质已知二次函数的割线与二次函数相交于A、B两点，若二次函数在点C处的切线与割线平行，则A、B中点与点C的横坐标相同．证明不妨令二次函数为，设，，，则．例(2011四川文理)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为()．A． B． C． D．答案利用上述性质易知切点为，则切线方程为，…，选A．例(2005湖南理压轴)已知函数，，．(1)

若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)

设函数的图象与函数的图象交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交、于点M、N，证明：在点M处的切线与在点N处的切线不平行．答案(1)

；(2)

设，，则，又，，假设在点M处的切线与在点N处的切线平行，则，即，即，即，设，则…令，则，因为时，，所以在上单调递增．故，则．这与矛盾，假设不成立，故在点M处的切线与在点N处的切线不平行．4．，即、、成等比数列．【AB不是焦点弦也成立！】5．．【4和5的证明，可参考下面的例题，对于5的证明，也可以利用光学性质，具体参见前面的相关专题】例(2005江西理压轴)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．(1)

求△APB的重心G的轨迹方程；(2)

证明：；(3)

(自编)若，求的值．分析利用抛物线的双切线套路，即可轻松处理掉此题！同时，实际上，对于第(2)、(3)两小问，直线是打酱油的！！因此，对于这种利用结论出的题确实坑了点，不知道背景的同学，估计会纠结于如何使用直线l．解(1)

设，，则切线AP、BP分别为：、，联立这两个方程可解得，，设△APB的重心G为，【向点P的坐标靠拢即可！！】则：，，即，将点P代入直线可得：，即．(2)

因为，，，焦半径，，故，同理可得：，即得证．(3)

由(2)知，又，故．6.切点△IAB的面积是切线△PST面积的2倍，即．证明设，，，则，，．注意到，，联想到三角形面积的分割法！因此，过点I作x轴的平行线交AB于点，过点P作x轴的平行线交ET于点，则 ，，所以，欲证明成立，只需证明成立即可．直线AB的方程为：，令得：．抛物线在点I处的切线为：，令得：．由于，，显然，是成立的！7.(1)

切线△PST的外接圆过抛物线的焦点F，即P、S、T、F四点共圆，如图中的圆；(2)

特殊地，设直线AP、BP分别与y轴交于点C、D，则P、C、D、F四点在以PF为直径的圆上，如图中的圆．证明(1)

设，，，易得，，．注意到∠SPT，即∠APB的大小只和有关，因此，只要能够证明∠SFT的大小也只和有关，而与无关，亦即利用到角公式，证明成立即可．易知，，故；由于，同理，故 ，因此，，亦即，即P、S、T、F四点共圆得证．(2)

直线AP为，令，可得，因此，，显然，同理可得，所以，，即P、C、D、F四点在以PF为直径的圆上．例过点作抛物线的两条切线、，设、与y轴分别交于点B、C，则△ABC的外接圆方程为．答案．法一通法先行，常规方法，硬解设切线方程为，与抛物线联立：，利用，可得，进而易得，．因此，可设△ABC的外接圆为：，代入点、，可解得，，即．法二利用抛物线的双切线模型设切线、与抛物线的切点为、，则抛物线在切点P、P的切线分别为，此方程组的解为点A，故，．同时，令，可得，，设△ABC的外接圆方程为，令，可得，则，即，即，代入点，可得，因此，△ABC的外接圆是．法三抛物线的焦点为，利用上述结论可知：△ABC的外接圆是以AF为直径的圆，利用圆的双根式，即为，即．例已知抛物线和直线，P是直线l上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B．若PA、PB分别交y轴于M、N，求△PMN外接圆半径的最小值．答案利用结论可知，当FP⊥l时，所求外接圆的半径最小，即．8.切线△PST的垂心H在抛物线的准线上．证明易得直线TH为：，令，可得，由于、、是轮换的，同理可得直线PH、SH与准线的交点纵坐标亦为，因此，△PST的垂心H为，即H在抛物线的准线上．9.(1)

当点P在直线上运动时，则底边AB恒过定点，且为定值；(2)

特殊地，当点P在准线上运动时，则底边AB恒过焦点，且，即PA⊥PB；同时，亦有，即PF⊥AB．【串联到焦点弦模型】例(1)(2013大纲卷文压轴、理)已知抛物线与点，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若，则()．A． B． C． D．2(2)(2014辽宁理)已知点在抛物线的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()．A． B． C． D．答案(1)

选D；(2)选D．解(1)

法一由于点M在准线上，又，故直线MA、MB是C的两条切线，设C的焦点为F，利用结论可知，此时MF⊥AB，故选D．法二如果不知道结论的话，或者当作解答题处理，那就老老实实通法先行，利用韦达定理计算！设，，直线AB为：（如果设成，后续的联立和计算量都会稍大），与C联立：，则，，，由可得：，即，即，解得，进而可得．法三当然，也可以利用抛物线的两点式直线方程，不过分析和变形技巧稍高了点设，，则直线AB为：，代入得：，．由可得：，由于，故只需要设法求出的值即可，故，即，解得，故．(2)

利用结论易知AF⊥BF，易得选D．例(1)

已知抛物线的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，若，，则．(2)

已知抛物线的焦点为F，直线l与C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合），若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则的最小值是．答案(1)

PA⊥PB，PF⊥AB，故，解得．(2)

利用上述总结可知：点P在抛物线的准线上，显然，当点P为时，取得最小值为4．10.设底边AB与x轴的焦点为N，则，即成等差数列．11.(1)

设，则阿基米德△PAB的面积为：；(2)

特殊地，当底边AB过焦点时，由于，故此时的最小值为．证明(1)

直线AB的方程为：，又，故点P到直线AB的距离为： ，又，故．如果利用换掉，亦可得到．注①原汁原味含参推导是最快的，且和抛物线的两点式方程相呼应！即使是过焦点！！②阿基米德三角形面积公式的形式有两个，该选择哪个？根据具体的题目具体选择使用，可结合下面的例题理解．例已知抛物线的焦点为F，是抛物线上一点，且．(1)

求p的值；(2)

过F作直线l交抛物线于A、B两点，过点A、B分别作抛物线的切线，与x轴交于P、Q两点