备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线直线讲义版2

4平面直角坐标系中的距离公式4.1基础知识篇1.两点间的距离=1\*GB2(1)

已知、，则；特别地，原点与任意一点的距离为：．=2\*GB2(2)

若在直线上，则．2.点到直线的距离【证明方法：最简单是借助法向量，类似立体几何的距离求法！】=1\*GB2(1)

点到直线的距离：．=2\*GB2(2)

点到直线的距离为；点到直线的距离为．证明如图所示，作PH⊥l于点H，则，设为直线l上任一点，则．由于直线PH的方向向量，亦为直线l的法向量，故 ．注如果把距离公式中绝对值去掉，即，此时的d有正有负，一般称之为“有向距离”，显然，在直线两侧的点到直线的有向距离的正负是相反的！3.两条平行直线之间的距离【利用公式之前，须保证的系数相等！！】直线和直线的距离是：．例(1)

已知点，，在x轴上求一点P，使，并求的值．(2)

已知点，和直线，求一点使，且点到的距离等于2．解(1)

；直译即可！或者利用直线的垂直平分线．(2)

或；点必在线段的垂直平分线上！设，利用点到直线的距离公式，解出即可！或者利用点必在与平行且距离为2的直线上，求出两条平行线，然后分别和垂直平分线联立，求出交点即可！例求两平行线和间的距离．解；法一：从其中一条直线上任取一点，再利用点到直线的距离公式即可；法二：利用两条平行线之间的距离公式；须先把系数统一同等！！例(1)

若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于．(2)

若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于．解(1)

；直线与两条平行线垂直！(2)

或；直线与两平行直线的夹角为．例若动点A、B分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()．A． B． C． D．解选A；依题意知的中点的集合为与直线和距离都相等的直线；设点所在直线的方程为，根据平行线间的距离公式得，即；显然，根据数据的特殊性，也可直接口算得到！例(1)

已知是分别经过、两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是________．(2)

直线分别过点，，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则之间的距离d的取值范围为()．A． B． C． D．解(1)

；当与垂直时成立！(2)

选B．例设两条直线的方程分别为和，已知a、b是关于x的方程的两个实数根，且，则这两条直线之间距离的最大值和最小值分别为()．A．， B．， C．， D．，解选D；两平行线间距离为，易知，，故，结合，可得，即．例如果点(1，b)在两条平行直线和之间，则b应取的整数值为_____．解令x＝1，代入6x－8y＋1＝0，解得y＝；代入3x－4y＋5＝0，解得y＝2.由题意得＜b＜2，又b为整数，∴b＝1．例(1)

求过直线与直线的交点，且到点的距离为2的直线方程．(2)

已知直线经过点，并且点和到该直线的距离相等，求直线的方程．(3)

已知直线经过点，，两点到直线的距离之比为，求直线的方程．解(1)

易得交点为，易知所求直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或，直线方程或．当然，此题也可以利用相交直线的交点曲线系：，但是，要注意讨论单独验证，避免漏解．(2)

和；法一直译法，利用点到直线的距离公式！但是要注意直线的设法，以及对应的解题步骤；如果是点斜式，需要讨论斜率的存在与否！计算量适中、是常规解法！！如果是一般式，则可避免分类讨论！！但是，一般式的计算量会稍大，鲜用！！！法二分析转化！经过分析可得到：满足题目条件的直线或者与直线平行，或者经过线段的中点．(3)

或．例用解析法证明如下两个结论：(1)

平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【(1)(2)的本质是一样一样的！！】(2)

若是中边的中线，则有：．【三角形的中线长定理！】 答案如图所示，建立恰当的坐标系即可，具体的求解过程略．例(1)

已知点，，点P在直线上，求取得最小值时P点的坐标．(2)

已知，，点P为直线上一动点，求的最小值．解(1)

设，则，当时，取得最小值，故所求P点的坐标为．(2)

当时，取得最小值．注这两小题也可以利用上题中的中线定理进行求解．比如以第(2)小题为例，，的最小值就是原点O到直线的距离．例已知为抛物线上任一点，则到直线距离的最小值为________．解设，则到已知直线的距离为，易知时，取得最小值．例已知动直线恒过点，且到动直线的最短距离为3，则的最小值为()．A． B． C．1 D．0解选B；由于直线恒过定点P，故Q到动直线的最短距离为，解得，因此，，故，当且仅当取得等号．例(1)

在坐标平面内，与点和点的距离均为5的直线共有()．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条(2)

在坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为的直线共有4条，则的取值范围是()．A． B． C． D．以上结果都不对解(1)

选C；，其中有2条在线段的两侧，且都和线段平行，另一条是线段的中垂线．(2)

选A；，有2条；有3条！注此类题实质是考察圆和圆的位置关系，具体可参看后面相应章节的专题总结．例在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，对于，有下列四个说法：①存在实数，使点N在直线l上；②若，则过M、N两点的直线与直线l平行；③若，则直线l经过线段MN的中点；④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交．上述说法中，所有正确说法的序号是．解若点N在直线l上，即满足，故不存在这样的实数，所以①不正确；若，即，即，即，即，故过M、N两点的直线与直线l平行成立所以②正确；若，即把线段MN的中点代入直线l即可得，所以③正确；若，，所以与的值同正或同负，即点M、N在直线l的同侧，又因为，点N离直线l更近，所以直线l与线段MN的延长线相交，所以④正确．因此，正确说法的序号是②③④．例(2017上海压轴)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处．设集合，点．过P作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过P的直线中有且仅有一条满足，则中所有这样的P为．解、、；如图建立直角坐标系，设，，，，四个“▲”的坐标分别为、、、．设直线为：，先不考虑唯一性，欲使得，则必有四个“▲”对应的点到直线的“有向距离”的和为0，即，其中表示四个“▲”的坐标，代入坐标，可解得．因此，直线过定点，再结合唯一性，易知、、是符合题意的点．例(2003北京文理)有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．(1)

若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？(2)

若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？解(1)

依题设有，设点，则点P到三镇距离的平方和为： ，因此，当时，函数取得最小值，即点P的坐标为．(2)

记，P至三镇的最远距离为，由解得，记，于是，当，即时，因为在上是增函数，而在上是减函数，因此，当时，函数取得最小值.点P的坐标是．当，即时，因为在上是增函数，当时，函数取得最小值b，而在上是减函数，且，所以当时，函数取得最小值．综上所述，当时，点P为；当时，点P为，其中．4.2构造距离例(1)

已知直线，且在直线上，求的最小值．(2)

若，求函数的最小值．(3)

求的最小值．解(1)

a-12+b+12表示直线l上的动点Pa,b与1,-1的距离d，当d为1,-1到l的距离时，有最小值．∴d(2)

由题u=x2+y2-2x+4y=x-12(3)

，前者表示点到点的距离，后者表示点到点的距离，代数式的几何意义为轴上的点到点和点的距离之和，结合图象可知代数式的最小值为两点之间距离，即．例已知，则的最小值为．法一注意到点、分别在函数、上，因此，可以转化为求直线与曲线之间的距离d的最小值．利用平行切线，令，则，进而所求的最小值为4．或者利用曲线的对称轴为，求出交点即可．法二利用重要不等式：，实际上也就是柯西或权方和不等式．，当且仅当，取得等号．注对于此类题目，熟练了，优先使用法二进行求解！例求函数的最小值．法一将u看成动点和动点之间距离的平方．点A的参数方程为：，即点A的轨迹方程为：，即点A在一段圆弧上．类似可得点B的轨迹方程为：，即点B在反比例函数的一支上．画出图形，易知对称轴与两个函数的图象的交点之间的距离即为最小值，此时，，故，即u的最小值为8．法二，当且仅当、，即取得等号．例已知且，，则的最小值是()．A． B．8 C． D．解选D；，当且仅当，，或，时取得等号．例若对于任意，恒有，求实数的取值范围．解设直线l:y=x，则可知该直线上的任意一点x,x到点A-3-2sinθcosθ,-asinθ-acosθ∣-3-2也就是asinθ+cosθ-2sinθcosθ-3≥12．设m=若am-n-3≥12，则a≥n+3+12m=m考虑到m∈1,2，故a≤232=例求证：．解等价于点到线段之间的距离．例对于实数a、b，定义运算“”：．已知实数满足： ，则y的最小值为．解，等价于上的点与上的点之间距离的最小值，也就等价于圆心与上的点连线长度的最小值减1．故，当且仅当时取等，即．例(2017陕西高中预赛)设，若存在实数a、b满足，，且 ，则的最大值为()．A． B． C． D．1解依题意，构造如图的矩形，△CPQ为正三角形．设，则，因此，，即选A．例(2007四川文压轴、理)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是()．A． B． C． D．法一利用定比分点取模公式＋算两次面积设AC与直线的交点为D，则，故，平方取模得：（设正△ABC的边长为a），又，即，即．法二设角参数转化如图所示，过点B作EF垂直于于l1、l2、l3，交l1于点E，交l3于点F，则，，设正三角形ABC的边长为a，设，则．在中，在中，，故，解得，进而，，即选D．法二借助平几知识如图所示，过A、C分别作AE、CF垂直于l2于点E、F，将绕着点B逆时针旋转60°至处，延长DA交l2于点G，因此，，．在中，，因此，在中，，进而，，故．练习如图，在△AOB中，，，，等边△EFG三个顶点分别在△AOB的三边上运动，则△EFG面积的最小值为()．A． B． C． D．答案选D；作GH⊥AO于点H，设，等边△EFG的边长为a，则 ，即．例若存在实数x，使得关于x的不等式，则实数a的取值集合为()．A． B． C． D．解选C；由于，故，当且仅当且时取得等号．4.3主元转换构造距离例已知，关于x的方程有实根，则的最小值为．法一主元转换构造距离＋均值不等式等价于“已知关于t的方程有实根，求的最小值”，即求原点O到直线距离的最小值的平方，故 ，即，当且仅当，即时取得等号．注上述也可以利用换元处理：，其中．法二利用配方法，这是此方程的一个变形套路易知，故方程两边同时除以：，配方变形可得： ，故，即．法三巧妙变形＋权方和不等式设方程的实根为r，则有，故．提醒提醒粗心的同学，“距离”和“距离的平方”，两者不要马虎大意．．练习(1)

已知函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为