齿根疲劳裂纹扩展特性及其对啮合刚度的影响

引言齿轮传动是利用齿轮轮齿之间的啮合传递动力和运动的一种机械传动方式，广泛应用于航空航天、船舶、汽车、工程机械、能源、石油化工及机器人等领域。齿轮工作中承受了大量的循环载荷，齿轮齿根由于齿根过渡圆角和加工刀痕等因素引起应力集中效应，更易产生疲劳裂纹，并随着工作载荷和工作时长的增加逐步扩展，最终导致弯曲疲劳失效。作为齿轮失效的主要形式之一，据统计，齿根弯曲疲劳占齿轮总失效的32％。齿轮弯曲疲劳失效不仅会造成巨大的经济损失，同时也会对人机产生严重安全隐患。因此，开展齿根裂纹扩展规律和时变刚度的分析研究，对提高齿轮传动系统动态性能及运行可靠性具有十分重要的理论意义和工程实用价值。针对裂纹扩展问题，目前多采用数值模拟方法进行研究，然后通过实验验证模型的准确性。齿轮疲劳断裂的数值模拟方法主要为有限元法和扩展有限元法。ZOUARI

等使用

Fortran

程序和

Ansys

软件对含齿根裂纹的二维模型进行裂纹路径预测，研究了裂纹深度、初始方向和裂纹位置对应力强度因子和裂纹路径的影响。李有堂等利用有限元法研究了裂纹闭合效应对裂纹扩展的影响，结果显示，闭合效应对扩展路径影响不大，但会降低裂纹的扩展速率，延长疲劳寿命。THIRUMURUGAN

等利用三维有限元模型分别建立单齿和三齿齿轮模型，分析研究了单齿啮合最高点加载和齿面均匀加载两种不同载荷形式下裂纹的扩展趋势。RAGHAV

等结合扩展有限元法和刘易斯理论，研究了静载荷和动载荷作用下不同初始裂纹角度和初始裂纹长度下的裂纹扩展路径和疲劳寿命。针对故障齿轮的时变啮合刚度，目前多采用实验法、解析法和有限元法。实验法的求解结果较精确，但操作复杂并且对实验设备要求高，应用的普遍性不高。解析法是利用材料的解析表达式来计算齿轮啮合刚度。有限元法是基于弹塑性理论和接触力学理论，将齿轮系统仿真为若干节点连接若干单元体，具有计算精度高，并且可以建立各种复杂的齿轮模型的优点，因此，在齿轮箱故障分析与研究中应用广泛，并且常在无法进行啮合刚度实验时作为其他方法的结果验证。VERMA等利用扩展有限元法模拟齿根裂纹扩展路径，计算了同裂纹程度下的啮合刚度。CHEN

等建立了含齿面剥落的斜齿轮副有限元刚度分析模型，研究了不同剥落参数下的啮合刚度、接触应力和齿根应力。孟宗等基于有限元法对含裂纹故障的轮齿进行啮合刚度分析，使用Ansys静力学分析模块确定裂纹初始位置，使用Ansys瞬态动力学模块计算啮合刚度。张兆新等使用抛物线拟合齿根裂纹形状，建立了不同形状的齿根裂纹，并通过刚度劣化率分析了不同程度裂纹对啮合刚度的影响。综上所述，众多学者从不同角度研究了齿根裂纹扩展特性以及齿轮时变啮合刚度的变化规律。但针对齿根裂纹扩展仿真的研究大多将齿面啮合载荷简化为施加在单齿啮合最高点或齿顶的恒值定载荷，没有考虑齿轮传动过程中的真实接触位置对裂纹扩展路径的影响；针对齿根裂纹引起的啮合刚度变化，研究大多将裂纹简化为不同角度、长度的直线或抛物线，没有考虑裂纹真实扩展路径对啮合刚度的影响。因此，本文以含齿根裂纹的齿轮副为研究对象，建立考虑接触情况的齿轮动态啮合有限元，确定齿根裂纹萌生的位置，根据弹性断裂力学理论对裂纹扩展路径进行模拟仿真；并基于裂纹仿真路径，研究了不同裂纹程度对啮合刚度的影响。为实际生产中齿根裂纹的扩展路径及其对啮合刚度的影响提供了依据。1

裂纹扩展理论和刚度计算原理1.1

裂纹扩展理论根据断裂力学相关理论，裂纹主要分为Ⅰ型（张开型）裂纹、Ⅱ型（滑移型）裂纹、Ⅲ型（撕裂型）裂纹，如图1所示。图1裂纹类型不同类型的裂纹可以通过裂纹尖端应力场和位移场来表示。裂纹尖端应力场分布如图2所示。裂纹尖端应力场可统一表示为式中，r

为与裂纹尖端的距离；θ

为偏移角度；fij

(θ

)为裂纹形状与外载荷条件下的分布函数；K为应力强度因子。3

种不同类型裂纹对应的应力强度因子分别为图2

裂纹尖端附近应力场疲劳裂纹扩展一般分为裂纹萌生、稳定扩展和失稳扩展

3个阶段，当应力强度因子幅值

ΔK小于门槛值ΔKth时，裂纹不发生扩展，为裂纹萌生阶段；ΔKth<ΔK

<ΔKIC时，进入裂纹稳定扩展阶段；当应力强度因子

K大于材料断裂韧性KIC时，裂纹发生失稳断裂。在工程实际中，一般使用

Pairs来表示裂纹扩展速度。Pairs经验公式为式中，a

为裂纹长度；N

为疲劳扩展寿命；C

和

m

为实验获得的零件表面材料的疲劳裂纹扩展性能参数。因此，只要确定材料参数

ΔKth、ΔKIC

和裂纹尖端应力强度因子幅值ΔK，将Pairs公式积分，即可得到疲劳裂纹的扩展寿命，即式中，a0、ac分别为初始、临界裂纹长度。1.2

刚度计算原理齿轮啮合刚度指的是在1mm齿宽上使一对或多对同时啮合的无误差轮齿产生沿啮合线方向总计为1µm

的变形所必需的载荷。在齿轮传动过程中，在受载变形和齿轮误差的影响下，从动轮的转动位置会偏离其理想位置，实际位移与理想转动位移的差值定义为传动误差，如图3所示。使用齿轮副传动误差来计算齿轮时变啮合刚度，由于考虑了接触产生的局部变形和弯曲产生的轮齿位移等因素，能够得到较为准确的计算结果。图3传动误差示意图将齿轮副在负载下的受载传动误差转换为啮合线方向上的位移，一般表示为式中，Rbp、Rbg分别为主、从动轮基圆半径；eTE为传动误差；θp、θg分别为主、从动轮转角；zp、zg分别为主、从动轮齿数。在有限元分析过程中，几个模型误差以及有限元网格划分产生的几何误差也会产生不可避免的无负载传动误差，其表达式为式中，ϕp、ϕg分别为无载荷施加的情况下主、从动轮转动的角度。所以，齿轮啮合刚度Km

的计算式为式中，δn

为齿轮受载的综合弹性变形量；Fn为沿啮合线的相互作用力。2

齿轮啮合刚度计算模型2.1

齿轮动态啮合模型在建立齿根裂纹扩展和时变啮合刚度计算模型前，首先要对各模型进行有限元受力分析，以等速啮合的准静态齿轮啮合过程为研究对象，建立模拟齿轮动态啮合过程的静力学分析模型。本文基于文献61-62建立齿轮模型，齿轮的材料为14NiCrMo13-4，齿轮的其他参数如表1所示。表1

齿轮参数为提高模型计算效率，本文只保留参与啮合的3个轮齿和啮合前后的2个轮齿，使用三维建模软件建立齿轮副的三维模型，并将模型导入

Hypermesh

进行网格划分，模型采用

C3D8R

六面体网格法，并在齿面接触啮合部分和齿根部分进行局部网格细化。网格划分结果如图4所示。图4齿轮啮合的网格模型和局部网格细化在Abaqus软件中建立齿轮动态啮合有限元模型，如图5所示。齿轮中心控制点RP1、RP2与齿轮内径表面进行动态耦合连接，并限制除沿Z轴旋转的其他5个方向的自由度。在控制点RP1施加135664N·mm的力矩模拟齿轮负载，并在控制点

RP2施加

1rad的旋转角位移模拟齿轮转动。在两齿轮各面之间建立摩擦接触，摩擦因数为0.015。然后提交分析计算。图5相互作用和载荷边界条件设定齿轮的整个啮合过程分

50个啮合位置，啮合过程中双齿啮合和单齿啮合交替进行。齿轮整体在啮入和啮出的不同阶段的最大拉应力结果如图6所示。图6不同时刻的等效应力和最大主应力选取第三对齿的最大拉应力点（N-207194）为研究对象，分析其在整个啮合过程中的最大拉应力变化规律，如图

7

所示。仿真结果显示，在啮合过程中，齿根最大拉应力发生在单齿啮合最高点。参考第一强度理论，材料断裂通常发生在最大拉应力处，因此，设定此节点坐标为裂纹萌生处。图7转动过程中第三对齿的齿根最大主应力历程2.2

齿根裂纹扩展模型由于断裂分析过程较为复杂，根据最大周向拉应力理论，裂纹扩展主要取决于最大拉应力的数值，因此，可以将齿轮动态啮合过程中齿根的载荷历程简化为最大主应力为最大值时的脉动循环载荷，使用静态啮合模型代替动态啮合模型进行裂纹扩展仿真。根据动态啮合过程两齿轮的相对位置，建立第三对齿的单齿啮合最高点的静态分析模型，并在控制点

RP2

施加固定约束，其他相互作用和载荷边界条件设定与动态啮合过程相同。如图8所示，简化后模型的等效应力和最大主应力的应力分布与图

6（c）、图

6（d）相同，最大值分别为等效应力

899MPa和

902MPa、最大主应力490MPa和484MPa。图8静态啮合模型的等效应力和最大主应力参考文献中160-163的实验齿轮，使用

Franc3D在齿根最大主应力处植入

0.23mm

的贯穿型裂纹。植入初始裂纹的齿根裂纹扩展模型如图9所示。对裂纹扩展进行仿真分析，并根据

Pairs定律计算脉动载荷加载下裂纹的扩展速率和疲劳寿命。图9植入初始裂纹的齿根裂纹扩展模型2.3

齿轮啮合刚度计算模型根据齿轮动态啮合有限元模型进行刚度相关计算。图10为含裂纹齿轮的啮合刚度计算流程图。图10含裂纹齿轮的啮合刚度计算流程图首先，根据齿轮参数和载荷边界条件在

Abaqus中建立动态啮合的有限元模型，并进行应力分析，确定齿根最大拉应力时刻即单齿啮合上界点时刻两齿轮的相关转动角度；其次，根据上一步模型的结果建立单齿啮合的静态啮合有限元模型，并在此模型上植入初始裂纹，进行裂纹扩展仿真研究；最后，将获取的裂纹扩展路径同原有的动态啮合模型相结合，创建含裂纹轮齿的动态啮合有限元模型，求解齿轮的变形量和载荷分布，计算齿轮的啮合刚度。3

结果与分析根据本文提出的裂纹扩展模型和啮合刚度计算模型，对表1中齿轮进行动态啮合仿真、齿根裂纹扩展仿真和时变啮合刚度计算。3.1

齿根疲劳裂纹扩展在齿根拉应力最大处植入

0.23mm

的贯穿型初始裂纹，将最大周向正应力理论作为裂纹开裂判断依据，每阶段裂纹扩展距离为

0.15mm，对齿根裂纹扩展进行仿真分析。仿真裂纹路径与实验裂纹路径160-163对比结果如图

11

所示，裂纹呈以中心线为对称线的微型圆弧状曲线。计算不同阶段的裂纹前缘应力强度因子和裂纹扩展寿命，分别如图

12~图

15

所示。从整个裂纹扩展过程来看，应力强度因子KI和KII都随着裂纹深度的增加而增大，且KI的数值远大于KII和KIII，这说明齿根裂纹的断裂形式主要以张开型裂纹为主。在裂纹扩展的前期，KI的分布曲线呈两边高、中间低的对称形状，表明裂纹向轮缘的方向扩展；在裂纹扩展的后期，KI的分布曲线基本呈水平状，表明裂纹开始朝着齿根的方向均匀扩展。从裂纹扩展的剩余寿命来看，起初裂纹扩展速度较慢；随着扩展次数的增加，裂纹扩展速度逐渐增大。本文模型中，裂纹从

0.23mm扩展到

6.1mm对应的仿真计算疲劳寿命为

1.34×105，将仿真寿命曲线与文献中实验寿命曲线进行对比，仿真结果前期数据与实验数据基本相同。图11裂纹扩展路径图12不同阶段裂纹的应力强度因子KI图13不同阶段裂纹的应力强度因子KII图14不同阶段裂纹的应力强度因子KIII图15裂纹扩展剩余寿命曲线3.2

含裂纹齿轮的啮合刚度为研究裂纹扩展过程中不同阶段裂纹对齿轮啮合刚度的影响，将裂纹扩展模型中的初始裂纹和第5、12、25、39阶段裂纹路径模型与原有的动态啮合模型相结合，创建含不同程度裂纹的轮齿动态啮合有限元模型。然后提交求解齿轮的综合变形量和受载分布，计算齿轮的啮合刚度。不同阶段裂纹扩展的路径如图16所示。图16不同阶段对应的裂纹扩展路径长度齿轮受载的综合弹性变形量和时变啮合刚度分别如图17、图18所示。图17综合弹性变形量曲线图18时变啮合刚度曲线由图

17

和图

18

可知，在含裂纹齿轮的正常双齿-单齿-双齿交替啮合过程中，单齿啮合区域内，裂纹对综合变形量和啮合刚度的影响最大；第一个双齿啮合区域因其所受的载荷略大于第二个双齿啮合区，从而前者对综合变形量和啮合刚度的影响略大于后者。从整个裂纹扩展过程来看，裂纹长度与最小啮合刚度的对应关系如表2和图19所示。表2

裂纹长度与最小啮合刚度图19裂纹路径长度与最小啮合刚度当裂纹深度较小时，扩展路径对齿轮综合啮合刚度的影响较小；随着裂纹深度的增大，这种影响逐渐明显，含裂纹齿轮的最小啮合刚度与裂纹路径的长度近似呈线性递减关系。4

结论以直齿圆柱齿轮齿根疲劳裂纹为研究对象，提出了一种模拟齿根疲劳裂纹扩展和计算含齿根裂纹齿轮啮合刚度的模型。首先，建立齿轮动态啮合有限元，确定齿根裂纹萌生的位置；然后，建立裂纹扩展仿真模型，模拟齿根裂纹的扩展路径；最后，根据裂纹扩展路径，利用有限元计算了含裂纹齿轮的时变啮合刚度。主要得出以下结论：1）齿根裂纹的断裂形式