1.2：空间向量基本定理 原卷版-2025-2026学年高二数学精讲与精练高分突破系列人教A版2019选择性必修第一册

.2：空间向量基本定理【考点归纳】【知识梳理】知识点01:空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．知识点02:空间向量的正交分解单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。知识点03：空间向量基本定理1、证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|). (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3、求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【例题详解】题型一、空间的基底【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知a,b,A．a−b+c，，a−c B．C．，2c+b，a+c D．a【跟踪训练1】（24-25高二上·北京·期末）已知a,b,A．a+b、b−c、a+c C．、a+2c、a+b+c D．【跟踪训练2】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知a,b,A．2a+b，a+2b，b+cC．2a+3b，c，4a+6b+3题型二：用空间基底表示向量【例2】（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为

A．−23aC．12a+【跟踪训练1】（24-25高二上·四川南充·期末）如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且A．12a+12b−12【跟踪训练2】（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，OA=a,OB=b,OC=c．若点M,NA．−34aC． D．34题型三、空间向量基本定理【例3】（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOCA．32 B．1 C．14 【跟踪训练1】（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点M为线段OA靠近A的四等分点，N为BC的中点，若MN=xOA+yOB+zOC

A．32 B．1 C．14 【跟踪训练2】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，NA．3 B．2 C．12 D．题型四、求夹角、长度问题【例4】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为

求：(1)AC(2)直线BD'与【跟踪训练1】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设AB=a，AD=b(1)用a,b,c为基底表示向量(2)求的值．【跟踪训练2】（24-25高二上·辽宁）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60∘,M为A1C1(1)用a,b,(2)求对角线AC(3)求cosAB题型五、空间向量证明平行、共面、垂直问题【例5】（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,∠

(1)试用a，b，c表示向量(2)求AC(3)求证：【跟踪训练1】（24-25高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体ABCD−A'B'(1)求证：BD⊥(2)求AC【跟踪训练2】（24-25高二上·北京丰台·期中）如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=(1)用a,b,(2)求AM；(3)求证：AM⊥【高分演练】一、单选题1．（25-26高二上·全国）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．，2b， B．2b，b−2aC．3a，a−b，a+2b D．2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是（

）①若，OB与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，OB共线；②若非零向量，OB，OC不构成空间的一个基底，则O,A,B,C四点共面；③若向量，OB，OC构成空间的一个基底，则空间内的任意向量OP可表示为，x,y,z∈R．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2A．12a−C．−23a44．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥C−OADB中，底面OADB为平行四边形，E为AC的中点，F为BD的中点，OA=a,OB=

A．b−12c B．a−b5．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，A．12 B．85 C．61 D．706．（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，M为侧棱PC上的点，且PM=2MC，若BM=xAB+yADA．−53 C．23 D．7．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，AB=AD=AA1=2，∠BAD=∠A1AB=∠A1A．AM=12C．AM=11 二、多选题8．（25-26高二上·全国·课后作业）设a,b,A．a,b,B．有且仅有一对实数λ,μ，使得cC．对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组x,y,z，使得pD．12a，139．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面ABCD是正方形，且∠A1AB=∠A．BD1B．异面直线AC与BD1C．AD．10．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）在平行六面体中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=6A．AB．BC．AC,D．A11．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的边OA和BC的中点，点P在线段MN上，且.则（

）A．OP=16C．OP⋅OA=2 D．向量OP在12．（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，AA1=AD=AB=1,∠A1AD=∠A．DMB．CMC．CD．CM三、填空题13．（24-25高二上·云南楚雄·期末）在平行六面体中，AA1=AD=AB=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=614．（24-25高二上·重庆长寿·期末）如图，在三棱锥P−ABC中，N为BC的中点，M为PA的中点，设，则用a,b,c表示MN

15．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，MN=12ON，AP=34AN16．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M、N分别是BB1、AC的中点，设，AC

17．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，点E为BD的中点，若A1E=xAA18．（24-25高二上·山东·阶段练习）在平行六面体中，AA1=a，，，点P在A1C上，且，用，，表示AP，则AP=．四、解答题19．（25-26高二上·全国·课后作业）四棱柱ABCD−A'B'C'D'的六个面都是平行四边形，点M在对角线A'(1)设向量，AD=b，AA'=c，用、、表示向量D'(2)求证：M、N、D'20．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，AE=13(1)试用向量a,b,(2)若OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90∘，求21．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知棱长为1的正四面体OABC，分别是AB，OC的中点．

(1)用，OB，OC表示向量EF，并求EF的模长；(2)求证：EF⊥AB，EF⊥(3)求OE与所成角的