专题1.1 柱体（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题1.1柱体教学目标1、理解祖暅原理，掌握棱柱、圆柱体积公式的推导逻辑，能熟练应用公式计算体积2、通过“地标建筑任务”驱动，提升逻辑推理、数学建模、知识迁移能力3、通过地标建筑，感悟数学对城市建设、文化传承的支撑作用，增强应用意识与文化认同感教学重难点教学重点：通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、圆柱的结构特征教学难点：①理解棱柱、圆柱之间的关系．②能运用棱柱、圆柱的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．知识点01多面体空间几何体分类定义图形及表示相关概念多面体由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体；面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形；棱：相邻面的公共边；顶点：棱与棱的交点；知识点02棱柱一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点（2）棱柱的图形（3）棱柱的分类及表示①按棱柱底面边数分类:②按棱柱侧棱与底面位置关系分类:③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱【即学即练】下列立体图形为平行六面体的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】平行六面体是一种底面为平行四边形的四棱柱‌，属于特殊的四棱柱结构，其六个面均由平行四边形组成，即可依次判断ABCD.【详解】由平行六面体的定义，选项A,C,D底面不为平行四边形，故A,C,D错误；选项B满足平行六面体的特征.故选：B.知识点03圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（2）圆柱的图形（3）圆柱的表示圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱【即学即练】在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（

）①矩形

②圆

③椭圆

④部分抛物线

⑤部分椭圆A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【答案】C【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论【详解】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆；当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形；当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分；当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆；故选：C知识点04祖暅原理祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等；【说明】1、祖暅原理；（1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”；（2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等；【即学即练】我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某几何体与三视图（如图所示）所表示的几何体满足“幂势既同”，则该几何体的体积为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三视图得到原图的结构，由圆柱和圆锥的体积公式计算得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱挖掉一个圆锥所得，故体积为.根据“幂势既同”可知，所求几何体的体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图，考查组合体体积的计算，考查中国古代数学文化.属于基础题.知识点05柱体体积1、棱柱的体积①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.2、圆柱的体积：【即学即练】如图，在直三棱柱中，，，，则直三棱柱的体积为．【答案】1【分析】根据直三棱柱的体积公式，可得答案.【详解】直三棱柱的体积为.故答案为：.知识点06柱体表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和；所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和；图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积直棱柱圆柱（为圆柱的母线长，为圆柱底面的半径）底面积：侧面积：表面积：【即学即练】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（

）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】A【分析】利用正四棱柱的表面积公式列式求解即可.【详解】在四棱柱中，底面是正方形，底面，则四棱柱为正四棱柱，其表面积为.故选：A题型01棱柱的结构特征【典例1】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为.

【答案】41【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案．【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，可得，，要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小，最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触，中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触，最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触，所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为.故答案为：41.【变式1】下列关于七棱柱的判断正确的是（

）A．七棱柱共有七个顶点 B．七棱柱共有八个面C．七棱柱共有十四条棱 D．七棱柱共有九个面【答案】D【分析】根据七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面判断即可.【详解】如图，可知七棱柱共有14个顶点，21条棱，9个面.故选：D.【变式2】下列说法不正确的是（）A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体【答案】D【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解.【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故A正确；正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误；故选：D.【变式3】如图，在透明塑料制成的长方体容器中灌进一些水，将容器底面一边置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，其中正确的命题序号是．

①水的形状成棱柱形；

②当容器倾斜如（2）时，水的形状成棱台；③水面始终为矩形．

④水面的面积不变．【答案】①③【分析】根据棱柱的定义，判断①②，根据矩形的面积，线面垂直关系，判断③④.【详解】如（2）倾斜，是四棱柱，如（3）倾斜是三棱柱，故①正确；②错误；由旋转过程可知，，所以四边形是平行四边形，且，所以平面，平面，所以，所以四边形始终为矩形，故③正确；旋转过程可知，不变，变化，所以水面的面积变，故④错误.故答案为：①③【变式4】有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．其中真命题的个数是个．【答案】1【分析】理解、把握平行六面体，长方体和直平行六面体的概念即可一一判断正误.【详解】对于甲命题，因四棱柱的侧面都是平行四边形，故底面是平行四边形的四棱柱的表面都是平行四边形，即甲命题正确；对于乙命题，因平行六面体的表面都是平行四边形，底面是矩形时，侧面也可以是平行四边形，故得不到长方体，即乙命题错误；对于丙命题，直四棱柱是指侧棱垂直于底面的四棱柱，底面形状可以是任意的四边形，故不能判断为直平行六面体，即丙命题错误.故答案为：1有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱题型02棱柱的展开图及最短距离问题【典例1】在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．14【答案】A【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解.【详解】如图所示：，将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2），当五点共线时，取得最小值，且最小值为.故选：A【变式1】如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离.【答案】【分析】将书展开可，根据已知结合勾股定理，即可得出答案.【详解】将书展开可得如图（蚂蚁在处，饼干在处）最短路线为，，由已知可得，，，则.又，由勾股定理可得，所以，.故答案为：.【变式2】已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为.【答案】【分析】根据展开图结合图形特征计算求解.【详解】将正方体表面沿展开，如图所示则.故答案为：.【变式3】如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为.

【答案】【分析】沿着正三棱柱的侧棱剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解.【详解】如图所示，沿着正三棱柱的侧棱剪开，把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为，宽为一个矩形，可矩形的对角线长为，即最短路线的长为.故答案为：.

【变式4】如图，棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则的最小值为.【答案】【分析】将三角形沿翻折与平面共面且与在的异侧，连接，则的长度即为距离和最小值.【详解】如图所示：将三角形沿翻折得到该图形（与平面共面且与在的异侧），连接与相交于点，此时取得最小值，延长，过作于点，又，，所以为等腰直角三角形，所以，在中，，故的最小值为.故答案为：将棱柱展开，利用两点之间线段最短求解题型03棱柱的体积【典例1】已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为．【答案】16【分析】将直三棱柱外补全成长方体，从而可得直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，从而可得，再根据重要不等式，即可求解．【详解】如图，将直三棱柱外补全成长方体，则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，设，，则，，直三棱柱的体积为，当且仅当时，等号成立，该棱柱体积的最大值为16．故答案为：16．【变式1】一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为.【答案】/【分析】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得.【详解】设的面积为，因，，，分别为所在棱的中点，则，，，设图甲中水面高度为，则，解得，，即图甲中水面的高度为.故答案为：.【变式2】如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱桂挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔直径为，则此六角螺帽毛坯的体积是.【答案】【分析】用正六棱柱的体积减去圆柱体体积即可得.【详解】.故答案为：.【变式3】已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为．【答案】【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，进而求得外接球的半径为，结合已知可求得，即可求得直三棱柱的体积.【详解】设，如图所示，在中，，设底面的外接圆的半径为，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，设的外心为，的外心为，则外接球的球心为的中点，所以外接球半径，所以外接球表面积为，所以，解得，所以此直棱柱的体积为.故答案为：.【变式4】一个封闭的正三棱柱容器的高为，容器内装水若干（如图1，底面处于水平状态）.图1中水面的高度为，现将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为，，，，则的值为.【答案】/【分析】根据棱柱的体积公式求解.【详解】设正三棱柱的底面积为，梯形的面积为，则根据等体积可得，所以，所以，又因为，所以相似于，且，即.故答案为：.题型04棱柱的侧面积和表面积【典例1】已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为.【答案】【分析】由题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积.【详解】如图，，，，∴，∴，该长方体的表面积为：13500故答案为：13500【变式1】已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为.【答案】36【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解.【详解】由正棱柱的侧面积公式可得，故答案为：36【变式2】在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积是【答案】【分析】根据题意设底面对角线，，再列式求解菱形的边长，进而求得直四棱柱的表面积即可.【详解】如图所示，设底面对角线，，交点为O，对角线，，，

所以，即，故，由，即，故，因为底面是菱形，所以，即，所以该直四棱柱的侧面积为，表面积为.故答案为：【变式3】如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是．【答案】/【分析】过点作于，证出≌，得出，证得平面，得出，结合再证明出，得出平行四边形为矩形，即可计算出斜三棱柱的侧面积．【详解】过点作于，如图所示，，，，≌，，，即，又，平面，又平面，，又，，∴平行四边形为矩形，∴该斜三棱柱的侧面积为：，故答案为：．【变式4】如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱（内部全空），其中模型上、下层的底面周长均为120cm，高为5cm.现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于9cm.则该模型的侧面积至少为【答案】【分析】由球心到各面距离为9，求出对应正棱柱的侧面积，即可得解.【详解】依题意，上下两层是底面周长，高为的正六棱柱，其侧面积为，当球形灯球心到各面的距离等于时，中层正六棱柱的高为，由球心到侧面距离为9，得中层正六棱柱底面边长为，因此中层正六棱柱的侧面积，所以该模型的侧面积至少为，故答案为：题型05圆柱的结构特征【典例1】用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解.【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚.【变式1】圆柱侧面的母线有条.【答案】无数【分析】根据圆柱的母线的定义判断即可.【详解】以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，故圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段，它有无数条.故答案为：无数【变式2】将一个边长为4和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为．【答案】或【分析】需分类讨论，一种是将8作为母线长，一种是将4作为母线长，利用圆的周长公式即可求解【详解】将8作为母线长，则；将4作为母线长，则．故答案为：或【变式3】圆柱的母线与圆柱的旋转轴的位置关系是.【答案】平行【分析】根据圆柱母线的定义进行判断即可.【详解】因为无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，所以圆柱的母线与圆柱的旋转轴的位置关系是平行，故答案为：平行题型06圆柱的体积【典例1】已知一个圆柱形容器的内部有一个棱长为2的正方体，若该正方体可以任意转动，则该圆柱形容器的容积的最小值为.【答案】【分析】先求出正方体的外接球，再根据正方体的外接球是圆柱的内切球求出圆柱的高进而求出体积即可.【详解】因为该正方体可以任意转动，则该正方体的外接球恰为圆柱的内切球时该容器的容积最小.由正方体的棱长为2，可得其外接球的直径，正方体的外接球恰为圆柱的内切球时该容器的容积最小，此时圆柱的底面半径为，高为，容积.故答案为：【变式1】与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为．【答案】【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为1的圆柱和高为2的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果.【详解】作出几何体的轴截面如下图所示：则所求几何体是由一个底面直径为2，高为1的圆柱，和一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成，则所求几何体体积为：，故答案为：.【变式2】已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为．【答案】【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到，又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为，故答案为：.【变式3】一圆柱侧面展开图是边长为8的正方形，则该圆柱的体积为．【答案】【分析】根据侧面展开图求出半径，进而利用体积公式计算.【详解】设该圆柱的底面半径为，则，所以，故该圆柱的体积为．故答案为：.【变式4】圆柱的轴截面面积为24，底面半径为4，则其体积为.（结果保留）【答案】【分析】根据圆柱的轴截面面积及底面半径求得圆柱的高，再求其体积【详解】如图，平面是圆柱的轴截面，是一个矩形，过圆柱的轴AB，在矩形中，，，所以，所以.故答案为：.题型07圆柱的表面积【典例1】如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积为圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为.【答案】【分析】首先根据正弦定理求出正三角形边长与圆柱底面半径的关系，然后根据三棱柱体积求出圆柱底面半径，进而根据圆柱侧面积公式求出侧面积的值.【详解】设底面正三角形的边长为，则正三角形的高为.由于直三棱柱的底面是正三角形且在圆柱底面内，可知正三角形的外接圆半径为.所以根据正弦定理，所以.易知圆柱母线，所以三棱柱的体积为.所以.那么圆柱的侧面积为.故答案为：.【变式1】已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是4，则此圆柱的下底面面积为.【答案】【分析】根据圆柱的几何性质，并设出底面半径与母线长，由题意建立方程，求得底面半径与母线长，利用圆柱底面面积公式，可得答案.【详解】设圆柱底面半径为，母线长为，则圆柱的轴截面是边长为和的矩形，由题设知，圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积为4，所以，解得，所以圆柱的下底面积为.故答案为：.【变式2】底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为.（结果保留）【答案】【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，结合数据得到矩形的长和宽，即可计算圆柱的侧面积.【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高.故圆柱的侧面积为.故答案为：.【变式3】若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为.【答案】【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可.【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为，侧面积，当且仅当，即时取等号，所以侧面积的最大值为，故答案为：.【变式4】已知圆柱的轴截面是正方形，这个正方形的面积为，则该圆柱的表面积为.【答案】【分析】根据条件，可求出圆柱的底面直径，母线长，然后根据圆柱的表面积公式求解【详解】由于圆柱的轴截面是正方形，面积为，即正方形的边长是，则圆柱的母线长是，底面直径是，于是圆柱的底面积是，侧面积是，于是表面积是.故答案为：题型08柱体表面积，体积公式的应用【典例1】魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，自1974年魔方问世起，世界上陆续出现了各种各样的魔方，魔方爱好者小明拥有一款“Zcube三面体曲面三阶魔方”，它的直观图如图所示，它由27个小块构成（其中，包含18个边长为的正方体小块，9个底面半径为，高为的个圆柱小块），则该魔方的表面积为；体积为（魔方中的空邠忽略不计）.

【答案】//【分析】分析得到魔方表面共有边长为的正方体小块30个，半径为的扇形小块6个和个圆柱的侧面9个，求出面积相加得到表面积，再计算出18个边长为的正方体小块体积和9个底面半径为，高为的个圆柱小块体积，相加得到魔方体积.【详解】魔方表面共有边长为的正方体小块30个，故面积为，魔方表面共有半径为的扇形小块6个，故面积为，魔方表面共有个圆柱的侧面9个，故面积为，故该魔方的表面积为；18个边长为的正方体小块，体积为，9个底面半径为，高为的个圆柱小块体积为，故魔方体积为.故答案为：，.【变式1】中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为【答案】【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积.【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥，且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为.由题设有，故，故两个直三棱柱的表面积和为，两者有公共侧面，其面积为，而四棱锥的侧面积为，故几何体的表面积为，故答案为：.【变式2】已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为，现要切割加工一个底面半径为、高为的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为.

【答案】【分析】设底面中心为，设椭圆的长轴端点为，证得平面，得到，进而求得截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为，得到截面的面积以及圆柱的表面积，进而求得答案.【详解】设底面中心为，截面与底面交于线段AB，由圆雉曲线定义可得截面为半个椭圆，如图所示，设椭圆的长轴端点为，且底面圆周上的点满足DE垂直于底面，可得，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，截面与底面所成角的平面角是，则，所以截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为，所以截面的面积为，而圆柱的表面积是，因此所刷油漆的面积为．故答案为：.

【变式3】有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺母，共重.如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为，内孔直径为，高为，这堆螺母大约有个（参考数据：）.

【答案】248【分析】首先计算一个螺母的体积，其体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，再由总重量除以一个螺母的重量，即可得解.【详解】六角螺母的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即，，所以螺母大约有248个.故答案为：248.1．在直三棱柱中，，直线与平面的夹角为，该直三棱柱的体积为.【答案】/【分析】连接，先证明平面，即得为与平面所成的角，由此求得，进而求得，利用棱柱体积公式计算即得答案.【详解】如图，在直三棱柱中，因为，则，又平面，平面，所以，又，平面，故平面，连接，则为与平面所成的角，即，因为，所以，在中，，解得，所以.所以直三棱柱的体积为.故答案为：.2．底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为．【答案】【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可.【详解】设该圆柱的高为，则该圆柱的侧面积，表面积，由题意可得，即，解得，即该圆柱的高为，故答案为：3．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.

店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为.【答案】【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得．【详解】图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为，

图B，彩绳长度最小值为，则图A比图B最多节省的彩绳长度为.故答案为：.4．已知圆柱的侧面积为，底面半径为1，则圆柱的体积为【答案】【分析】根据已知求出母线长，再由圆柱体积公式求体积.【详解】由圆柱的侧面积为，底面半径为1，得母线长，所以该圆柱的体积为.故答案为:5．如图，一个啤酒瓶的高度为，瓶中装有高度的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为.（瓶底的厚度不计）【答案】【分析】由于瓶子的容积不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替,设瓶的底面积为，分别表示出，，即可求体积之比.【详解】虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积不变，瓶中水的体积也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积，用右图上部分规则的空气体积来代替．设瓶的底面积为，则，，，所以.故答案为：6．已知圆柱的底面半径为，高为，A、B分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点．若直线和该圆柱的轴始终是异面直线，则线段AB长度的取值范围是．【答案】【分析】根据圆柱的结构特征及异面直线定义，数形结合判断线段长度范围.【详解】如下图，要使直线AB与该圆柱的轴始终互为异面直线，则不能与重合，假设能与重合，若与重合时线段AB长度最小为3；若与重合时线段AB长度最大为，综上，线段AB长度的取值范围是.故答案为：.7．如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为6的正方形，一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面先爬到上底面圆周上，再爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为.

【答案】【分析】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，再作点E关于直线DC的对称点即可求解.【详解】将由轴截面分成的半圆柱侧面展成平面图形，得长宽分别为的矩形，作点E关于直线DC的对称点，连接交于，连接，如图，

，所以所求最短距离为.故答案为：.8．如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过的三等分点（靠近和），此时容器中的水形成的几何体为（填“棱柱”或“棱台”）．当底面水平放置时，水面高为．【答案】棱柱【分析】根据棱柱的定义判断容器中的水形成的几何体为棱柱；不同放置方式水的体积相等，结合柱体的体积公式求解即可.【详解】当侧面水平放置时，由于水面恰好过的三等分点，此时平面平面，其余各面都是平行四边形，且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱；设当底面水平放置时，液面高度为，依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处，，所以水的体积，解得.故答案为：棱柱；9．如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为.【答案】【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可.【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面.由为中点，为中点，得，，则，同理.，即，，同理，.，，，所以截面的周长为.故答案为：.10．已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是.（结果保留根式）.【答案】【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求.【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段