专题04 球（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题04球题型一：球的表面积和体积题型二：球的截面题型三：独立截面法求内切球问题题型四：等体积法求内切球问题题型五：公式法求外接球题型六：补型法求外接球题型七：单面定球心法求外接球题型一：球的表面积和体积1．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为.【答案】【分析】当平面，三棱锥的体积最大，据此计算即可.【详解】当平面时，三棱锥的体积最大，即，解得，所以球的表面积为..故答案为：.2．若平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面的距离为，则球的表面积为.【答案】【分析】求出球的半径后可求其表面积.【详解】因为平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面的距离为，故球的半径，故球的表面积为，故答案为：.3．已知一个正方体的所有顶点均在一个球面上，若这个球的体积为，则这个正方体的表面积为.【答案】18【分析】根据正方体的对角线是外接球的直径求得棱长，然后可得表面积．【详解】设正方体的棱长为，则其对角线为其外接球的直径，所以外接球的半径为，由已知，，所以正方体表面积为，故答案为：18.4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点，，，在同一个平面内，四边形为正方形，如果八面体的表面积为，那么这个八面体的外接球的体积为.【答案】【分析】确定八面体的外接球球心，根据表面积可得外接球半径，即可得解.【详解】由已知八面体表面积，即，又为等边三角形，所以，则，即八面体各棱长均为，又四边形为正方形，即，所以，所以中点为八面体的外接球球心，且外接球半径为，即外接球体积，故答案为：.5．在直三棱柱中，，，，，则直三棱柱的外接球体积为.【答案】【分析】利用该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径，再由球的体积公式可得.【详解】由题意可得，该直三棱柱的外接球的体积等于将该直棱柱补充为长方体后长方体外接球的体积，其体对角线为外接球直径，设外接球半径为，则，所以外接球的体积为.故答案为：.题型二：球的截面6．已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．【答案】【分析】当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，据此在球中计算即可.【详解】设正三角形的中心为,如图所示,连接,是正三角形的中心,平面球的半径,球心到平面的距离为1,即在

中,,,.过点作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小,即截面圆的面积最小,此时截面圆的半径为,截面面积.故答案为：.7．球半径为25cm，球心到截面距离为24cm，则截面面积为【答案】【分析】根据勾股定理可以求出截面的半径，进而求出截面的面积.【详解】假设截面半径为，球半径为，球心到截面的距离为所以所以截面面积为故答案为：.8．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积为36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是cm.【答案】8【分析】根据球的截面圆的性质即可求解.【详解】如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由题意知，R=10cm，由πr2=36π，得r=6cm，所以故答案为：89．用一个平面截半径为25cm的球，若球心到截面的距离恰为半径的一半，则截面面积为．【答案】【分析】利用勾股定理和圆的面积公式计算可得答案.【详解】如图，球的半径，，所以，所以截面面积为.故答案为：.5．一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为cm2.【答案】9π【分析】根据球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，求出截面圆的半径，最后利用圆的面积公式求面积即可.【详解】由题球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，∴截面圆半径，则截面圆面积为，故答案为：.题型三：独立截面法求内切球问题11．已知圆台的上下底面半径之比为，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相切的球）体积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆台的几何性质确定内切球半径从而得圆台的高度，结合圆台的几何性质求解上下底面半径，从而可得圆台体积.【详解】由于圆台的内切球体积为，设其内切球半径为，所以，则半径，所以圆台的高度，设圆台上底面半径为，则下底面半径为，圆台轴截面如下图：为球心，为上下底面圆圆心根据切线长定理，圆台的母线长，由母线长与圆台上下底面半径，、高度关系可得：，所以，可得，则该圆台的体积为.故选：A.12．已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，再结合圆台的表面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为，下底面半径为，如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，

设内切球与梯形两腰分别切于点，可知，，由题意可知：，可得，即，可得此圆台的表面积是.故选：C.13．已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得.【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为，显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，，由，整理得，而，解得，，因此圆台的高，，则圆台的体积，内切球的体积，所以.故选：D14．正四面体边长为，其内切球，则在正四面体内与球和均相切的球的表面积为(用表示)【答案】【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球的半径，最后利用球的表面积公式即可求解.【详解】设在正四面体内与球和均相切的球为，半径为，设球的半径为，取的中点为，连接，设为正四面体的高，球，球与侧面分别相切于点，显然点在上，是底面的中心，又正四面体边长为，所以，所以，如图，在中，，连接，由，解得，连接，又由，所以球的表面积为，故答案为：.

15．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为.【答案】【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积.【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面，内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心，则梯形的腰长，即圆台的母线长为，所以该圆台的表面积为.故答案为：.题型四：等体积法求内切球问题16．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等体积可求得内切球半径，再取截面并根据比例求得球的半径，则可求得球的表面积．【详解】取三棱锥过内切球球心的截面，如图所示：依题意得，底面的外接圆半径为，解得；点到平面的距离为，所以，所以，设球的半径为，所以，则，得，设球的半径为，则，又，得，所以球的表面积为．故选：A．17．已知棱长为3的正四面体的内切球球心为，现从该正四面体内随机取一点，则点落在球内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正四面体的结构特征及性质求其内切球的半径，求出内切球体积和四面体体积，利用几何概型—体积比求概率即可.【详解】由正四面体各侧面为等边三角形，若为△的中心，连接，则内切球球心在线段上，如下图示：，所以内切圆半径，而面，面，面，面，故，注意在面上，又，所以为等腰三角形的垂心，故，又，令，则，所以，可得，故，而正四面体的体积，其内切球体积为，落在球内的概率为.故选：C18．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出是正三角形，求出利用等体积法求得到平面的距离，进而求得O到平面的距离，求得截面半径，求得面积即可．【详解】由题意得正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d，设A到平面的距离为，因为正方体的棱长为2，所以由勾股定理得，同理可得，则，故是等边三角形，得到，则，如图，连接，易得，，由勾股定理得，则，因为，所以，所以，则，而由题意得正方体内切球半径，正方体内切球被平面所截，得到的截面是一个圆半径为r的圆，由勾股定理得，由圆的面积公式得面积为，故C正确.故选：C19．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．【答案】【分析】作出正四面体的图形，结合正四面体的性质分别求得其内切球、棱切球及外接球的半径，从而得解.【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为，如图所示，为的中点，，

由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，在正中，，同理，在正中，，则，，所以，则，由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上，则，，所以，故，而棱切球与棱相切，故其半径为，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为.故答案为：.20．已知三棱锥的棱长均为，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球与三棱锥的三个侧面都相切，则球的半径为，球的体积为．【答案】【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据对应线段成比例求得球的半径，再求球的体积．【详解】如图所示：已知三棱锥的棱长均为，所以三棱锥为正四面体，设底面三角形中心为，底面，则，在上，取的中点，作截面，球，球与切于，连结.题意得，底面的外接圆半径为，点到平面的距离为，所以，所以设球的半径为，所以则，得.设球的半径为，则，，又,,得，所以球的体积为为故答案为：；.题型五：公式法求外接球21．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算.【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图：故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，故该三棱锥外接球的半径.所以外接球的体积.故选：B22．若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据长方体外接球的直径为对角线，可得半径，从而求球的体积.【详解】由已知长方体的对角线长为.所以外接球半径为，体积为.故选：A.23．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为，则，所以，所以球的表面积为.故选：B．24．已知某长方体的长、宽、高分别为、、，且该长方体的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设球的半径为，由题意可知，长方体的体对角线长等于球的直径，可求出的值，再利用球体表面积公式可求得球的表面积.【详解】设球的半径为，由题意可知，长方体的体对角线长等于球的直径，所以，，因此，球的表面积为.故选：C.25．已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为．【答案】【分析】根据正方体的内切球体积计算出正方体边长，再利用正方体的外接球体积计算得到结果；【详解】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的内切球体积为，解得，正方体外接球的半径为，故正方体的外接球体积为．故答案为：．题型六：补型法求外接球26．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解.【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，，则三棱锥可补成如图所示的一个长方体，其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球，在直角中，可得，设三棱锥的外接球的半径为，可得，所以，则球的体积为.故选：B.27．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将三棱锥补形为长方体，得长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此求得外接球半径即得体积.【详解】，，且平面，可将三棱锥补形为长方体，如图，则长方体的体对角线即三棱锥的外接球的直径，因则三棱锥的外接球半径为.故外接球体积为：.故选：A28．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于.【答案】【分析】将三棱锥补成长方体，求长方体外接球的体积即可.【详解】如图：

将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.设长方体外接球半径为，则：，所以所以三棱锥的外接球体积为：.故答案为：29．在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的体积为．【答案】/【分析】由对棱相等将三棱锥补形成一个长方体,求其外接球半径即可求解.【详解】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，

设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则，得，即,易知，∴该三棱锥的外接球的体积为．故答案为：.30．蹴鞠，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点(不共面),，则该鞠（球）的体积为．【答案】【分析】根据题意可知，三棱锥的外接球的体积即为所求鞠（球）的体积，且三棱锥的三组对棱均相等，可将三棱锥嵌入到长方体中求解，即可得出三棱锥外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解】解：由题可知，三棱锥的外接球的体积即为所求鞠（球）的体积，又，故三棱锥的三组对棱均相等，如图，将三棱锥嵌入到在长方体中，则三棱锥的外接球即为在长方体的外接球，设，则，故，解得，又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，故三棱锥的外接球的半径为，则三棱锥的外接球的体积为：.故答案为：.31．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的体积为．【答案】/【分析】将四面体补形为一个长、宽、高分别为的长方体，根据四面体与长方体共一个外接球，可求出球的半径，再根据球的体积公式可求出结果.【详解】依题意将该四面体补形为一个长、宽、高分别为的长方体，则四面体与长方体共一个外接球，且球的直径为，所以外接球的半径为，体积为.故答案为：题型七：单面定球心法求外接球32．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为.【答案】【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果．【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为，所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，作出圆锥的外接球的草图，如下：则，设外接球的半径为，则，在中，，所以，解得，所以圆锥的外接球的体积为．故答案为：.33．已知四点都在体积为的球的表面上，若AD是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为．【答案】【分析】设的外接圆半径为，圆心为，根据正弦定理可求，根据几何关系可求到平面ABC的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求面积的最大值，即可得解.【详解】设球的半径为，因为球的体积为，故，解得，，设的外接圆半径为，圆心为，根据正弦定理知，，