【25九年级下册】平行线分线段成比例（讲义）

专题27.2平行线分线段成比例（举一反三讲义） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u18496【题型1判断比例式正误】 227828【题型2“#”字型】 321904【题型3“X”字型】 420099【题型4“A”字型】 526242【题型5“8”字型】 632179【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 79094【题型7平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 85384【题型8多次利用平行线分线段成比例求解】 926629【题型9作垂线构造平行线分线段成比例】 1118226【题型10作平行线构造平行线分线段成比例】 12知识点平行线分线段成比例1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2.数学语言描述：如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则ABBC=DEEF3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例．如图（1）、图（2）所示，BC∥DE，则有ABBD=ACCE，【题型1判断比例式正误】【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，连接DE、EF、AF，AF交DE于点G，四边形BFED为平行四边形，则下列式子一定正确的是（）A．ADBD=DECF B．AEAC=【变式1-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G，若AG=1,GD=2,DF=3，则下列结论中错误的是（

）A．BGGC=12 B．BGBE=【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E，F在AC上，且DE∥BC，A．AFAE=AEAC B．DEBC=【变式1-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中一定正确的是（A．ADAB=AEEC B．AGGF=【题型2“#”字型】【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE:AB=1:3，DF=3，则A．6 B．4 C．5 D．4.5【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，AD∥BE∥CF，若ABBCA．23 B．32 C．2【变式2-2】如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（

A．CEAC B．BFBD C．BFFD【变式2-3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则A．47 B．43 C．37【题型3“X”字型】【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB=6，BC=4，EF=3，则线段A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=DF=3，GD=1，则BCBE的值为（

A．34 B．23 C．37【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1、l2、l3交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1、l2、l3交于D、E、F三点，AC【变式3-3】已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，(1)求DE的长；(2)求OB的长．【题型4“A”字型】【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，若EC=2BE=6，CG=4，则DF的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【变式4-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且EF∥BC．若AE=2，BE=4，AF=1，则FC的长是（A．12 B．1 C．2 【变式4-2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（

）

A．12 B．1 C．2 D．【变式4-3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在3×4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接CD，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则CE=．【题型5“8”字型】【例5】（2025·安徽亳州·三模）如图，▱ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若MF=3，EF=2，则EG⋅EN的值为（

）A．6 B．8 C．10 D．15【变式5-1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（

A．25 B．38 C．37【变式5-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A．1r+1q=1p B．【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH=3cm，EH=6

A．22cm B．20cm C．18cm【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3,D是线段BC上一点，连接AD,∠BAD=15°，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于点F，则CF的长度为【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE∥CD．若OE=4，则线段CD的长为．【变式6-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，连接CE交BD于点F，若CE⊥BD，CE=2BD=8，则线段AB的长为．【变式6-3】如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【题型7平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】【例7】如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（

）A．2 B．2．5 C．3 D．4【变式7-1】如图，点G为△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，连接CG并延长交AB于点D，作DE⊥CB于点E，过点G作GF∥AD交AC于点F，则GFDEA．1 B．43 C．32 【变式7-2】如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEC=（A．13 B．12 C．14【变式7-3】如图，在矩形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，将△PCD沿CP折叠，若点D的对应点E恰好是△ABC的重心，则PD的长为．【题型8多次利用平行线分线段成比例求解】【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=3，BF分别交AC，DC，DE于点M，N，H(1)FGBG(2)求证：FGBG(3)求：BM:MN:NF的值．【变式8-1】如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，

【变式8-2】如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AEED=3(1)求CG的长；(2)若CD=2，在上述条件和结论下，求EF的长．【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在ΔABC中，点D是BC的中点，点E是AC中点．连结AD，BE交于点G，求AG（1）小明发现，过点D作DH∥BE交AC于解：如图1，过点D作DH∥BE交AC于∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴CD请你补全余下的解题过程．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AC分别交DE、BF于M、N，则MNAC【拓展提高】（3）如图3，点E是AC边的中点，DC=2BD,AD、BE交于F,AD=10，BE=6,AD⊥BE，直接写出四边形CDFE的面积．【题型9作垂线构造平行线分线段成比例】【例9】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AC,BD相交于点O，E为BA延长线上一点，连接OE交AD于点F，若AE=1，则OE的长度为（

）A．412 B．272 C．262【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使BE=3BC，连接AE，若∠EAB=∠BDC=45°，AB=62，则BC的长为（

A．23 B．3 C．522【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边△ABC沿其BC边上的高AD剪开，再把△ADC向左平移得到△A′D′C′，当【变式9-3】如图，在四边形ABDE中，∠B=∠D=90°，点C是边BD上一点，且AC=CE，AC⊥CE，取CE的三等分点FCF<EF，连接AF，过点C作CG⊥AF交AF于点G，延长交AE于点H，若DE=6，∠BAC=30°，则【题型10作平行线构造平行线分线段成比例】【例10】（24-25九年级下·全国·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E在AD上，射线BE交AC于点F，若AEED=12，AB=10，则【变式10-1】如图，AG：GD4∶1，BD：DC2∶3，则AE∶EC的值为．【变式10-2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，且满足∠ABC=2∠CAD，连结AD．作∠ABC的平分线分别交AC、AD于点E，点F．若AF=2DF，则ABBD=，AE【变式10-3】如图，在△ABC中，AD与MN交于点G，点G为△ABC的重心，点M、N分别在边AB、AC上，若AM:AB=3:4，则AN:AC的值为．

专题27.2平行线分线段成比例（举一反三讲义） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u18496【题型1判断比例式正误】 227828【题型2“#”字型】 421904【题型3“X”字型】 720099【题型4“A”字型】 926242【题型5“8”字型】 1232179【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 169094【题型7平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 205384【题型8多次利用平行线分线段成比例求解】 2526629【题型9作垂线构造平行线分线段成比例】 3118226【题型10作平行线构造平行线分线段成比例】 37知识点平行线分线段成比例1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2.数学语言描述：如图，已知直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，则ABBC=DEEF3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例．如图（1）、图（2）所示，BC∥DE，则有ABBD=ACCE，【题型1判断比例式正误】【例1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，连接DE、EF、AF，AF交DE于点G，四边形BFED为平行四边形，则下列式子一定正确的是（）A．ADBD=DECF B．AEAC=【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得DE=BF，EF∥AB，DE∥BC，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解．【详解】解：∵四边形BFED为平行四边形，∴DE=BF，EF∥AB，DE∥BC，∴ADBD因为CF≠BC，故D选项不正确，不符合题意；AEACDGEG=BFFC=故选：A．【变式1-1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G，若AG=1,GD=2,DF=3，则下列结论中错误的是（

）A．BGGC=12 B．BGBE=【答案】B【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解答本题的关键，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【详解】解：A．AB∥CD，则B．AB∥EF，则C．AB∥EF，则D．AB∥EF，则故选：B．【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E，F在AC上，且DE∥BC，A．AFAE=AEAC B．DEBC=【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键．由平行线分线段成比例可得AFAE=AEAC，DEBC=DF【详解】解：∵DE∥BC，DF∥BE，∴DEBC=ADAB=AE∴AFAE=AEAC，DE∴EF∴AD故选：D.【变式1-3】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G．则下列结论中一定正确的是（A．ADAB=AEEC B．AGGF=【答案】C【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，DE∥∴ADAB故选项A结论错误，不合题意；∵在△AFC中，EG∥∴AGGF∵EC不一定等于BD，∴AGGF故选项B结论错误，不合题意；∵在△ABC中，DE∥∴BDAD故选项C结论正确，符合题意；∵在△AFC中，EG∥∴AGGF故选项D结论错误，不合题意；故选C．【题型2“#”字型】【例2】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE:AB=1:3，DF=3，则A．6 B．4 C．5 D．4.5【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例解答．【详解】解：∵AE:AB=1:3，∴AE:EB=1:2，∵在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥∴AD∥BC∥EF，∴AEEB=DF解得FC=6．故选：A．【变式2-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，AD∥BE∥CF，若ABBCA．23 B．32 C．2【答案】A【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到DEEF【详解】解：∵AD∥BE∥∴DEEF∴DEDF故选：A．【变式2-2】如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与AEAC一定相等的是（

A．CEAC B．BFBD C．BFFD【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到BFBD【详解】解：∵a∥b∥c，∴BFFD∴BFBD故选择：B.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．【变式2-3】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则A．47 B．43 C．37【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，正确识别对应线段是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，找出线段BD、BF与AC、AE的比例关系，再通过已知线段长度计算比值．【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD∵AC=3，CE=4，AE=AC+CE=7，∴BD故选：C．【题型3“X”字型】【例3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB=6，BC=4，EF=3，则线段A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5【答案】B【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可求解．【详解】解：∵a∥b∥c，AB=6，∴ABBC=DE∴DE=18故选：B．【变式3-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=DF=3，GD=1，则BCBE的值为（

A．34 B．23 C．37【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据AB∥CD∥EF，得到BCBE【详解】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCBE故选：D．【变式3-2】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC分别与直线l1、l2、l3交于A、B、C三点，直线DF分别与直线l1、l2、l3交于D、E、F三点，AC【答案】6【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【详解】解：∵直线l1∴ABBC∵BC=AB，DE=3，∴EF=3，∴DF=ED+EF=3+3=6，故答案为：6．【变式3-3】已知三条互相平行的直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，(1)求DE的长；(2)求OB的长．【答案】(1)24(2)5【分析】（1）由l1∥l（2）由BE∥AD，推出OBAB【详解】（1）解：∵l1∴DEEF∴DE8∴DE=24（2）解：∵BE∥AD，∴OBAB∴OB3∴OB=5【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．【题型4“A”字型】【例4】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，△ABC沿BC边向右平移得到△DEF，若EC=2BE=6，CG=4，则DF的长为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线分线段成比例，先根据平移的性质得AB∥EG，AC=DF，再根据平行线分线段成比例求出【详解】解：∵将△ABC沿着BC边向右平移得到△DEF，∴AB∥EG，∴CEBE∵CG=4，∴AG=2，∴DF=AC=AG+CG=6．故选：A．【变式4-1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且EF∥BC．若AE=2，BE=4，AF=1，则FC的长是（A．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】本题考查运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解．根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出FC．【详解】解：∵EF∥∴AEEB=解得：FC=2，故选：C．【变式4-2】（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（

）

A．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△ABC的中位线是解题关键．取格点G、H，由网格的性质可知，EG∥CH，得到ADAB=AGAH=【详解】解：如图，取格点G、H，

由网格的性质可知，EG∥∴ADAB=∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1故选：B．【变式4-3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在3×4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接CD，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则CE=．【答案】61【分析】本题考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据勾股定理求出CD的长，再根据平行线分线段成比例得出等式求出CE的长即可．【详解】解：如图所示，由AB在网格中的位置，可知MD=ND=1∴DF=DN+FN=5在Rt△CDF中，CD=∵EG∥∴CE∴CE解得：CE=61故答案为：613【题型5“8”字型】【例5】（2025·安徽亳州·三模）如图，▱ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E的直线MN分别交边AB，BC于点F，G，交射线DA，DC于点M，N．若MF=3，EF=2，则EG⋅EN的值为（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得AD∥BC,AB∥CD，再由平行线分线段成比例可得EGME=BEDE，【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AB∥CD，∴EGME=BE∴EGME∵MF=3，EF=2，∴EG3+2∴EG⋅EN=10．故选：C【变式5-1】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，AB=3，FD=2，则EFFB的值为（

A．25 B．38 C．37【答案】B【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴EFBE∴EFFB故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．【变式5-2】如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A．1r+1q=1p B．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例，可证得EFAC=BF【详解】解：∵AC//EF，∴EFAC∵EF//DB，∴EFBD∴EFAC+EF∴1p故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．【变式5-3】如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF与AC交于点H，FH=3cm，EH=6

A．22cm B．20cm C．18cm【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是关键；延长FE交CB的延长线于点G，由平行四边形的性质及中点条件可证明△AFE≌△BGE，得EG=EF；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：延长FE交CB的延长线于点G，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAF=∠EBG，∵E为AB的中点，∴AE=BE，∴△AFE≌∴EG=EF，∵EF=EH+FH=3+6=9(cm)∴EG=9cm∴GH=GE+EH=9+6=15(cm∵AD∥BC，∴AHCH即4CH解得：CH=20cm故选：B．

【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3,D是线段BC上一点，连接AD,∠BAD=15°，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于点F，则CF的长度为【答案】3−【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，解直角三角形；延长BC至点C，使CG=BC，连接AG,EG，根据旋转以及等腰直角三角形的性质证明△ABD≌△AGESAS，进而得出EG=BD,∠AGE=∠ABC=45°，证明CF是△BGE的中位线，解Rt△ACD得出【详解】解：如图，延长BC至点C，使CG=BC，连接AG,EG，∵CA=CB=CG,∠ACB=90°，∴△ABG为等腰直角三角形，AB=AG，又∵∠BAG=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠GAE∵AD旋转得到AE，∴AD=AE∴△ABD≌△AGESAS∴EG=BD,∠AGE=∠ABC=45°，∵∠AGC=45°∴∠CGE=90°，∵∠ACB=90°∴CF∴BFEF=∴BF=EF，∴CF是△BGE的中位线，∴CF=∵∠BAC=45°，∠BAD=15°，∴∠DAC=30°在Rt△ACD中，CD=∴BD=3−∴CF=1故答案为：3−3【变式6-1】（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE∥CD．若OE=4，则线段CD的长为．【答案】8【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明OE是△BCD的中位线，利用三角形中位线定理求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴O为BD的中点，∵OE∥CD，∴BOOD∴BE=EC，∴E为BC的中点，∴OE为△BCD的中位线，∴CD=2OE=8．故答案为：8．【变式6-2】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，BD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，连接CE交BD于点F，若CE⊥BD，CE=2BD=8，则线段AB的长为．【答案】10【分析】先证明△BEF≌△BCFASA，取AD的中点G，连接EG，则EG是△ABD的中位线，即CDDG=CFFE【详解】∵E是AB的中点，∴AE=BE=1∵CE⊥BD，∴∠BFE=∠BFC=90°．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBF=∠CBF．又∵BF=BF，∴△BEF≌△BCFASA∴EF=CF．∵CE=2BD=8，∴EF=CF=BD=4．如图，取AD的中点G，连接EG，∴EG是△ABD的中位线，∴EG=12BD=∴CDDG∴DG=CD．又∵EF=CF，∴DF是△CEG的中位线，∴DF=1∴BF=BD−DF=4−1=3．在Rt△BEF中，BE=∴AB=2BE=2×5=10．故答案为：10.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形中位线，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键.【变式6-3】如图，DE、NM分别是△ABC、△ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则S△DMN：S四边形MFCE等于（

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【答案】B【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝1【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M是DE的中点，∴DM＝ME＝12∵NM∥AG，AN＝DN，∴NMAG＝DNAD＝∴NM＝12AG＝1∵DM＝ME，∴S△DMN：S四边形MFCE＝12DM⋅NHEM⋅PG故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解．【题型7平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】【例7】如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（

）A．2 B．2．5 C．3 D．4【答案】A【分析】连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，由题意易得ED∥BC，ED=12BC【详解】解：连接EP、DQ，并延长，分别交BC于一点F，连接ED、PQ，如图所示：∵G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，∴AE=BE，AD=DC，∴ED∥BC，又∵P,Q分别是△BCE和△BCD的重心，∴EPPF∴PQ∥ED，∴PQ=1∵BC=12∴PQ=2故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键．【变式7-1】如图，点G为△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，连接CG并延长交AB于点D，作DE⊥CB于点E，过点G作GF∥AD交AC于点F，则GFDEA．1 B．43 C．32 【答案】B【分析】首先根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出DE=12BD．设DE=a，则BD=2a．再根据重心的定义与性质以及直角三角形的性质得出CD=AD=BD=2a，CGCD=【详解】解：∵DE⊥CB，∠B=30°，∴DE=1设DE=a，则BD=2a．∵点G为△ABC的重心，∠C=90°，连接CG并延长交AB于点D，∴CD=AD=BD=2a，CGCD∵GF∥AD，∴GFAD∴GF=2∴GFDE故选：B．【变式7-2】如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEC=（A．13 B．12 C．14【答案】A【分析】由题意易得BE=EC，EGAG【详解】解：∵AE是BC边上的中线，∴BE=EC，∵点G是△ABC的重心，∴EGAG∵GF∥AB，∴EFBF∴EFBE=1故选A．【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心是解题的关键．【变式7-3】如图，在矩形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，将△PCD沿CP折叠，若点D的对应点E恰好是△ABC的重心，则PD的长为．【答案】3【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长CE交AB于F，在EF的延长线上取一点H，使FH=FE，连接AH，BH，PF，连接AE并延长交BC于点T，连接BE，由折叠的性质得PPD=PE，CE=CD=6，根据点E是△ABC的重心，得AT是BC边上的中线，CF是AB边上的中线，则AF=BF=12AB=3，CT=BT，先证四边形AEBH是平行四边形得BH∥AE，进而得ET是△CBH的中位线，则EH=CE=6，进而得FH=FE=3，在Rt△BCF中，由勾股定理得BC=CF2【详解】解：延长CE交AB于F，在EF的延长线上取一点H，使FH=FE，连接AH，BH，PF，连接AE并延长交BC于点T，连接BE，如下图所示：∵四边形ABCD为矩形，AB=6，∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB=6，AD=BC，由折叠的性质得：PD=PE，CE=CD=6，∠PEC=∠D=90°，∵点E是△ABC的重心，∴AT是BC边上的中线，CF是AB边上的中线，即AF=BF=12AB=3又∵FH=FE，∴四边形AEBH是平行四边形，∴BH∥AE，即BH∥ET，∴CTBT∵CT=BT，∴CE=EH，∴ET是△CBH的中位线，∴EH=CE=6，∴FH=FE=3，∴CF=CE+FE=6+3=9，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC=∴AD=BC=62∵FE=3，AF=3，∴AF=FE，∵∠PEC=90°，∠BAD=90°，∴∠BAD=∠PEF=90°，在Rt△PAF和RtAF=FEPF=PF∴Rt△PAF≌∴PA=PE，∴PD=PA=1故答案为：32【题型8多次利用平行线分线段成比例求解】【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=3，BF分别交AC，DC，DE于点M，N，H(1)FGBG(2)求证：FGBG(3)求：BM:MN:NF的值．【答案】(1)3(2)证明见解析(3)BM:MN:NF=2:1:3【分析】（1）由题意可得AB=AC=DC=DE=FE=FG=3，BC=CE=EG=3，从而可得BG=3BC=3（2）由题意可得BC=CE=EG=3，GF=EF=DE=DC=AC=AB=3（3）由题意可得∠ABC=∠DCE=∠FEG，∠ACB=∠DEC=∠FGE，从而可得AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG，再由平行线分线段成比例定理可得BNNF=33=1，BM:MH:HF=【详解】（1）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，AB=3，BC=3∴AB=AC=DC=DE=FE=FG=3，BC=CE=EG=3∴BG=3BC=33∴FGBG故答案为：33（2）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，∴BC=CE=EG=3，GF=EF=DE=DC=AC=AB=3∴FGBG（3）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，∴∠ABC=∠DCE=∠FEG，∠ACB=∠DEC=∠FGE，∴AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG，∴BNNF=BC∵BC=CE=EG=3∴BNNF=3∴BN=NF，BM=MH=HF，∴BN−BM=NF−HF，即MN=NH=1∴BM=2MN，NF=3MN，∴BM:MN:NF=2:1:3．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键．【变式8-1】如图，在△ABC和△ACG中，D、E、F分别在线段AB、AC、AG上，连接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，

【答案】9【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得ADAB=AEAC,【详解】解:∵DE∥BC,EF∥CG,∴AD∴AD∵AD∴AG=9【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．【变式8-2】如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AEED=3(1)求CG的长；(2)若CD=2，在上述条件和结论下，求EF的长．【答案】(1)6(2)24【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AEED=（2）由EF∥BD，推出EFBD【详解】（1）∵EF∥BD，∴AFFB∵FG∥AC，∴BGCG∵BG=4，∴CG=3（2）∵CD=2，CG=6，∴DG=CG−CD=4，∵BG=4，∴BD=BG+DG=8，∵AFBF∴AFAB∵EF∥BD，∴EFBD∴EF8∴EF=24【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在ΔABC中，点D是BC的中点，点E是AC中点．连结AD，BE交于点G，求AG（1）小明发现，过点D作DH∥BE交AC于解：如图1，过点D作DH∥BE交AC于∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴CD请你补全余下的解题过程．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AC分别交DE、BF于M、N，则MNAC【拓展提高】（3）如图3，点E是AC边的中点，DC=2BD,AD、BE交于F,AD=10，BE=6,AD⊥BE，直接写出四边形CDFE的面积．【答案】（1）见解析；（2）13；（3）【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识，理解题意，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．（1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可；（2）连接BD交AC于点O，则点O为BD的中点，点O为AC的中点．根据（1）问可得AMMO=2．同理可得CNNO=2,由点O为（3）过点E作EG∥AD交BC于G，由（1）同理得出CGCD=EGAD=CEAC=12，确定CG=DG=BD，同理确定【详解】（1）解：如图1，过点D作DH∥BE交AC于∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴CD∵E是AC的中点∴AE=EC∴AE又∵DH∴（2）证明：连接BD交AC于点O，则点O为BD的中点，点O为AC的中点．∵E为AB的中点，根据（1）问可得∴AM同理可得CN∵点O为AC的中点∴AO=OC∴AM=MN=NC，∴MN（3）过点E作EG∥AD交BC于同理得：CGCD∴CG=DG，∵DC=2BD，∴CG=DG=BD，同理得：DFGE∴DFAD=4∴AFFD∴AF=7.5，FD=2.5，同理得：BEBF=2，∴BF=3，EF=3，∴S∴S∴S∵DC=2BD，∴SS△AEF∵=30−11.25=18.75．【题型9作垂线构造平行线分线段成比例】【例9】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AC,BD相交于点O，E为BA延长线上一点，连接OE交AD于点F，若AE=1，则OE的长度为（

）A．412 B．272 C．262【答案】A【分析】此题主要考查了矩形的性质，平行线线段成比例定理，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键．过点O作OH⊥AB于点H，由平行线线段成比例定理证明OH是△ABD的中位线得OH=12AD=2，AH=BH=12AB=3【详解】解：过点O作OH⊥AB于点H，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，∴OB=OD，∠DAB=90°，∵OH⊥AB，∴∠OHB=∠OHE=∠DAB=90°，∴OH∥AD，∴OD又∵OB=OD，∴AHBH∴HA=HB，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=12AD=2∵点E为BA延长线上一点，且AE=1，∴EH=AE+AH=1+3在Rt△OEH中，由勾股定理得：故选：A．【变式9-1】（2025·浙江宁波·三模）如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使BE=3BC，连接AE，若∠EAB=∠BDC=45°，AB=62，则BC的长为（

A．23 B．3 C．522【答案】D【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理等，延长CD交AE于点G，过点B作BF⊥AE于点F，可得∠AGD=90°，AG=DG，AF=BF，即得BF∥CG，然后求得AF，AG，再由平行线等分线段定理和BE=3BC可得EF=9，最后利用勾股定理求得【详解】解：如图，延长CD交AE于点G，过点B作BF⊥AE于点F，则∠AFB=90°，∵∠EAB=∠BDC=45°，∴∠ADG=∠BDC=45°=∠EAB，∠ABF=90°−∠EAB=45°，∴∠AGD=90°，AG=DG，AF=BF，∴BF∥∵CD是△ABC的中线，AB=62∴AD=12AB=3∴AG=DG=32∴FG=AF−AG=6−3=3，∵BF∥∴EFFG∵BE=3BC，∴EF3∴EF=9，∴在Rt△EFB中，BE=∴BC=1故选：D．【变式9-2】（2025·广东清远·二模）如图1，将边长为4的等边△ABC沿其BC边上的高AD剪开，再把△ADC向左平移得到△A′D′C′，当【答案】5【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形，掌握平移的性质和等边三角形的性质是解题的关键．过G点作GH⊥BC′，交BC′于点H，由等边三角形的性质和含30°角的直角三角形，可得BD=CD=2，AD=23，继而可求出BD′=DD′=C′【详解】解：如图，过G点作GH⊥BC′，交BC∵AD是边长为4的等边△ABC上的高，∴∠B=∠C=60°，BD=CD=2，AD=3∵D′是BD∴BD∴BC∵∠B=∠C∴∠BGC∴△BC∴BG=BC∴GH=3∵AD是等边△ABC上的高，∴ED′⊥BD∴ED∴BE又∵点D′是BD∴点E是AB的中点，∴ED′=∴两个三角形重叠部分面积为S△B故答案为：54【变式9-3】如图，在四边形ABDE中，∠B=∠D=90°，点C是边BD上一点，且AC=CE，AC⊥CE，取CE的三等分点FCF<EF，连接AF，过点C作CG⊥AF交AF于点G，延长交AE于点H，若DE=6，∠BAC=30°，则【答案】9【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．过点E作EM⊥CH交CH的延长线于点M，先证明△ACB≌△CED(AAS)，再求出AC=CE=12,AE=122，根据点F为CE的三等分点（【详解】如解图①，过点E作EM⊥CE交CH的延长线于点M．∵∠ACE=90°，∠B=∠D=90°，∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE，∴∠BAC=∠DCE=30°，BC=DE=6，∴CE=2DE=12，∵△ACE是等腰直角三