【25九年级下册】相似三角形的判定（讲义）

专题27.3相似三角形的判定（举一反三讲义） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u23644【题型1利用平行判定相似】 22667【题型2利用两角相等判定相似】 320443【题型3利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 4168【题型4利用三边对应成比例判定相似】 523317【题型5选择或补充条件使两三角形相似】 629888【题型6裁剪使两三角形相似】 77835【题型7尺规作图使两个三角形相似】 810081【题型8数相似三角形的对数】 1031037【题型9存在相似三角形】 11知识点1相似三角形1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC和△A12.全等三角形与相似三角形的比较全等三角形相似三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形特征形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等图形表示对应边相等成比例对应角相等相等相似比1可以是1，也可以是其他正实数知识点2三角形相似的判定如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．1.定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′2.定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′，若3.定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4.有关三角形相似的常见图形图形特征所需条件证明方法平行线型已知DE//BC，所以同位角、内错角相等两角分别相等的两个三角形相似．△斜交型有公共角或对顶角，∠两角分别相等的两个三角形似．△公共角的两边对应成比例，AB两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△母子型∠两角分别相等的两个三角形相似．△旋转型有一组角对应相等，公共角（对应角）的两边对应成比例，∠1=∠两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△【题型1利用平行判定相似】【例1】如图，AB //CD //EF，则图中相似三角形的对数为(

)

A.4对 B.3对 C.2对 D.1对【变式1-1】如图，AB，CD相交于点O，AC//BD.【变式1-2】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE/​/AC，MN/​/BC，DE交MN于点O【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有

对.

【题型2利用两角相等判定相似】【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点FA．△BFA B．△BAE C．△BEC【变式2-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（

）A．△BCD∽△ACDC．△ACD∽△【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，AB⊥BC，BD⊥CD，【变式2-3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【题型3利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG，求证：△AFC【变式3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，【变式3-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．(1)若AC=8，求AG(2)如果AB=AC，求证：【题型4利用三边对应成比例判定相似】【例4】24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，∠ABE=90°，且【变式4-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（A．AB=4，BC=8，AC=10；

DE=20B．AB=3，BC=4，AC=6；

DE=6C．AB=12，BC=15，AC=24；

DE=16D．AB=3k，BC=4k，AC=5k；【变式4-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（A．点D B．点E C．点F D．点G【变式4-3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【题型5选择或补充条件使两三角形相似】【例5】如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BC【变式5-1】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC【变式5-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△【变式5-3】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAEA．∠B+∠4=180°B．CD∥AB C．【题型6裁剪使两三角形相似】【例6】如图，在△ABC纸片中，∠A=72°,∠B=38°，将△

A．①② B．②④ C．③④ D．①③【变式6-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【变式6-2】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（

）A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似【变式6-3】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△A． B．C． D．【题型7尺规作图使两个三角形相似】【例7】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，请用尺规在AC上求作一点D【变式7-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD，请用尺规作图法在BD上找一点P，使得△ABD【变式7-3】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△A．B．C． D．【题型8数相似三角形的对数】【例8】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，A．5对 B．6对 C．10对 D．20对【变式8-1】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【变式8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，图中的相似三角形共有（A．3对 B．4对 C．6对 D．7对【变式8-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC于点A．4对 B．6对 C．8对 D．5对【题型9存在相似三角形】【例9】如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB=4，CD=6，BC=14，P为直线BC上一点，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C【变式9-1】在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条 B．3条 C．4条 D．5条【变式9-2】如图，在矩形ABCD中，AB=7.5,BC=8，点E是AB上一点，BE=2，点P是边BC上的一个动点，若使得以P、C、【变式9-3】如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点专题27.3相似三角形的判定（举一反三讲义） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u23644【题型1利用平行判定相似】 22667【题型2利用两角相等判定相似】 420443【题型3利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 7168【题型4利用三边对应成比例判定相似】 1023317【题型5选择或补充条件使两三角形相似】 1329888【题型6裁剪使两三角形相似】 167835【题型7尺规作图使两个三角形相似】 1910081【题型8数相似三角形的对数】 2331037【题型9存在相似三角形】 26知识点1相似三角形1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC和△A12.全等三角形与相似三角形的比较全等三角形相似三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形特征形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等图形表示对应边相等成比例对应角相等相等相似比1可以是1，也可以是其他正实数知识点2三角形相似的判定如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似．1.定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′2.定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′，若3.定理3：三边对应成比例的两个三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．4.有关三角形相似的常见图形图形特征所需条件证明方法平行线型已知DE//BC，所以同位角、内错角相等两角分别相等的两个三角形相似．△斜交型有公共角或对顶角，∠两角分别相等的两个三角形似．△公共角的两边对应成比例，AB两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△母子型∠两角分别相等的两个三角形相似．△旋转型有一组角对应相等，公共角（对应角）的两边对应成比例，∠1=∠两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似．△【题型1利用平行判定相似】【例1】如图，AB //CD //EFA.4对 B.3对 C.2对 D.1对【答案】B

【分析】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似．解题的关键是注意识图，注意做到不重不漏．

由AB//CD//EF，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE.所以图中共有3对相似三角形．

【详解】

解：∵AB//CD//EF，

∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB【变式1-1】如图，AB，CD相交于点O，AC//BD.【答案】证明：AC//BD，

∴△OAC∽【解析】本题考查相似三角形的判定．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由此即可证明问题．【变式1-2】如图，在△ABC中，点D、M在AB上，点E、N分别在BC、AC上，且DE/​/AC，MN/​/BC，DE交MN于点O【答案】解：图中与△ABC相似的三角形有3个，△AMN∽△ABC，△DBE∽△ABC，△DM∽△ABC，

理由：∵MN//BC，

∴△AMN∽△ABC，△DBE∽△DMO【解析】本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似．

根据相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，即可推出答案．【变式1-3】如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有

对.

【答案】3

【分析】

此题考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质．注意相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型．

由四边形ABCD是平行四边形，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得△BCE∽△FDE，△FDE∽△FAB，则可得△BCE∽△FAB．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AB//CD，

∴△BCE∽△FDE，△FDE【题型2利用两角相等判定相似】【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点FA．△BFA B．△BAE C．△BEC【答案】B【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由三角形角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，即∠DBF=∠ABE，由三角形外角的性质可推出∠BFD=∠BEA，于是可证得△【详解】解：∵BE是∠∴∠CBE即：∠DBF又∵∠BAD∴∠BFD∴△BDF且依据已知条件，无法证明△BFA、△BEC、△AEF故选：B．【变式2-1】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（

）A．△BCD∽△ACDC．△ACD∽△【答案】C【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定．根据作图可知∠ACD=∠ABC【详解】解：根据作图可知∠ACD又∠CAD∴△ACD故选：C．【变式2-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，AB⊥BC，BD⊥CD，【答案】见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出∠A=∠BCD【详解】证明：∵∠ACD=90°，∴∠A+∠ACB∴∠A∵AB⊥BC∴∠ABC∴△ABC【变式2-3】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【答案】见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识点．结合题意，可得∠CAB=45°，从而可得出∠CAP+∠PAB=45°，又【详解】证明：∵∠ACB=90°，∴∠CAB即∠CAP∵∠APC∴∠CAP∴∠ACP∵∠APB∴△CPA【题型3利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，连接AC、DG，求证：△AFC【答案】见解析【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，先根据正方形的性质得△ADC和△AGF都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得∠DAC【详解】证明：∵AC，AF分别是正方形ABCD和正方形AEFC的对角线，∴△ADC和△AGF∴∠DAC=∠GAF∴∠DAG∴∠DAG∴△AFC【变式3-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点E,F分别在正方形ABCD的边AD，CD上，连接BE和EF，AB=9，AE=3，【答案】见解析【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出DE，再证明ABDE=AE【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=9∴AD=AB∵AE∴DE∴ABDE∵DF∴AEDF∴ABDE∴△ABE∽△DEF【变式3-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB【答案】见解析【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°，【详解】证明：∵△PCD∴∠PCD=∠PDC∴∠PCA又∵AC=1，∴AC∴△ACP【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连接EF、CF，EF交对角线AC于点G．(1)若AC=8，求AG(2)如果AB=AC，求证：【答案】(1)2(2)证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得EF∥BD，由平行线分线段成比例定理得AGGO=AFFB=1（2）根据中点的定义及已知得AFAC=12，由（1）知【详解】（1）解：如图，连接BD交AC于点O，∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥∴AGGO∴AG=∵四边形ABCD为平行四边形，AC=8∴AO=∴AG=∴AG的长为2；（2）证明：∵F为边AB的中点，∴AF=∵AB=∴AFAC∵AG∴AGAF∴AFAC∵∠FAG∴△AFG【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键．【题型4利用三边对应成比例判定相似】【例4】24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，∠ABE=90°，且【答案】△ACD【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出AC=2,AD=【详解】证明：△ACD由勾股定理AC=ACEC∴ACEC∴△ACD【变式4-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（A．AB=4，BC=8，AC=10；

DE=20B．AB=3，BC=4，AC=6；

DE=6C．AB=12，BC=15，AC=24；

DE=16D．AB=3k，BC=4k，AC=5k；【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A、∵AB∴两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似；B、∵AB∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；C、∵AB∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；D、∵AB∴两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似；故选：A．【变式4-2】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从格点D、E、F、G中选取一个格点与点B、C连接成格点三角形，能使该格点△ABC三角形与相似的格点是（A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】C【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．【详解】解：连接BF，如图，网格的特点可知AB=2，CF∴BC∴△故选：C．【变式4-3】如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【答案】D【分析】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则小长方形的长为2a，正方形的边长为4【详解】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为a，则小长方形的长为2a，正方形的边长为4图①三角形的三条边长分别为：2a图②三角形的三条边长分别为：2a图③三角形的三条边长分别为：2a图④三角形的三条边长分别为：2a∵2a∴图①和图④的两个三角形相似；故选D．【题型5选择或补充条件使两三角形相似】【例5】如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BC【答案】①②③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①∠2=∠A，∠C=∠②∠1=∠CBA，∠C=∠③BCAC=CDBC，④BCAC=DBAB，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．【变式5-1】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，则要使△ABC【答案】4【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD∴∠BAC当ABAC=AC即：AC∵AB=9，AC∴62∴AD=4故答案为：4．【变式5-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD与△【答案】∠A【分析】本题考查平行线的性质，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．根据题意可证∠ADB【详解】解：∵AD∥∴∠ADB∴当∠A=∠BDC或∠ABD=∠DCB时或故答案为：∠A【变式5-3】（2025·河北·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAEA．∠B+∠4=180°B．CD∥AB C．【答案】D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180°时，可证明CD∥BM，由平行线的性质得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠【详解】解：A、∵∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAEB、∵CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAEC、∵AE∥∴∠1+∠B∵∠1=∠4，∴∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAED、根据∠2=∠3结合已知条件不能证明△MAE故选：D．【题型6裁剪使两三角形相似】【例6】如图，在△ABC纸片中，∠A=72°,∠B=38°，将△

A．①② B．②④ C．③④ D．①③【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：图①中，∵∠B∴△BDE图②中，只有∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△图③中，∠C∴△CDE图④中，只有∠C不能推出△CDE和△综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确．故选：D．【变式6-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意；C、6−39−7=3D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意．故选：D．【变式6-2】数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（

）A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似【答案】A【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得OAOC【详解】解：图（1）由35°和75°得另一个角为180°−35°−75°=70°，由75°和70°得另一个角为180°−70°−75°=35°，则两三角形全等；图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8∴OAOC∵∠AOC∴△AOC故选：A．【变式6-3】如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△A． B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，AC=4，A．因为DCAC=24=12B．因为ADAB=36=12，C．因为BDAB=23，ABBC=D、因为BDBC=12，BCAB=故选：A．【题型7尺规作图使两个三角形相似】【例7】（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断．【详解】解：B、由作图知，DE∥∴△ADEC、由作图知，四边形BDEC是圆内接四边形，∴∠ADE∵∠A∴△ADED、由作图知，点D和点E分别是AB和AC的中点，∴DE∥∴△ADEA、由作图知，CD和BE分别是△ABC的角平分线，不能说明△ADE和故选：A．【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，请用尺规在AC上求作一点D【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．作AB的垂直平分线，交AC于点D，连接BD，由此即可得．【详解】解：如图，点D即为所求．

理由：由线段垂直平分线的性质得：AD=∴∠A∵BA∴∠A∴∠ABD在△ABD和△∠ABD∴△ABD【变式7-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ABCD，连接BD，请用尺规作图法在BD上找一点P，使得△ABD【答案】见解析【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，相似三角形的判定，先在∠BCD的内部作∠ABP=∠【详解】解：如图，点P即为所求．理由：∵AD∥∴∠ADB由作图可得：∠ABP∴△ABD【变式7-3】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△A．B．C． D．【答案】B【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，【详解】解：当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，∵BD∴∠ADB∴∠BAD∵∠ABC∴∠ABD∴∠BAD∴△BAD根据作图痕迹可知：A选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，故选项A不符合题意；B选项中，BD是AC的垂线，故选项B符合题意；C选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，故选项CD选项中，BD不与AC垂直，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质1，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键．【题型8数相似三角形的对数】【例8】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，A．5对 B．6对 C．10对 D．20对【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键；根据相似三角形的判定定理分析即可求解；【详解】解：图中有个三角形，分别是：△ABC、△BDE、△DEC、△∵AC⊥BC，CD⊥∴∠BED∴AC∥∴△ABC∵∠B=∠B∴△BDE∴△ABC∵∠A=∠A∴△ABC∵AC∥∴∠CDE∵∠CED∴△DEC综上所述：△ABC即：△ABC∽△DBE，△ABC∽△△DBE∽△CDE，△DBE∽△ACD，△DBE∽△CBD故选：C．【变式8-1】如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【答案】C【详解】FD=在Rt△BCF中，在Rt△DEF中，在Rt△ABE在Rt△BEF根据相似三角形的判定，RtΔDEF∼RtΔABE∼RtΔEBF,故选C.【变式8-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，图中的相似三角形共有（A．3对 B．4对 C．6对 D．7对【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：如图：∵△ABC、△∴∠A∴△ABC∵∠A=∠F∴△ADG∵∠F=∠C∴△FHG∴△ADG∵∠ADG∠ADG∴∠AGD又∵∠A∴△ADG∴△BED△BED综上，相似三角形共有7对，故选：D．【变式8-3】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，E是矩形ABCD的边CD的中点，连接BE,AF⊥BE于点F,AF的延长线交BC于点A．4对 B．6对 C．8对 D．5对【答案】B【分析】本题考查了三角形的判定，矩形的性质．根据矩形的性质以