两点间的距离公式课件-高二上学期数学北师大版选择性

第三章空间向量与立体几何1.2空间两点间的距离公式（北师大版）重点：两点间的距离公式难点：两点间的距离公式已知平面内两点A()，B(),如何计算该两点的距离？解析：如图ABCD所以已知空间两点坐标，如何计算该两点距离？若其中一点为原点,不妨设点Q为原点O,过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面,则被各坐标平面所截可得长方体且长方体的棱长满足再来看一般情况.对于空间任意P，Q两点，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面,过点Q也分别作与三条坐标轴垂直的平面，当这六个平面均不重合时,它们围成一个长方体PCBA-EFQD,且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合.由图易知,C,B两点的坐标分别为因为CB平行于z轴,所以|CB|=同理有|PC|=|BQ|=因此当这六个平面中至少有两个平面重合时,不妨设垂直于z轴的两个平面重合(),作出其余四个平面与xOy平面的交线容易证明:四边形

为矩形或线段PQ与

重合,所以

，由图易知,两点的坐标分别为再根据平面上两点间的距离公式，已知空间中

两点,则P,Q两点间的距离为：思考交流方程

表示什么图形?答案：以原点为球心，半径为1的球体。例1给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点(4,1,2)的距离为

解:设点P的坐标是(x,0,0),由题意,得

即

所以解得x=9或x=-1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).

例2

如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.解

建立如图所示的空间直角坐标系，

过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，

显然MF垂直于平面ABCO，

所以MF⊥NF，

因为|BM|＝2|MC′|，

所以|BF|＝2|FC|，

又|AN|＝2|CN|，

所以NF∥AB，

跟踪训练1

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.

解

以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，二、求空间点的坐标例1

设点P在x轴上，它到P1的距离是到点P2(0,1，－1)

的距离的2倍，求点P的坐标.

解

因为P在x轴上，

所以设P点坐标为(x,0,0)，

因为|PP1|＝2|PP2|，

所以x＝±1，

所以点P坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).

跟踪训练2

已知点P1，P2的坐标分别为(3,1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点距离相等，求A，B，C的坐标.

解

设A(x,0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)，

由|AP1|＝|AP2|，

所以x＝－3，

同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1，三、空间两点间距离公式的综合应用例1

已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝(1)求|MN|的长；解

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两垂直.过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB.∵|CM|＝|BN|＝a，∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，(2)当a为何值时，|MN|的长最小.这时M，N恰好为AC，BF的中点.跟踪训练3

已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是____三角形.等腰∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形.随堂演练1．已知空间两点A(3,3,1)，B(－1,1,5)，则线段AB的长度为(

)A．6

B．C．

D．

2．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是(

)A.B．

C.D.3．在空间直角坐标系中，点A在z轴上，它到点P(0，

，3)的距离等于它到点Q(0,1，