（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练11函数的应用二（函数的零点与方程的解）（解析版）

第3讲：函数的应用(二）（函数的零点与方程的解）(重点题型方法与技巧)目录类型一：求函数的零点类型二：函数零点个数的判断类型三：判断函数零点所在的区间类型四：已知零点个数求参数的取值范围类型五：已知零点所在区间求参数的取值范围类型六：求零点的和类型七：用二分法求函数的零点的近似值类型八：函数零点（方程的根）综合问题类型一：求函数的零点典型例题例题1．函数的零点为（

）A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【答案】A【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，故选：A.例题2．若是函数的一个零点，则的另一个零点为（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．故选：A．例题3．函数的一个零点为1，则其另一个零点为______．【答案】【详解】解法一：因为函数的一个零点为1，将代入得，解得．所以．令，解得，，所以函数的另一个零点为．解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为．故答案为：.同类题型演练1．函数的零点是（）A．（0，2） B．（2，0） C．2 D．4【答案】C【详解】由f（x）＝x2﹣4x+4＝0得，x＝2，所以函数f（x）＝x2﹣4x+4的零点是2，故选：C．2．已知函数，则下列区间中含零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知：，，，.由零点存在定理可知在区间一定有零点.故选：C.3．函数的零点为______.【答案】【详解】由定义域为由，即，可得解得或又时，不满足方程时满足条件.故答案为：类型二：函数零点个数的判断典型例题例题1．函数的零点个数为________．【答案】1【详解】令，可得方程．在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，如图，由图可知，函数与的图象只有一个交点，故方程只有一个解，故函数只有一个零点．故答案为：1.例题2．函数的零点共有（

）A．​个 B．​个 C．​个 D．​个【答案】C【详解】当​时​无解；当​时，​有解​综上，函数​有​个零点.故选：C.例题3．设在区间上是连续变化的单调函数，且，则方程在内（）A．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．必有唯一实根【答案】D【详解】解：因为在区间上连续的单调函数，且，所以函数的图象在内与轴只有一个交点，即方程在内只有一个实根．故选：D例题4．函数的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【详解】函数的定义域为，且，故函数为偶函数，当时，，考虑函数在内的零点个数，令，可得，作出函数、在上的图象如下图所示，由图可知，函数、在上的交点个数为，故函数在上的零点个数为，因此，函数的零点个数为.故选：D.同类题型演练1．已知函数，则函数的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】当时，由可得，解得（舍去）；当时，由可得，即或，解得或.综上所述，函数的零点个数为.故选：C.2．函数的零点个数是______．【答案】2【详解】解：令，则，作出函数的图象，由图可知，函数的图象有两个交点，故方程有两个不同的根，所以函数有2个零点.

故答案为：2.3．函数的零点个数为________．【答案】1【详解】解法一：令，可得方程，即，故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数与的图象只有一个交点，故函数只有一个零点，故答案为：1解法二：∵，，∴，又的图象在上是不间断的，∴在上必有零点，又在上是单调递增的，∴函数的零点有且只有一个，故答案为：14．已知函数，则方程的解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】解：令，得，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C类型三：判断函数零点所在的区间典型例题例题1．方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，所以的根所在区间为.故选：B例题2．方程的根位于区间（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令函数，易得函数单调递减，原方程的根即的零点，，，，，∵，可得根位于区间(1,2).故选：C．同类题型演练1．函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，因为，，，由零点存在定理，上必有唯一零点.故选：B．2．（多选）函数在下列哪个区间内必有零点（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】，，，，，因为，所以在和内存在零点.故选：AD类型四：已知零点个数求参数的取值范围典型例题例题1．若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.【答案】（答案不唯一）【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，故当时，有一解，得故答案为：（答案不唯一）例题2．已知函数，若关于的方程有两个不相同的解，则的取值范围是_____．【答案】画出和的函数图象，要使有两个不相同的解，则与有2个不同的交点，由图可得.故答案为：.例题3．已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】作出函数的图像和直线，如图所示:由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以．故答案为：或.例题4．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，函数，当时，函数为单调递增函数，其中，当时，函数为单调递增函数，且，又由函数恰有两个不同的零点，即为有两个不等的实数根，即与的图象有两个不同的交点，如图所示，当恰好过点时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数恰有两个不同的零点，则满足，即实数的取值范围是.故选：D.例题5．已知函数，若函数恰好有5个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】画出函数的大致图象，如下图所示：函数恰好有5个不同的零点，方程有5个根，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.故选：A同类题型演练1．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.【答案】【详解】解：由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点，所以，即，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：2．若方程有正数解，则实数的取值范围是_______.【答案】【详解】设，由，得，因为方程有正数解，所以方程在上有实根．因为，当时，，所以，所以，所以.故答案为：.3．设函数若函数有六个不同的零点，则实数a的取值范围为________．【答案】．【详解】函数的零点即为方程的解，也即的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数和直线的图象如图所示．由图可知，当时，有两个不同的x与之对应；当时，有一个x与之对应，当时，没有x与之对应．由方程组有六个不同的x解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于，作出函数和直线的图象如图所示，由图可知当时满足要求，综上，实数a的取值范围为．故答案为：4．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是__________【答案】【详解】解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故答案为：.5．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数的值域为，当时，是减函数，当时，，，当时，是增函数，当时，，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：.类型五：已知零点所在区间求参数的取值范围典型例题例题1．已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.例题2．已知函数在上存在零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在上单调递增,根据零点存在定理可得,解得.故选:A例题3．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】令，得，令，由二次函数性质可知：当时，当时，，所以，即.故答案为：.同类题型演练1．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.【答案】【详解】函数在区间上有零点，即在有方程根，当时，，若，，在区间上没有零点，若，，在区间上有零点，故满足题意；当，即或时，在区间上有零点，即在有方程根，根据韦达定理可知，两根互为倒数，应有，即，解得，故答案为：.2．函数的零点，则a=___________.【答案】3【详解】因为均为增函数，所以是增函数，又，所以的零点，又，所以，故答案为：33．若函数的零点为，且，，则的值为______.【答案】【详解】因为都是上的增函数，所以函数在单调递增（增函数+增函数=增函数），因为，，所以，所以.故答案为：类型六：求零点的和典型例题例题1．设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，即，设，，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，点、关于直线对称，则，由图可知，，因此，.故选：B.例题2．（多选）已知函数，，的零点分别为，，，以下说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】由题设，，，，所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：由图及、对称性知：，且，所以A、D正确，B、C错误.故选：AD例题3．已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围.【答案】【详解】作出函数的图象，如图所示不妨设，则关于直线对称，故，且满足；则的取值范围为；即．所以的取值范围为.例题4．设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为___________.【答案】【详解】作出函数的大致图象，如图所示：当时，对称轴为，所以，若关于的方程有四个实根，，，，则，由，得或，则，又因为，所以，所以，所以，所以，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.同类题型演练1．已知函数，若满足，则的取值范围为_______．【答案】【详解】画出的图象，易得，且当时，的最大值为，当时解得，故，故故答案为：2．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为________．【答案】-4【详解】由题意，，，即，；由，得，所以是函数分别与函数交点的横坐标，因为互为反函数，其图象关于对称，由可得交点为，所以.故答案为：.3．已知函数的表达式为，则函数的所有零点之和为______．【答案】3【详解】或，或，由或，由或，为函数的零点，函数的零点之和为3，故答案为：34．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.【答案】【详解】作出函数的图象，由图知当时，，在上单调递减，在上单调递增，令，若存在，使得，由图可得，由即，所以，因为函数的对称轴为，所以，所以，故答案为：.类型七：用二分法求函数的零点的近似值典型例题例题1．用二分法求函数的一个零点的近似值（误差不超过）时，依次计算得到如下数据：，，，，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算D．没有达到对误差的要求，应该接着计算【答案】C【详解】，在内有零点；，没有达到对误差的要求，应该继续计算.故选：C.例题2．（多选）下列选项中能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】根据二分法的概念可知，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值.对各选项中图象分析可知，选项ACD

都符合条件，而选项

B不符合二分法的要求.故选：ACD.例题3．已知函数在区间上单调，且有一个零点．(1)求实数的取值范围；(2)若，用二分法求方程在区间上的根．【答案】(1)(2)（1）若a＝0，则，与题意不符，所以．因为函数在区间上单调且有一个零点由题意得，解得因为函数在区间上单调，所以或，因为，所以，所以或，综上，所以实数a的取值范围为．（2）若，则，∴，，，∴函数的零点在上，又，∴方程在区间上的根为．例题4．已知函数为上的连续函数．（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．（2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，区间为【详解】(1)易知函数在区间上单调递减，在区间上存在零点，，即，，实数的取值范围是．(2)当时，，易求出，．，在区间上单调递减，函数在上存在唯一零点．，，．此时0-(-1)=1>0.2,，,．此时,，，．此时,，，．此时，满足精确度,停止二分,所求区间为．同类题型演练1．用二分法研究函数的零点，第一次经计算，则第二次计算的的值为___．【答案】【详解】解：因为，所以第二次应计算，所以，故答案为：2．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第三次取区间的中点为________.【答案】【详解】解：由题可知，用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，可设，，，，，的零点所在区间为，则第二次取区间的中点为，而，，的零点所在区间为，则第三次取区间的中点为.故答案为：.3．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.（1）证明f(x)有且只有一个零点；（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)证明：令，则，且，∴，即f(x)＝lnx＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数，∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点．∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点．(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取，，∴，即f(x)零点．取，则.∴.∴，又，∴满足题意的区间为．类型八：函数零点（方程的根）综合问题典型例题例题1．已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误；这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确；因为，即，所以，故B正确；，即，所以，故C正确.故选：A.例题2．已知函数，若，且，则的最大值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】设，则，由，得，所以．设，则，在上单调递减，故．故选：A例题3．函数的图象由拋物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点设，则的取值范围是__________.【答案】【详解】解：设由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，当时函数有最小值为2，，由一次函数可知当时有最大值3，当时直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，，，，，，．故答案为：例题4．已知函数，函数.(1)若函数有唯一零点，求；(2)若，不等式在上恒成立，求的取值范围；(3)已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数的范围.【答案】(1)或2(2)(3)（1）解：当时，函数有唯一零点，当时，由，解得，函数有唯一零点1，综上：或2（2）解：依题意得，即在上恒成立，转化为在上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立.令，则问题可转化为在上恒成立，因为在上单调递减，所以当时，即，所以，所以的取值范围为.（3）解：，设，，则由题意知函数与的图象在区间内有唯一交点.当时，在上单调递减，在上为增函数，且，，所以函数与的图象在区间内有唯一的交点.当时，的图象开口向下，对称轴为直线，所以在上单调递减，又在上为增函数，由题意知，需，得，得，所以.当时，