（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练12三角函数（解析版）

第1讲：三角函数(重点题型方法与技巧)目录类型一：区域角类型二：确定及的终边所在的象限类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用类型四：利用三角函数的定义求三角函数值角度1：单位圆定义法角度2：终边上任意一点法类型五：已知三角函数值或符号求参数类型六：利用同角三角函数的基本关系求值角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值角度2：已知,求关于和的齐次式的值角度3：利用,与之间的关系求值类型七：新定义题类型一：区域角典型例题1．如图，写出所有终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合________【答案】【详解】解：分别与角终边相同的角为，因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是，.故答案为：.2．写出角的终边在下列位置时的集合．（1）角α的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）；（2）角α的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：；（2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）．角的集合为．3．如图所示阴影部分角的集合.【答案】【详解】，，

，故答案为：.4．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．

【详解】（1）这是对顶角区域的表示问题，结合图像终边落在阴影部分的角的集合可表示为：或（2）在的范围内，阴影部分为终边落在阴影部分的角的集合可表示为：同类题型演练1．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________.【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}【详解】解：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为.所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}2．已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合.【答案】或【详解】由题图可知,终边落在射线OA上的角构成的集合,终边落在射线OB上的角构成的集合,所以角的取值集合.也可以表示为.3．如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合.【答案】(1).(2).【详解】（1）因为,，可知终边在射线上的角分别是，，，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为：.（2）当时，在内的角为，当时，在内的角为，所以终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合：.4．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围．【答案】【详解】解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为．5．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).（1）；（2）【答案】（1）；（2）或.【详解】如题图①，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为；如题图②，以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1=，M2=.所以阴影部分内的角的集合为或.类型二：确定及的终边所在的象限典型例题1．已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】因为角的终边与300°角的终边重合，所以，所以，令，，终边位于第二象限；令，，终边位于第三象限，令，，终边位于第四象限，令，，终边位于第二象限所以的终边不可能在第一象限，故选：A2．若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（

）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【详解】由题意，所以，，当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．故选：A．3．（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.4．已知终边在第四象限，则终边所在的象限为_______________．【答案】第三象限或第四象限或轴负半轴【详解】由于是第四象限角,故,故,即终边在”第三象限或第四象限或轴负半轴”.故答案为：第三象限或第四象限或y轴负半轴.同类题型演练1．角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】∵角的终边在第一象限，∴，，则，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.2．若角的终边落在第三象限，则的终边落在第_________象限；【答案】二或四【详解】因为角的终边落在第三象限，故可得，则，其表示第二或第四象限的角度.故答案为：二或四.3．角的终边在第二象限，则角的终边在_________．【答案】第三、四象限或y轴非正半轴【详解】解：是第二象限角，，．，．的终边的位置是第三或第四象限，的非正半轴．故答案为：第三、第四象限或轴的非正半轴4．若，，试确定，分别是第几象限角．【答案】为第一象限角；为第一或第三象限角【详解】由得：，为第一象限角；由得：，当时，，则为第一象限角；当时，，则为第三象限角；综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用典型例题1．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．2．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】设，，，，，而，，即是的中点，，，.故选：C3．已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角________扇形面积最大．【答案】【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意，，扇形的面积为，所以当时，扇形面积取最大值，此时，所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.故答案为：4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为______.【答案】##【详解】设圆的半径为，则，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，所以，，故，因此，，故答案为：.5．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为弧度．求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．【答案】(1)(2)(1)画出图象如下图所示，其中是弦的中点，，所以，，所以，也即扇形的半径为，所以圆心角所对的弧长为.(2)扇形的面积为.6．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.【详解】解：（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；（2）扇形周长，，．当且仅当，即时，扇形面积有最大值．（3）扇形的面积，所以所以当且仅当即时周长取得最小值同类题型演练1．已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【详解】设扇形的弧长为，半径为，所以扇形的面积为，所以，又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：D.2．半径为2cm，圆心角为1rad的扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】扇形的弧长，则扇形的面积.故选：D.3．已知圆心角是2弧度的扇形的周长为4，则扇形的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】由扇形的周长公式得，解得，所以扇形的面积为.故选：A4．如图，正五边形的边长为5，分别以点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____．【答案】【详解】连接，，由题可得，则是等边三角形，，在正五边形中，，，的长，故答案为：．5．如图，点是圆上的点.(1)若，，求劣弧的长；(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.【答案】(1)(2)（1），，又，为等边三角形，，则劣弧的长为.（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，扇形的周长为，，方法一：扇形面积（当且仅当时取等号），当扇形面积取得最大值时，圆心角.方法二：扇形面积，则当时，取得最大值，此时，当扇形面积取得最大值时，圆心角.6．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.【答案】（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.【详解】（1），则，，在扇形中，的长为，所以，同理，.∵与无重叠，∴，即，则.又三个扇形都在三角形内部，则，∴.（2）∵，∴，∴当时，取得最大值，为.故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.类型四：利用三角函数的定义求三角函数值角度1：单位圆定义法典型例题1．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为角的终边经过点，所以该点到原点的距离为，所以.故选：D2．已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】的终边与单位圆交于点,故，故，所以，故选：B.同类题型演练1．已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以根据三角函数的定义可知，．故选：C．2．已知角的终边与单位圆的交点为，则______.【答案】【详解】角α的终边与单位圆的交点为，则，，则故答案为：角度2：终边上任意一点法典型例题1．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题设，.故选：A2．已知角的终边有一点，则________.【答案】【详解】由题意得，故答案为：同类题型演练1．已知角的终边经过点，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【详解】解：由题意得.故选：B.2．已知点为角α终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为点为角α终边上一点，所以，故选：C类型五：已知三角函数值或符号求参数典型例题1．若角的终边与单位圆的交点为，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B．2．已知角的终边经过点，且，则实数的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，说明角的终边在第二或第三象限，终边上的点，，说明终边在第二象限，，，，解得a=-1；故选：B.3．角的终边经过点，且，则的值为______．【答案】【详解】由题意角的终边经过点，且，可知，则，解得，所以，故答案为：4．设角的终边经过点，那么______．【答案】【详解】角的终边经过点，所以，，，所以，故答案为：同类题型演练1．已知角终边过点，则的值为（

）A． B． C．– D．–【答案】A【详解】由题意得，点到原点的距离，所以根据三角函数的定义可知，，所以.故选：A．2．已知点为角终边上一点.，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由点为角终边上一点.，可得，结合得：，且，解得：，故选：C3．已知点是角终边上一点，且，则__________．【答案】【详解】解：是角终边上的一点，到原点的距离为，，.故答案为：4．已知角的终边经过点），且，则=_________.【答案】【详解】由题意可知，则，解得故答案为：类型六：利用同角三角函数的基本关系求值角度1：已知某个三角函数值,求其余三角函数值典型例题1．若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，.故选：D2．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则又，所以．故选：C3．已知，，则_____.【答案】【详解】解：方法1，，又，且，为第二象限角，，.方法2，构造直角三角形如下图，在直角三角形中，，且

为第二象限角，

.故答案为：同类题型演练1．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以，．故选：C．2．已知，则___________.【答案】【详解】解：因为，所以因为，所以，，即，所以，故答案为：3．已知A为三角形内角且，则________.【答案】【详解】根据，且A为三角形内角，所以为锐角，由题意得：，解得：，故答案为：.角度2：已知,求关于和的齐次式的值典型例题1．已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因，则，所以.故选：C2．已知，则______．【答案】【详解】由得：，.故答案为：.3．已知，，则______．【答案】2【详解】因为，所以，又因为，即，即，分子分母同除得：，即，所以或（舍）．故答案为：24．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)（1）解法一：∵，，∴，分子分母同时除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．同类题型演练1．若，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【详解】解：原式．故选：C．2．如果，那么___________.【答案】1【详解】由，得．故答案为：1．3．已知，求以下各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2).(1)解：.(2)解：.4．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)(1)解：，解得：(2)解：角度3：利用,与之间的关系求值典型例题1．的三个内角为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】以为，，故可得，故，则.故选：D.2．（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由…①，以及

，对等式①两边取平方得，…②，，，由②，，由①②，可以看作是一元二次方程的两个根，解得，，故A正确，B正确，C错误，D正确；故选：ABD.3．设是第二象限角，且满足，则___________.【答案】【详解】解：因为是第二象限角，即，则，当k为偶数时，，当k为奇数时，，由平方得，即，所以，故答案为：4．已知，则___________.【答案】【详解】在等式两边同时平方得，即，解得.故答案为：.5．已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)见解析.(1)把平方后得，，可得，可得，由，可得，，有．由，有．(2)由（1）有，①，解得，可得．②，解得，可得．6．函数y＝sinx＋cosx＋3cosxsinx的最大值是________，最小值是________.【答案】

【详解】令t＝sinx＋cosx，则t∈．∵(sinx＋cosx)2－2sinxcosx＝1，∴sinxcosx＝，∴，t∈，∵对称轴t＝－∈，∴ymin＝f＝×－－＝－，ymax＝f()＝.故函数的最大值与最小值分别为，－.同类题型演练1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，解得：.故选：A2．已知，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于，所以，故，所以.故选：A3．已知，且，则____.【答案】【详解】解：，两边平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案为：.4．已知为第四象限角，，则___________.【答案】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为为第四象限角，所以，，所以；故：，故答案为：5．已知，，求下列各式的值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【详解】（1），，则，又，则，由，可得；（2）由可得，6．已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）解：由，两边平方得即，则.（2）因为，所以，因为，所以，，则：，即.类型七：新定义题1．折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设扇形的半径为R，如图，由弧长公式，得，在直角三角形中，化简得.故选：A．2．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：，）（

）A．1.012m B．1.768m C．2.043m D．2.945m【答案】B【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧的长，其所对圆心角，则两手之间的距离．故选：B．3．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【答案】D【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D4．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．2月5日，在北京冬奥会短道跑道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌，这也是中国代表团在本届冬奥会上赢得的首枚金牌．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为，直道长为．若跑道内圈的周长等于半径为的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】由题意得跑道内圈的周长为，所以该扇形的圆心角为．故选：C5．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设O为内切圆的圆心r为内切圆的半径．由．，，得，解得．故选：B6．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个特定节令.现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上