（人教A版）必修第一册高一数学上学期期末考点复习训练15函数y＝Asin(ωx＋φ)（解析版）

第4讲：函数(重点题型方法与技巧)目录类型一：利用“五点法”作函数的图象类型二：三角函数的图象变换类型三：由的图象确定其解析式(或参数值)类型四：的取值范围类型五：求在区间上的最值类型六：三角函数中的恒（能）成立问题类型七：已知函数零点（根）的个数，求参数类型八：求函数零点（根）的代数和问题类型一：利用“五点法”作函数的图象典型例题1．已知函数.（1）用五点法作图，填表并作出的图像.x0y（2）求在，的最大值和最小值；（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）时，，时，；（3）.【详解】（1）x0y131-10（2），，即，所以的最大值为3，最小值为2.（3），，由（2）知，，，且，即m的取值范围为.2．已知向量，，．(1)求函数f（x）的对称中心；(2)利用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的图象．【答案】(1)(2)图见解析（1）∵，∴∴，由，得，∴对称中心为，（2）列表如下：x0y00－20画出图象：3．设函数f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，此对称轴相邻的对称中心为（）(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)用五点法画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．【答案】(1)；(2)见解析.（1）解：是函数的一条对称轴，，即，所以.令得.所以函数的对称中心为，所以函数的解析式为.（2）解：由可知故函数在区间上的图像为：同类题型演练1．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：0π2π010-10000(1)请填写上表的空格处；并画出函数图像或者写出函数的解析式【答案】(1)答案见解析解：根据表中的数据可得，解得，故，所以，又，故.所以完善表如下：

0π2π010-100

0

0所以.函数图像如图：2．求范围和图象：(1)的函数图象先向左平移个单位，然后横坐标变为原来的，得到的图象，求在上的取值范围.(2)如图所示，请用“五点法”列表，并画出函数一个周期的图象.【答案】(1)；(2)列表、图象见解析.（1）由题设，可得，在上，所以.（2）00200所以的图象如下：3．设在区间单调，且都有(1)求的解析式；(2)用“五点法”作出在的简图，并写出函数在的所有零点之和.【答案】(1)(2)图象见解析，所有零点之和为(1)解：依题意在时取最大值，在时取最小值，又函数在区间单调，所以，即，又，所以，由得，即，又因为，所以，，所以.(2)解：列表如下0001所以函数图象如下所示：由图知的一条对称轴为有两个实数根，记为，则由对称性知，所以所有实根之和为.类型二：三角函数的图象变换典型例题1．为得到的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【详解】因为，故将函数的图象向右平移个单位长度，即得到的图象，故选：D2．将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，然后将所得图象向左平移个单位，得的图象，又因为得到的函数，所以，所以.故选：D.3．要得到的图像，只需要将的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【详解】根据题意，得，又因为，所以向右平移个单位长度可得到，即.故选：D.4．将函数图象上得所有点向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由已知所得函数解折式为，故选：D5．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将向左平移个单位长度得：，图象关于原点对称，，解得：，又，当时，取得最小值.故选：D.同类题型演练1．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均有成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，因为将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因为恒成立，所以在处取得最大值，所以，解得，因为，所以当时，取得最小值.故选：B.2．已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，则函数的周期，则，则，由将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，可得，由，，函数的图象在区间上是增函数，故，解得，由，当时，，故选：B.3．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】向右平移个单位得：，当时，，在上单调递增，，解得：，的最大值为.故选：D4．把函数的图象沿轴向左平移个单位，所得函数的图象关于直线对称，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】A【详解】，∴，∵的图象关于对称，∴，，解得：，∵，∴当时，取最小值．故选：A．5．（多选）要得到函数的图像，需要把函数的图像向移动（

）A．右

B．左

C．右

D．左

【答案】ACD【详解】设向右移得到，则有，即，∴，对A，向右移，则，A对；对B，向左移，则，B错；对C，向右移，则，C对；对D，向左移，则由，D对.故选：ACD.类型三：由的图象确定其解析式(或参数值)典型例题1．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：依题意，，，故，故，故，将代入可知，，解得，故，故，则.故选：A.2．已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．关于直线对称D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称【答案】D【详解】解：由图可知，，即，故选项A正确；由，可得，则，因为，即，所以，，得，，因为，所以，所以，故选项B正确；由，可得，即关于直线对称，故选项C正确；将的图象向左平移个单位长度后得到，所以为偶函数，图象不关于原点对称.故选：D.3．已知函数（，，），将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的部分图像如图所示，则函数的单调增区间为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【详解】，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数．由图像可知：A=1，，，，，，∴，，即，，∵，∴∴令，，可得，，函数的单调增区间为，故选：A4．已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，则的解析式可能为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由图可知，，又，所以，，，，又最小正周期，所以，又，所以，，将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得解析式，再向右平移个单位，得，故选：C.5．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求函数的解析式；(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2).（1）由的图象可得，，所以，所以，得，所以，因为的图象过，所以，所以，所以，得，因为，所以，所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得，所以（2）由，得，所以，所以，所以，当时，恒成立，当时，则由，得，因为函数在上为增函数，所以所以，当，则由，得，因为函数在上为增函数，所以所以，综上，即实数m的取值范围为.同类题型演练1．已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（

）．A．的最小正周期为B．C．的解集为D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称【答案】D【详解】由图像知，，即，则，即，则，，即，则，，得，，，当时，，即，故A，B正确；由得，得，得，，得，，即，，即不等式的解集为，，，故C正确；将的图像向左平移个单位长度后得到，此时为偶函数，不关于原点对称，故D错误，故选：D．2．函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位【答案】B【详解】由图象可知：，，又，则，，，，，又，，，，，即只需将向左平移个长度单位即可得到.故选：B.3．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【详解】依题意，，故，又的周期满足，得，所以，所以，又，得，又，所以，所以，所以，故选：C4．已知函数的部分图象如图所示，其中，，.(1)求，，的值；(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的倍后，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间.【答案】(1)，，(2)单调递增区间，单调递减区间为（1）由，，得，则，所以，故；而，故，则；因为，故，故；将代入中，则，解得；（2）由（1）得，函数图象的横坐标伸长到原来的倍后，可得，再向右平移个单位长度，得到函数，令，化简得，，令，化简得，故函数的单调递增区间，单调递减区间为.5．已知函数的一段图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．(1)求函数与的解析式；(2)记函数，求的图象的对称轴方程．【答案】(1)，(2)(1)解：由图知，，于是，则；又函数的图象过点，故，即，又，则，所以．根据题意，．(2)由（1）知，，．令，得到，则的图象的对称轴方程为．类型四：的取值范围典型例题1．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（

）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【详解】由题知，因为是函数图象的一条对称轴，则，所以，又，所以的最小值为6．故选：B．2．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】由题意，，因为为奇函数，所以，解得，又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．故选：C3．设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：，但该函数图象与的图象重合，故，故，但，故，故选：B.同类题型演练1．函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为，则的值为（

）A．3 B． C．9 D．【答案】B【详解】解：函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，得到的图象解析式为，所以，故选：B.2．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，对应的函数解析式为，曲线关于轴对称，则，，又，所以的最小值是．故选：D．3．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，因此，，即有，解得，即最大值为．故选：A.类型五：求在区间上的最值典型例题1．已知函数为奇函数，且当时，.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为.（1）由题意，因为时，，∴，∴，又为奇函数，∴，即，∵，∴∴（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），可得，令，即，故函数的增区间为；令，即，故函数的减区间为.故在区间上是减函数，在区间上是增函数.又，，.所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.2．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．(1)求的解析式；(2)若函数，求在区间上的所有最大值点．【答案】(1);(2)与.（1）的图象向右平移个单位长度，得到,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数（2），当时，，所以，因为，所以，故当，即时，取得最大值，最大值为2；当时，，所以，因为，所以，故当，即时，取得最大值，最大值为2；两者取到的最大值相同均为2，综上：求在区间上的所有最大值点有与.3．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.求(1)函数的表达式，并写出它的单调区间；(2)函数在区间上的值域.【答案】(1)，单调减区间为；单调增区间为；(2)．（1）因为的最小正周期为，所以，即，将函数的图象向左平移个单位长度后，函数，由，得，由得，所以的单调减区间为；单调增区间为；（2）当时，，当时，即时，函数取得最大值，最大值为；当时，即，函数取得最小值，最小值为，所以函数的值域为.4．已知函数．(1)若，，求的值；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若曲线与的图象关于直线对称，求函数在上的值域．【答案】(1)或0或；(2)．（1），由，得，即，故或，，即或，，又∵∴或0或.（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，∵又曲线与的图象关于直线对称，∴，∵当时，，即，故函数的值域为.同类题型演练1．已知函数.(1)求的周期；(2)将函数的图象向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】(1)(2)（1）解：，所以的周期；（2）解：将函数的图象向右平移个单位，可得，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以在上的值域为.2．函数，函数的最小正周期为.(1)求函数的递增区间：(2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域.【答案】(1)(2)(1)解：，因为函数的最小正周期为.所以，所以.所以.令即所以函数的递增区间为.(2)解：将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，因为所以在上的值域为.3．已知函数的最小正周期为4π．(1)求的图象的对称轴方程；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)，(2)最大值为1，最小值为(1)∵的最小正周期为4π，∴，得．∴，由，，解得，，即的图象的对称轴方程为，．(2)由题意得，当时，，∴，即在区间上的最大值为1，最小值为．4．已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数的图象，求在区间上的值域．【答案】(1)(2)(1)由题意得：，因为的最小正周期为，所以，所以；(2)由（1）知故由题意得，，，

故，，，的值域为．类型六：三角函数中的恒（能）成立问题典型例题1．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)（1）由所以所以最小正周期为；（2）将图像上所有点的横坐标缩短为到原来的，纵坐标不变得，再向右平移个单位长度得到.要使恒成立，只需，只需的最小值大于等于即可，由，则.所以的最小值为，则，得，所以实数m的取值范围是..2．已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象.(1)求函数的解析式和值域并求取得最值时x的集合.(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)，值域为，取最小值集合，取最大值集合(2)(1)解：将向左平移个单位长度得到，再将向上平移个单位长度得到，即，因为，所以.所以函数值域为；令，，解得，，即时函数取得最小值，令，，解得，，即时函数取得最大值；(2)解：记，则由恒成立，可知，在上恒成立.即恒成立，因为，所以，令，因为在上单调递减，在上单调递增.又，.当时，不等式恒成立.所以实数m的取值范围是3．请从“①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③对任意实数，恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．已知函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，且______．(1)求的解析式(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(1)解：因为函数（，），其图象中相邻的两个对称中心间的距离为，所以函数的最小正值周期为∶,故.若选①：函数的图象关于直线对称，则，所以，解得，由于，所以，故；若选②：函数的图象关于点对称，则，所以，整理得，由于，所以，故；若选③：对任意实数，恒成立，则，所以，整理得，由于，所以，故；(2)解：将的图象向左平移个单位长度，得的图象，由，得，所以，所以.4．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知.条件：①：函数的图象关于直线对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数，恒成立.(1)直接写出的解析式(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若在区间上存在满足，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（1）函数的解析式为.下面为说明：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以，即周期，所以.所以.若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，所以，，即，.因为，所以.所以函数的解析式为.若选择②：因为函数的图象关于点中心对称，所以，，即，.因为，所以.所以函数的解析式为.若选择③：对任意实数，恒成立，所以当时，取得最大值，从而，即，因为，所以.所以函数的解析式为.（2）将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以.当时，，当，即时，有最小值.因为在区间上存在满足，所以，即的取值范围是.同类题型演练1．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离为2．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).(1)由已知得：，由函数图象两相邻对称轴之间的距离为2，所以该函数的最小正周期为4，于是，解得，所以函数的解析式为．(2)由题意知：，当时，，，，要使对任意的恒成立，只需，所以，因此实数的取值范围为．2．将正弦曲线上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线，再将曲线向左平移个单位得到曲线，曲线恰为函数的图象．(1)直接写出函数的解析式，并求出的最小正周期与单调增区间；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，最小正周期为，单调递增区间为；(2).（1）解：根据题意，．

所以，函数的最小正周期为．

由得，，则函数的单调增区间为．（2）解：由得，，则，即．由不等式对恒成立，得到，得，即的取值范围是．3．已知函数的最小正周期是π.(1)求f（x）的对称中心和单调递增区间；(2)将f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求若，|g（x）﹣m|<2恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)对称中心为，单调递增区间为(2)0<m<2(1)因为最小正周期为π，故，，令，解得：，所以对称中心为，令，解得：，所以单调递增区间为：.(2)将f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，当时，，所以，若恒成立，则m﹣2<g（x）<m+2，所以，

解得：0<m<2.4．已知函数的图象与y轴的交点为，且在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，.(1)求函数的解析式；(2)求函数的增区间和函数图象的对称中心；(3)若方程在上有解，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)增区间为；对称中心为(3)（1）解：由的图象在y轴右侧的第一个最高点和最低点的坐标分别为，，得，，∴，从而，又的图象与y轴交于点，∴，即，∵，∴，∴；（2）解：由（1）可知，令，得.故函数的增区间为，令，得，∴函数图象的对称中心为；（3）解：∵，∴，∴，又方程在上有解，∴，∴，所以实数m的取值范围为.5．函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数的图象.（1）求函数图象的对称中心.（2）当时，求的值域.（3）当时，方程有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）根据图象可知，，∴，∴，，将代入得，，即，解得，，∵，∴，，∴.函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得，曲线再向左平移个单位长度，再向上平移1个单位得令，解得∴此函数图象的对称中心为.（2）当时，，，即的值域为.（3），令，由（2）知，，因此m的取值范围为.类型七：已知函数零点（根）的个数，求参数典型例题1．已知函数，将函数的图像向右平移的单位长度，可得到函数的图像．(1)求函数的表达式以及函数的零点；(2)当时，方程有解，求实数m的取值范围；【答案】(1)，函数的零点为，(2)(1)因为所以函数的图像向右平移的单位长度，得，令，则，解得，所以函数的零点为(2)由，得，所以，即，令，则问题转化为在上有解，即在上有解，令，，因为在上递减，在上递增，所以，因为，，所以，所以实数m的取值范围为2．已知函数，将的图像向左平移个单位长度，再将纵坐标缩小为原来的，横坐标不变，得到的图象．(1)求的函数解析式；(2)若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(1)函数向左平移个单位得到函数，再将纵坐标缩短为原来的，得到函数，或写成；(2)即，有两个解，，结合正弦曲线，数形结合，易知∴．3．已知函数，其图像过点，相邻两条对称轴之间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，若方程在上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).(1)因图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则周期，解得，又，即，而，即，则，即，所以函数的解析式.(2)依题意，，当时，，而函数在上递增，在上递减，由得，由得，因此，函数在上单调递增，函数值从增到2，在上单调递减，函数值从2减到1，又是图象的一条对称轴，直线与函数在上的图象有两个公共点，当且仅当，如图，于是得方程在上有两个不相等的实数解时，当且仅当，所以实数m的取值范围.同类题型演练1．已知函数在区间上的最大值为6.（1）求常数的值以及函数当时的最小值（2）将函数的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位，得到函数的图象（i）求函数的解析式；（ii）若关于的方程在时，有两个不同实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）3,3（2）（i）（ii）【详解】（1），又时，，解得，当时，.（2）（i）的图象向下平移4个单位，再向右平移个单位得函数，（ii）由可得，在同一直角坐标系内作出的图象，由图可知，当时，即时，图象有2个交点，即有2个根.2．已知．(1)求最小正周期；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（1）故，所以最小正周期为．（2）由，可得，而函数在上单调递增，；在上单调递减，．所以若函数在上有两个不同的零点，即与有两个交点，则．3．已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个不同的根，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(1)函数为偶函数令，可得图像的相邻两对称轴间的距离为(2)将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再将横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像若在上有两个不同的根，则在上有两个不同的根，即函数的图像与直线在上有两个不同的交点.，，，求得故的取值范围为．类型八：求函数零点（根）的代数和问题典型例题1．已知函数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式.(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.【答案】(1)(2)(3)（1）由题意，函数，因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，故函数.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图所示：可得方程在区间有5个解时，即，其中，即，，解得，所以.从而2．已知函数，其图象中相邻的两个对称中心的距离为，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知．条件①：函数的图象关于直线对称；条件②：函数的图象关于点对称；条件③：对任意实数x，恒成立．(1)求出的解析式；(2)将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，若方程在上有两根，，求的值及的取值范围．【答案】(1)；(2)，.(1)解：因为函数的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以，即周期，所以．所以．若选择①：因为函数的图象关于直线轴对称，所以，，即，．因为，所以．所以函数的解析式为．若选择②，函数的图象关于点对称，所以，所以，，即，．因为，所以．所以函数的解析式为．若选③：对任意实数x，恒成立，所以，，即，．因为，所以．所以函数的解析式为．(2)解：将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，所以，当时，，当时，有最小值且关于对称，所以，，，．3．已知数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.【答案】(1)(2)(3)（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称