直角三角形的判定课件华东师大版数学八年级上册

13.1勾股定理及其逆定理第13章

勾股定理华东师大版（2024）八年级上册2.直角三角形的判定情境引入1.了解直角三角形的判定条件．（重点）2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）核心素养目标(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道这是什么道理吗?

据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：

他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?导入新课问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：(1)a=3,b=4,c=5;(2)a=4,b=6,c=8;(3)a=6,b=8,c=10.

可以发现，按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角三角形.讲授新课这三组数都满足a2+b2=c2吗？

在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.

对于任意一个三角形，若三边长满足

a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？B′C′例1

已知：如图，在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°.ABCA′证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°A′C′=b，B′C′=a，则A′B′²=a²+b²=c²，即A′B′=c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C=∠C′=90°.典例精析

分析：根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.

例2

判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?

(1)a=7，b=25，c=24;(2)a=13，b=11，c=9.

解:(1)最长边为25，

∵a2+c2=72+242

=49+576=625，b2=252=625，

∴a2+c2=b2.

∴以7,25,24为边长的三角形是直角三角形.

(2)最长边为13，

∵b2+c2=112+92

=121+81=202，a2=132=169，

∴b2+c2≠a2.

∴以13,11,9为边长的三角形不是直角三角形.例3

一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图1图2在△BCD中，

所以△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，

所以△ABD

是直角三角形，∠A是直角.

例4已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定AB、BC、AC、的大小能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3,4,5；6,8,10；n²-1,2n,n²+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.讲授新课例5

下列各组数是勾股数的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.典例精析一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数课堂小结1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(

)A．3，4，5

B．2，3，4C．4，6，7

D．5，11，12A当堂练习C3．已知△ABC的三边长为a，b，c，满足a＋b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为________三角形.直角解：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×1＝14＝c2，∴△ABC是直角三角形5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54

(2)∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，∴AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形6．请完成以下未完成的勾股数：(1)8，15，____；(2)10，____，26.7．满足条件a2＋b2＝c2的一组正整数a，b，c称为勾股数，下列各组数中，不是勾股数的是(

)A．5，12，13

B．6，8，10C．7，24，25

D．9，30，318．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是(

)A．a＋2，b＋2，c＋2

B．a2，b2，c2C．3a，3b，3c

D．a－2，b－2，c－21724DC9．对于任意两个正整数m，n(m＞n)，下列各组三个数为勾股数的一组是(

)A．m2＋mn，m2－1，2mnB．m2－n2，2mn，m2＋n2C．m＋n，m－n，2mnD．n2－1，n2＋mn，2mnB10．(复习题11变式)已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则它的形状为(

)A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D11．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(

)C12．如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′＝____，∠APB＝________度．6150点拨：连结PP′，易知△AP′P是等边三角形，∴P′P＝6，∠APP′＝60°，由△PAC≌△P′AB得P′B＝PC＝10，在△PP′B中，易知有P′P2＋PB2＝P′B2，∴∠BPP′＝90°，∴∠APB＝60°＋90°＝150°13．(复习题8变式)如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．解：24m214．(例题4变式)如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BE＝3CE.试判断△AEF的形状，并说明理由．解：△AEF是直角三角形，理由如下：设CE＝a，则BE＝3a，正方形ABCD的边长为4a，DF＝CF＝2a，∵AF2＋EF2＝(AD2＋DF2)＋(CE2＋CF2)

＝[(4a)2＋(2a)2]＋[a2＋(2a)2]

＝25a2，AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2，∴AF2＋EF2＝AE2，∴∠AFE＝90°，即△AEF是直角三角形16．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的式子表示：a＝__________，b＝____，c＝_________；