人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元测试卷(含答案)

人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元测试卷(含答案)一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.$\sqrt{7}$B.$\sqrt[3]{m}$C.$\sqrt{a^2+1}$D.$\sqrt{\frac{a}{b}}$2.若二次根式$\sqrt{x2}$有意义，则$x$的取值范围是（）A.$x\gt2$B.$x\geq2$C.$x\lt2$D.$x\leq2$3.化简$\sqrt{(3)^2}$的结果是（）A.3B.3C.$\pm3$D.94.下列二次根式中，最简二次根式是（）A.$\sqrt{8}$B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$C.$\sqrt{6}$D.$\sqrt{0.3}$5.计算$\sqrt{12}\sqrt{3}$的结果是（）A.$\sqrt{3}$B.3C.$3\sqrt{3}$D.96.若$\sqrt{(x2)^2}=2x$，则$x$的取值范围是（）A.$x\leq2$B.$x\lt2$C.$x\geq2$D.$x\gt2$7.计算$\sqrt{27}\div\sqrt{3}$的结果是（）A.9B.3C.$3\sqrt{3}$D.$\sqrt{3}$8.已知$a=\sqrt{2}+1$，$b=\sqrt{2}1$，则$a^2+b^2$的值为（）A.4B.6C.3$2\sqrt{2}$D.3+$2\sqrt{2}$9.已知$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}\sqrt{2}$，则$x^2y+xy^2$的值为（）A.2B.4C.$\sqrt{6}$D.$2\sqrt{6}$10.已知$m=1+\sqrt{2}$，$n=1\sqrt{2}$，且$(7m^214m+a)(3n^26n7)=8$，则$a$的值等于（）A.5B.5C.9D.9二、填空题（每题3分，共18分）11.当$x$______时，$\sqrt{3x1}$在实数范围内有意义。12.化简：$\sqrt{18}=$______。13.计算：$\sqrt{2}\times\sqrt{6}=$______。14.若最简二次根式$\sqrt{2a1}$与$\sqrt{a+3}$是同类二次根式，则$a=$______。15.已知$a=\frac{1}{\sqrt{5}2}$，$b=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$，则$a+b=$______。16.观察下列各式：$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…，请你将发现的规律用含自然数$n$（$n\geq1$）的等式表示出来______。三、解答题（共52分）17.（8分）计算：(1)$\sqrt{27}\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{3}}$；(2)$(\sqrt{48}\sqrt{75})\times\sqrt{1\frac{1}{3}}$。18.（8分）化简：(1)$\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}2$；(2)$(\sqrt{12}\sqrt{\frac{1}{2}}2\sqrt{\frac{1}{3}})2(\sqrt{\frac{1}{8}}\sqrt{18})$。19.（8分）已知$x=\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$，求$x^2+y^2xy$的值。20.（8分）已知$a$，$b$为实数，且$\sqrt{1+a}(b1)\sqrt{1b}=0$，求$a^{2023}b^{2023}$的值。21.（10分）已知长方形的长$a=\frac{1}{2}\sqrt{32}$，宽$b=\frac{1}{3}\sqrt{18}$。(1)求长方形的周长；(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系。22.（10分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a$，$b$，$m$，$n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2mn\sqrt{2}$。∴$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了一种把类似$a+b\sqrt{2}$的式子化为平方式的方法。请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，得：$a=$______，$b=$______；(2)利用所探索的结论，找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n$填空：______+______$\sqrt{3}=($______+______$\sqrt{3})^2$；(3)若$a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值。答案一、选择题1.C【解析】二次根式要求被开方数是非负数。选项A中，$7\lt0$，$\sqrt{7}$无意义；选项B是三次根式；选项D中，当$\frac{a}{b}\lt0$时，$\sqrt{\frac{a}{b}}$无意义；选项C中，因为$a^2\geq0$，所以$a^2+1\gt0$，$\sqrt{a^2+1}$一定是二次根式。2.B【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以$x2\geq0$，解得$x\geq2$。3.B【解析】$\sqrt{(3)^2}=\sqrt{9}=3$。4.C【解析】最简二次根式需满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母。选项A，$\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}$；选项B，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；选项D，$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$；只有选项C是最简二次根式。5.A【解析】$\sqrt{12}\sqrt{3}=\sqrt{4\times3}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\sqrt{3}=\sqrt{3}$。6.A【解析】因为$\sqrt{(x2)^2}=\vertx2\vert$，又$\sqrt{(x2)^2}=2x=(x2)$，所以$\vertx2\vert=(x2)$，根据绝对值的性质可知$x2\leq0$，即$x\leq2$。7.B【解析】$\sqrt{27}\div\sqrt{3}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$。8.B【解析】$a^2+b^2=(a+b)^22ab$，$a+b=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}1=2\sqrt{2}$，$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}1)=(\sqrt{2})^21^2=21=1$，所以$a^2+b^2=(2\sqrt{2})^22\times1=82=6$。9.D【解析】$x^2y+xy^2=xy(x+y)$，$x+y=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}=2\sqrt{3}$，$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2(\sqrt{2})^2=32=1$，所以$x^2y+xy^2=1\times2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。10.A【解析】先对$m$，$n$进行变形。因为$m=1+\sqrt{2}$，所以$m1=\sqrt{2}$，两边平方得$(m1)^2=2$，即$m^22m+1=2$，$m^22m=1$，$7m^214m=7$。同理，$n=1\sqrt{2}$，$n1=\sqrt{2}$，$(n1)^2=2$，$n^22n+1=2$，$n^22n=1$，$3n^26n=3$。将其代入$(7m^214m+a)(3n^26n7)=8$得$(7+a)(37)=8$，即$(7+a)\times(4)=8$，$7+a=2$，解得$a=5$。二、填空题11.$x\geq\frac{1}{3}$【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以$3x1\geq0$，解得$x\geq\frac{1}{3}$。12.$3\sqrt{2}$【解析】$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。13.$2\sqrt{3}$【解析】$\sqrt{2}\times\sqrt{6}=\sqrt{2\times6}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}$。14.4【解析】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。因为最简二次根式$\sqrt{2a1}$与$\sqrt{a+3}$是同类二次根式，所以$2a1=a+3$，解得$a=4$。15.$2\sqrt{5}$【解析】先对$a$，$b$进行分母有理化，$a=\frac{1}{\sqrt{5}2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}+2}{54}=\sqrt{5}+2$，$b=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}2)}=\frac{\sqrt{5}2}{54}=\sqrt{5}2$，则$a+b=\sqrt{5}+2+\sqrt{5}2=2\sqrt{5}$。16.$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（$n\geq1$）【解析】观察可得规律：等式左边根号外的部分与被开方数中整数部分相同，被开方数是一个整数与一个分数的和，分数的分子是1，分母比整数大2；等式右边是一个整数与一个二次根式的乘积，整数比左边根号外的数大1，二次根式的被开方数是左边分数。三、解答题17.(1)【解析】\[\begin{align}&\sqrt{27}\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{3}}\\=&\sqrt{9\times3}\sqrt{4\times3}+\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\\=&3\sqrt{3}2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{3\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\\=&\frac{4\sqrt{3}}{3}\end{align}\](2)【解析】\[\begin{align}&(\sqrt{48}\sqrt{75})\times\sqrt{1\frac{1}{3}}\\=&(\sqrt{16\times3}\sqrt{25\times3})\times\sqrt{\frac{4}{3}}\\=&(4\sqrt{3}5\sqrt{3})\times\frac{2}{\sqrt{3}}\\=&(\sqrt{3})\times\frac{2}{\sqrt{3}}\\=&2\end{align}\]18.(1)【解析】\[\begin{align}&\frac{\sqrt{20}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}2\\=&\frac{\sqrt{4\times5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}2\\=&\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}2\\=&\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}2\\=&32\\=&1\end{align}\](2)【解析】\[\begin{align}&(\sqrt{12}\sqrt{\frac{1}{2}}2\sqrt{\frac{1}{3}})2(\sqrt{\frac{1}{8}}\sqrt{18})\\=&(2\sqrt{3}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{2\sqrt{3}}{3})2(\frac{\sqrt{2}}{4}3\sqrt{2})\\=&2\sqrt{3}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{2}}{2}+6\sqrt{2}\\=&(2\sqrt{3}\frac{2\sqrt{3}}{3})+(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+6\sqrt{2})\\=&\frac{4\sqrt{3}}{3}+5\sqrt{2}\end{align}\]19.【解析】先对$x$，$y$进行分母有理化：$x=\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}\sqrt{2})}=\frac{32\sqrt{6}+2}{32}=52\sqrt{6}$；$y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{6}+2}{32}=5+2\sqrt{6}$。则$x+y=(52\sqrt{6})+(5+2\sqrt{6})=10$，$xy=(52\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=2524=1$。$x^2+y^2xy=(x+y)^23xy=10^23\times1=1003=97$。20.【解析】因为$\sqrt{1+a}(b1)\sqrt{1b}=0$，可变形为$\sqrt{1+a}+(1b)\sqrt{1b}=0$。因为二次根式具有非负性，即$\sqrt{1+a}\geq0$，$\sqrt{1b}\geq0$，要使等式成立，则$\sqrt{1+a}=0$且$(1b)\sqrt{1b}=0$。由$\sqrt{1+a}=0$得$1+a=0$，$a=1$；由$(1b)\sqrt{1b}=0$得$1b=0$，$b=1$。所以$a^{2023}b^{2023}=(1)^{2023}1^{2023}=11=2$。21.(1)【解析】已知$a=\frac{1}{2}\sqrt{32}=\frac{1}{2}\times\sqrt{16\times2}=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，$b=\frac{1}{3}\sqrt{18}=\frac{1}{3}\times\sqrt{9\times2}=\fr