2025-2026学年广东省八校联盟高二上学期质检一数学试题含答案

高中2025~2026学年度第一学期八校联盟高二教学质量检测（一）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（）A.0.5，0.5 B.0.51，0.51 C.0.49，0.49 D.0.5，0.492.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（）A. B.C. D.3.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（

）A.A与B是对立事件 B.B与C是对立事件C.A与C是互斥事件 D.A与B是互斥事件4.在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（）A. B. C. D.5.已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.96.在三棱锥中，若，，，则（）A. B.1 C. D.07.已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.8.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（）A.身高在A层次中的女生人数比男生多B.身高在B层次中的人数最多C.身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%D.身高在E层次中男生有3人10.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（）A. B.C.侧棱与底面所成角的余弦值为 D.直线AM与CN所成角的正弦值为11.下列说法正确的是（）A.已知事件，若，，且，则B.已知事件，若，且与相互独立，则C.已知事件，若，，且，则与相互独立D.某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本方差为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795413.从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______．14.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准.15.已知，，，，，求：（1）的值；（2）与夹角的余弦值.16.在平面直角坐标系中，已知三点.（1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；（2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.17.为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．18.在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：（1）的长；（2）直线和所成角的余弦值.19.甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率；（2）为使乙获胜概率更大，应该由谁首次投篮？20.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.（1）求证：；（2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值.21.如图，在四棱锥中，底面是菱形，．平面平面分别是棱的中点，分别在线段，上，且．（1）证明：四点共面；（2）证明：平面；（3）设直线与直线交于点，当直线与平面所成角正弦值为时，求的值．2025~2026学年度第一学期八校联盟高二教学质量检测（一）数学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（）A.0.5，0.5 B.0.51，0.51 C.0.49，0.49 D.0.5，0.49【答案】D【解析】【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案.【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，故“正面朝上”的频率为，每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5.故选：D2.如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解.【详解】故选：A3.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（

）A.A与B是对立事件 B.B与C是对立事件C.A与C是互斥事件 D.A与B是互斥事件【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误；对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确；对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误；对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误.故选：B．4.在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案.【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等．又，则，又，所以，.故选：A5.已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（）A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解.【详解】由于与对立，，则，又与互斥，，则.故选：B6.在三棱锥中，若，，，则（）A. B.1 C. D.0【答案】B【解析】【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.【详解】因为，，，所以故选：B7.已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可.【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以，，则，，所以空间向量在方向上的投影向量为，故选：D8.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解.【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，则，，而，因此，即该电子元件能正常工作的概率是.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（）A.身高在A层次中的女生人数比男生多B.身高在B层次中的人数最多C.身高在D层次女生，占女生人数的比例超过15%D.身高在E层次中的男生有3人【答案】BCD【解析】【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人，样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，所以样本中B层次身高人数最多，B正确；对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确；对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确.故选：BCD10.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（）A. B.C.侧棱与底面所成角的余弦值为 D.直线AM与CN所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C.【详解】由正四面体ABCD，可得，对于A，，则，所以，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于D，，则，，设直线所成角为，则，所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确；对于C，连接，在上取点，使得，连接，则平面，则即为直线与平面所成角的平面角，在中，，则，由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等，所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确.故选：ACD11.下列说法正确的是（）A.已知事件，若，，且，则B.已知事件，若，且与相互独立，则C.已知事件，若，，且，则与相互独立D.某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据条件得，即可求解；对B和C，利用相互独立事件的概率公式，再结合选项条件，即可求解；对D，利用分层抽样方差计算公式，结合选项条件，直接求出方差，即可求解.【详解】对选项A，因为，所以，则，所以选项A正确；对于选项B，因为与相互独立，，则，又，所以选项B错误；对于选项C，因为，又，则，所以与相互独立，故选项C正确，对于选项D，样本总体平均数，总体样本的方差为，所以选项D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】704【解析】【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案.【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704，所以得到的第4个样本个体的编号是704.故答案为：70413.从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______．【答案】##【解析】【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解.【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为，则试验的样本空间为，共10个样本点，选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个，则所求概率为．故答案为：.14.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______．【答案】【解析】【分析】首先根据向量以为基底时的坐标，得到关于，，的表达式，然后设以为基底时的坐标为，得到关于，，的表达式，最后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到，，的值，即为所求坐标.【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以．设向量在新基底下的坐标为，则，即则，解得，所以以为基底时的坐标为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准.15.已知，，，，，求：（1）的值；（2）与夹角的余弦值.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解；（2）由向量夹角的坐标公式即可求解.【小问1详解】因为，所以，解得，，所以，又，则，即，得，于是，则.【小问2详解】由（1）得，设与的夹角为，所以，所以与夹角的余弦值为.16.在平面直角坐标系中，已知三点.（1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；（2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程.（2）按截距是否为0分类，再结合直线截距式方程求解.【小问1详解】由，得直线的斜率为，由，得直线的斜率为，所以直线的方程为，即【小问2详解】设直线在上的截距为，当时，直线过原点及点，方程为，即；当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为，所以直线的方程为或.17.为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．【答案】（1），平均数为分，中位数为分；（2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】由已知可得，解得，所抽取的名学生成绩的平均数为（分），由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以，中位数，由题意可得，解得（分）.【小问2详解】由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种.其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种.故所求概率为.18.在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：（1）的长；（2）直线和所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先设，，，得出，利用向量数量积运算律计算即得；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】如图，连接，设，，，依题意，而，，所以.【小问2详解】连接，，所以，又，，所以，故直线和所成角的余弦值为.19.甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球概率；（2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？【答案】（1）（2）乙【解析】【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算可得答案；（2）由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式，分别求解甲和乙首次投篮时乙获胜的概率，比较大小即可求解.【小问1详解】根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，则，，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，则．【小问2详解】若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件，则；若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则.因为，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮.20.如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.（1）求证：；（2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值.【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论；（2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的