【提升版】北师大版九年级数学上册 菱形的性质与判定 同步练习（含解析）

【提升版】北师大版数学九上1.1菱形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.如图，菱形ABCD中，AC=6,BD=8,AH_LBC于点H.贝UAH=（）

A.24B.10C.昔D.导

2.如图，在菱形ABC。中，分别以点C,D为圆心，大于劣CD长为半径画弧，两弧分别交于点M,

N,连接MN.若直线M/V恰好过点A且交，。于点E,连接8口则，。。。是（）

A.乙BCD=105°B.乙BCD=110°C.乙BCD=115°D.乙BCD=120°

3.如图，在菱形4BCD中,点分别是边OCM。的中点，连接B&E凡BF.若菱形力BCD的面积为

16,则ABEF的面积为（)

C.6D.5

4.用尺规在一个平行四边形内作菱形A8CD,如图所示的作法中错误的是（）

5.如图，在四边形4BC0中，E、F、G、H分别是边48、BC、CD、。力的中点.请你添加一个条

件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（)

A.AB=CDB.AC1BDC.CD=BCD.AC=BD

6.如图，矩形4BCD的对角线AC,BD相交于点O,DEHAC,CE||8D,点M,N分别是AO,4。的

中点，连接MN,若四边形。CED的周长是16,则MN的长为（）

A.1B.2C.4D.8

7.如图，四边形A8CD是菱形，过点。的直线EF分别交84,8C的延长线于点E,F,若N1=25。,

上2=75°,则N8/C等于()

C.60°D.75°

8.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,E是AB边上一动点（不与A、B重合），J3.ZEDF=ZA,则

)

A.AL=BhB.ZADE=ZBEb

C.△DEF是等边三角形D.ZiBEF是等腰三:角形

二、填空题

9.如图，菱形ABCD的边长为6,对角线AC、BD相交于点O,乙4BC=120。，点P是AC上一

动点，点E是AB的中点，则P8+PE的最小值为.

10.如图，在菱形A8C。中，24=38°,分别以A,8为圆心，以大于夕8长为半径，作弧交于两

点，过此两点的直线交4。边于点石，连接BE,BD,则NEB。的度数为.

11.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使NABO60。，则四边形ABCD的面积

为•

12.如图，在中，以点力为圆心，4B长为半径作弧，交力。于点F；分别以B,F为圆心，大

于;B严长为半径作弧，两弧交于点G,连接AG并延长，交BC于点E.若AE=6,BF=4,则48的长

为.

13.如图，已知菱形ABCD的一个内角/BAD=80。，对角线AC、BD相交于点0,点E在AB上且BE=

BO,BUBEO=度.

三、解答题

14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF〃BC交BE的

延长线于F,RF交AC于G,连接CF.

(2)若NBAC=90。，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

15.如图，在平行四边形48C。中，乙48c的平分线8E交4。于点石，AF上BE交BE于点、F,交

8c于点G,连结EG,CF.

(1)判断四边形AEG8的形状，并说明理由.

(2)若tan乙4BC=V5，CD=8,AD=10,求线段b的长.

16.如图，在AABC中，Z-C=90°.6。平分N48C交AC于点。.过。作。E〃8C交4。于点

E.DF〃AB交BC于点八连接口

A

(I)求证：四边形8FDE是菱形；

(2)若48=8,AD=4,求B尸的长.

17.如图，在四边形ABC。中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,8。交于点O,AC平分N8A。，过

点C作CEJ_AB交48的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABCQ是菱形；

(2)若>3=10,。。=8,求。E的长.

18.课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

(1)定理证明

为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.

已知：在□48CD中，对角线BDJ.AC,垂足为。.

求证：EI/IBCZ)是菱形.

(2)知识应用

如图2,在口4以：。中，对角线AC和“。相交于点。，AD=5,AC=8,BD=6.求证：wW。”是

菱形.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：如图设4C,BD交于点O,

•.•菱形ABCD中，AC=6,BD=8,

11

•••AC1BD,AO=C0=^AC,BO=DO=^BD

111_____________

•••BC=(^AC)2+0BD)2=V32+42=5

7乙乙

vAH1BC

1

jAC,BD=BC-AH

1

J.5x6x8=5x4H

乙

解得4H=普

故答案为：C

【分析】设AC,BZ）交于点0,先利用勾股定理求出BC的长，再结合鼻LBQ=BC-AH,将数据

代入求出4"=告即可。

2.【答案】D

3.【答案】C

【解析】【解答】解：连接4c和80,

•・•四功形ABCD是菱形,

：.D0=OB,AC±BD,

•11

•*-s^DAC=2s菱形48C0=2X16=8

丁点E,F分别是边OC,AO的中点，

••・EF是△ADC的中位线，

：.EFIIAC,EF=^AC,

丁,$△〃£「—扣A£MC=/X8=2，

•・•点E,F分别是边OC,AO的中点，

.11

,'SADBF=SADBE=4s菱形48C0=4X16=4,

:,SABEF=S4DBF+S4DBE—S^DEF=44-4—2=6,

故答案为：C.

【分析】先根据菱形的性质求得S44c，再根据三角形的中位线定理，可得EF=；AC,EFIIAC,从

而求得SADEF，再利用S"EF=S&DBF+SADBE-S“£F求解.

4.【答案】C

5.【答案】B

【蟀析】【解答】解：应添加的条件是4clBD,理由为：

证明：•••£、F、G、H分别为AB、BC、CD、D4的中点，

：•EH||BD,FG||BD,HG||AC,EF||AC,

：.EH||FG,HG||EF,

・•・四边形EFGH为平行四边形，

A、添加的条件是/IB=CD时，四边形E/G〃为平行四边形，故此选项不符合题意；

B、添加的条件是4clB0,贝IJEH1EF,所以四边形ETGH为矩形，故此选项符合题意；

C、添加的条件是CO=BC,四边形EFG”为平行四边形，故此选项不符合题意；

D、添加的条件是月。=80,

•••£、尸、G、〃分另I」为48、BC、CD、。力的中点，且4C=BD,.•.£〃=2BD,FG=』BD,HG=^AC,

乙乙乙

EF=*AC，

EH=HG=GF=EF,

则四边形EFGH为菱形，故此选项不符合题意：

故答案为：B.

【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理逐项进行

判断即可求出答案.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・DE〃AC,CE〃BD,

，四边形OCED是平行四边形，

•・•四边形ABCD是矩形，

AOC=OD=1AC=1BD,

・•・四边形OCED是菱形，

•・♦四边形OCED的周长为16,

・・・OD[X16=4,

4

♦・•点M、N分别是AD、A0的中点，

AMN是^AQD的中位线.

AMN=lxOD=2.

故答案为：B.

【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCED是平行四边形，由矩形的性

质得OC=OD,从而判定四边形OCED是菱形，已知四边形OCED的周长为16,得OD=4,根据中

位线的定义得MN是4AOD的中位线，根据中位线定理即可求解.

7.【答案】B

【解析]【解答】

由菱形ABCD可得，AB/7CD,AC平分NBAD,

.•.ZBAD+ZADC=180°,

丁ZADC=180°-Zl-Z2=l80o-25°-75o=80°,

AZBAD=l()0o,

/.ZBAC=|ZBAD=50°o

故答案为：B

【分析】

根据菱形的性质可得出BAD+/ADC=180。，求出/ADC可得/BAD,再根据AC平分/BAD可得

ZBACo

8.【答案】D

【解析】【解答】解：连接BD，

•・•四边形ABCD是菱形，

.*.AD=AB,AB//CD,BD平分/ADC,

AZADB=1ZADC,ZA+ZADC=180°,

VZA=60°,

.\60o+ZADC=180°,

解得NADC=120。，

AZADB=60o,

/.△ABD是等边三角形，

，AD=BD,

VZEDF=ZA,

・•・ZADE+ZBDE=60°,NBDE+NBDF=/EDF=60°,

AZADE=ZBDF,

在AADE和^BDF中，

^ADE=ABDF

AD=BD

LA"DBF

/.△ADE0△BDF(ASA),

・・・DE=DF,AE=BF,故A正确；

VZEDF=60°,DE=DF,

・・・AEDF是等边三角形，

・・・C正确；

•••△EDF是等边三角形，

.\ZDEF=60°,

/.ZAED+ZBEF=120°,

•・•ZAED+ZADE=180°-ZA=120°，

AZADE=ZBEF；

故B正确.

VAADE^ABDF,

JAE=BF,

同理：BE二CF,

但BE不一定等于BF.

故D错误.

故答案为：D.

【分析】连结BD,利用菱形的性质，结合已知，可以证明△ADE咨Z\BDF,根据全等三角形的性质

可得AE=BF,从而可得A正确；

根据△ADEgABDF,利用全等三角形的性质，可得DEnDF,结合ZEDF=ZA,可证明^EDF是

等边三角形，从而可得C正确；

由AEDF是等边三角形，结合/DEF=60°,可证得/ADE=/BEF,从而可判断B止确.利用排除法

可确定D错误.

9.【答案】3V3

【解析】【解答】解：连接DE,与AC相交于点P,连接BP,如图：

D

B

则PB+PE=DE,此时PB+PE有最小值;

•・•菱形ABCD中，乙ABC=120°,

AAD=BD,4DAB=60。,

・•・AABD是等边三角形，

•・•点E是AB的中点，

ADE1AB,

1

V.4F=BD=6,BE=^AB=3,

**•DE—V62-32=3V3:

故答案为：3遮.

【分析】连接DE与AC相交于点P,连接BP,则PE+PB的最小值为DE,易得AD=BD,

ZDAB=60°,推出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BD=6,DE1AB,

BE=1AB=3,然后利用勾股定理进行计算.

10.【答案】33°

【解析】【解答】解：•••四边形4BCD是菱形，

AB=ADt

•••LABD=Z.ADBf

•••LA=38°,

•••LABD=|X(180°-38°)=71。,

由题意得：E在48的垂直平分线上，

EB=EA,

LF.RA=Z.A=38°,

・•・LEBD=Z.ABD-4EBA=71°-38°=33°.

故答案为：33。.

【分析】根据菱形的性质可得AB二AD,由等边对等角得NABD=NADB,然后根据三角形的内角和

定理求出NABD,再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,由等边对等角得/EBA=/A=38。，进

而可求ZEBD的度数.

11.【答案】6V3

【解析】【解答】解：•・•纸条的对边平行，即AB〃CD,AD/7BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

•・•两张纸条的宽度都是3,

.，•S四边彩ABCD二ABx3二BCx3,

AAB=BC,

，平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形.

如图，过A作AE_LBC,垂足为E,

VZABC=60°,

AZBAE=90°-6O°=3O°,

AAB=2BE,

在△ABE中，AB2=BE2+AE2,

即AB2=AAB2+32,

解得AB=2>/3,

*,*S四边彩ABCD=BC・AE=2V5X3=6V3.

故答案是：6V3.

【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，

利用面积求出AB二BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3cm与NABC=60。求出

菱形的边长，然后利用菱形的面积=底乂高计算即可.

12.【答案】＜13

【解析】【解答】解：设AE交B广于点0,连接EF,如图所示：

由作图可知：AB=AF,AE1BF

•••OB=OF,Z,BAE=乙EAF,

•••四边形力BC0是平行四边形，

•••AD||BC,

LEAF=乙AEB,

•••LBAE=Z.AEB,

AB=BE=AF,

-AF||BE,

••・四边形/18EF是平行四边形，

AB=AF,

.•・四边形ABEF是菱形，

...0A=OE=^AE=3,OB=OF=^BF=2,

在RtUOB中，•••乙4。8=90。,

AB-\/0A2+OB2-713，

故答案为：V13

【分析】设人后交BF于点0,连接EF,进而根据作图-垂直平分线得到凡AE1BF,从而得到

0B=0F,乙BAE=KEAF,再根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到=进而

根据平行四边形的判定和菱形的判定与性质得到。4=。/?=义4/?=3,0B=0F=^BF=2,从而

乙乙

运用勾股定理即可求解。

13.【答案】65

【解析】【解答】解：在菱形4BC。中，AB=AD,Z.BAD=80°,

皿八180°-80°

•••LABD=-----------=5rA00，

,:BE=BO,

1800-50°

•••LBEO==65。，

2

故答案为：65

【分析】先根据菱形的性质结合等腰三角形的性质求出NABD的度数，从而结合题意即可求解。

14.【答案】（1）证明：•・•点E是AD的中点,

，AE=DE,

•・・AF〃BC,

AZAFE=ZDBE,

在4AEF和^DEB中，

/.AFE=Z-DBE

Z.AEF=乙DEB,

AE=DE

.*.△AEF^ADEB(AAS),

，EF=EB；

(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下:

AEF^ADEB,

AAF=BD,

•JAD是BC边上的中线，

・・・BD=DC,

AAF=DC,

又AF〃BC,

・•・四边形ADCF是平行四边形,

VZBAC=90°,AD是BC边上的中线,

・・・AD=DC,

・•・四边形ADCF是菱形；

【解析】【分析】⑴论证两线段EF和EB相等，可以优先考虑两线段所在的三角形全等，由图可知可

以论证三角形AEF和三角形DBE全等；点E是BF的中点可知BE等于EF,平行线可以论证角相

等，还有对■顶角相等，可以找到两三角形全等的条件，再由全等三角形性质可得对应边相等。

⑵、由直角三角形斜边上中线的性质可知AD等于BD等于CD,再由上小题可知AF和BD平行且

相等，故AF和CD平行且相等，可以论证四边形ADCF是平行四边形，再加DA等于DC就可以论

证四边形ADCF是菱形，(菱形的定义)。

15.【答案】(1)证明：平分〃BC,

•••LABE=(CBE,

•••四边形ABCD是平行四边形，

•••AOIIBCHAD=BC,

•••LCBE=乙AEB,

LABE=Z.AEB=乙CBE,AAB=AE,

vAFLBE,.%EF=BF,

vLAFE=乙GFB,

•••△AFEAGFB(ASA),

•••AE=BG,

-AD||BC,

••・四边形AEGB是平行四边形，

AB=AE,

四边形AEGB是菱形；

(2)解：,.0tanz.ABC=V3，Z-ABC=60°,

过点F作FM18C于点M,如图所示：

B

MG

AG_LBE,

乙GBE=^Z-ABC=30°,BG=AB=CD=8,BC=AD=10

•••FG=软G=4,二BF=y/3FG=4A/5,

FM=^BF=26，BM=gFM=6，.**CM=BC-BM=10-6=4

在RtAFMC中，根据勾股定理得：CF='FM?+CM?=g不在=却.

【解析】【分析】（1）由题意，用角边角可证△AFEgAGFB,于是可得AE=BG,结合已知，根据一

组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEGB是平行四边形，然后根据有一组邻边相

等的平行四边形是菱形可求解；

（2）过点F作于点M,由线段的构成CM=BC-BM求出CM的值，然后在RlAFMC中，

用勾股定理可求解.

16.【答案】（1）证明：vDE//BC,DF//AB,二四边形8FDE是平行四边形.

•••80平分4/BC,•••Z.ABD=乙CBD.•:DE//BC,乙CBD=乙EDB,

LABD=Z.EDB,：.EB=ED,•.•四边形8/OE是菱形

（2）解：vED//BF,4c=90°,.%^ADE=90°.

设则DE=8E=x,：.AE=8-x,

在私△ADE中，AE2=DE2+AD2,/.（8-x）2=x2+42,

解得，x=3,BF=3.

【解析】【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质，结

合等腰三角形的判定证EB=ED,即可得到平行四边形BFDE是菱形;

（2）设8/=x,于是有OE=8E=x,AE=S-x,在RtAAOE中，由勾股定理可得

求出x的值即可.

17.【答案】（1）证明：・・・AB〃CD,

AZCAB=ZDCA,

••,AC为NDAB的平分线，

AZCAB=ZDAC,

AZDCA=ZDAC,

ACD=AD,

VAB=A