【提升版】北师大版九年级数学上册 正方形的性质与判定 同步练习（含解析）

【提升版】北师大版数学九上1.3正方形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.如图，E,F分别是正方形的边BC,CO上的点，连接AE,AF,EF,乙氏4尸=45。，则下列结论中

一定成立的是（）.

A.BE+DF=EFB.BE+。尸=C.BE+DF=&ABD.AE+DF=V2AB

2.如图所示，小明用七巧板拼成一个对角线长为4的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则

3.如图，在正方形4BCD中，点E,F分别在边BC,0C上，AE.4尸分别交BD于点M,N,连接

CN、EN,且CN=EN.下列结论：®AN=EN,AN1EN；（2）BE+OF=EF；③4DFE=

2乙4MN；@EF2=2BM2+2DN2.其中正确结论的个数是（）

4.如图，在正方形48CD中，点M、N是对角线8。上的两点，且NM4N=45。.若BM=3,DN=

A.5B.6C.7D.8

5.如图，在平行四边形ABCD中，40=248=2,乙ABC=60。，E,F是对角线BD上

的幼点，且BE=DF,M,N分别是边4。，边BC上的动点.下列四种说法：

①存在无数个平行四边形MENF；

②存在无数个矩形MENF；

③存在无数个菱形MENF；

④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是()

C.3D.4

6.如图，在平面直角坐标系中，点4在y轴上，点B在工轴上，以力B为边作正方形4BCD,点C的坐

标(7,3)在一次函数y=kx+6上，一次函数与第轴交于点E,与y轴交于点F,将正方形4BCD沿工轴向

左平移Q个单位长度后，点。刚好落在直线EF上，贝b的值是()

7.如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点?在边8c上，且AE=CF,连接DF,

EF.若=则/4E/7=()

A.90°-2aB.450-aC.45°+aD.a

8.如图，已知正方形ABCD的边长为4,E是AB边延长线上一点，BE=2,F是AB边上一点，将

△CEF沿CF翻折，使点E的疝应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H,则FH的长是

()

A.B.巫C.1D.在

333

二、填空题

9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下，请你添

加一个条件,使矩形ABCD是一正方形.

10.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，Z1=Z2,则/BPC的度数

为1

11.如图，E是边长为6的正方形A8CD的边48上一点，且4E=2,P为对角线8。上的一个动

点,则△APE周长的最小值是.

12.如图，正方形A8CD功长为6,点E为CO边的中点，连接8E,将△8CE沿8E翻折得到△BFE,延

KB/交4。于点G,则4G改为.

13.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E,F分别为边AB,BC的中点，连接AF,DE,点G,H

分别为DE,AF的中点，连接GH,则GH的长为

三、解答题

14.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点，OE=2,连垢EB.过点

A作AM_LBE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求OF的长.

15.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZCAB,ZCBA的平分线相交于点D,作DE_LBC于点

E,DF1AC于点F.

A

I)

CEB

(I)求证：四边形CEDF为正方形.

(2)若AC=6,BC=8,求CE的长.

16.如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD,P是AD边上一点(不与点A,D重合)，将正方

形纸片沿EF折叠使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H,连结BP.

(2)若P为AD中点，求四边形EFGP的面积

(3)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明.

17.如图，在.正方形ARCD中,点M是AR边卜的中点，将正方形ARCD沿DM折叠，使点A落

在点E处，延长ME交BC于点N,连结DN.

(2)求NMDN的度数；

(3)若AB:12,求BN的长.

18.如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，ZAEF=90°,且EF交正方形ABCD

的外角ZDCG的平分线CF于点F.

F

①②③

(I)如图②，取AB的中点H,连结HE,求证：AE=EF.

(2)如图③，若点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论"AE=EF"

仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：延长CO到G,使。G=8E,连接AG,

：,AD=AB,Z-ADG==90。，

9：DG=BE,

/.△ADGABEKAS),

：.LDAG=々BAE,AG=AE,

'：c¥AG=4DAG+^DAF=/LBAE+^DAF=45°=LEAF

•・•ZEAF=45°

JZBAE+ZDAF=90°-ZEAF=45°,

AZDAG+ZDAF=45°,

E|JZGAF=ZEAF=45°

在乙GAF^Ah.E4/7中，

AG=AE

£.GAF=^EAF,

AF=AF

：.△GAF=△EAF(SAS)

:,EF=GF=GD+DF

：.EF=BE+DF,

因此，A一定成立，B、C、D不一定成立，

故答案为：A.

【分析】延长到G,使DG=BE,连接4G,先根据正方形的性质和DG=BE得出△4DG三4

ABEKAS),得出/ZMG=/84E,AG=AE,进而求得NGAF二NEAF,即可证得△G4/三△

EAF(SAS),得到E9=G/=OG+0凡则E尸=8E+09，即可得出结论.

2.【答案】B

【解析】【解答】•.•正方形的对角线长为4,

二由图可.得①和②两个直角三角形的直角边边长为2VL

二长方形的对角线长为：k+(2a)2=2巡，

故答案为：B.

【分析】由正方形的对角线长为4可求得①和②两个直角三角形的直角边边长，从而求得长方形的

长和宽，最后由勾股定理即可求解.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，将△/WE绕点A逆时针旋转90。，得至IJ△4则41=△4,AE=AH,

BE=DH,

H

BE

•・•四边形/BCO是正方形，

AB=BC=AD,Z.BAD=乙ABC=90°,乙ABD=乙CBD=45°,

在A8M4和△BNC中，

BN=BN

乙NBA=乙NBC,

BA=BC

A△BNABNC(SAS),

:.AN=CN,乙NCE=LBAN,

，：CN=EN,

:•乙NEC=乙NCE=乙BAN,

•:乙NEC+乙BEN=180°,

:.乙BAN+乙BEN=180°,

：.LABCZ-ANE=180°,

:,乙ANE=90°,

:・AN=NE,AN1NE,故①正确；

H

VZ.1=",

，乙2十乙4=乙2十乙1=45°,

，乙3=4FAH=45°,

•・・AF=AF,AE=AH,

J.LAFE三△力rH,

；・EF=FH=DF+DH=DF+BE,(AFH=LAFE,故②正确;

*：LMAN=乙NDF=45°,乙ANM=乙DNF,

・•・乙力MN=Z-AFD=Z-AFE,

XVz/lFE=乙AFD,乙DFE=LAFE+Z.AFD,

・••乙OFE=24AMN,故③正确：

•・•乙M4N=乙£力尸，^AMN=LAFE,

；・&AMN〜AAFE,

.\MM_AN

',~EF~=AEy

•:AN=NE,AN1NE,

・・・A4EN是等腰直角三角形，

A.4E=五AN,

,MH_AM_1

,,乔二酢=淳

：-EF=V2M»

如图，将△A8M绕点A逆时针旋转90。，得至必AOG,

则乙OAG=LBAM,AM=AG,^ADG=^ABM=45°,

・••乙NOG=90。，即仆GDN是直角二角形,

丁乙MAN=45°,

：.LBAM+乙DAN=LDAG+LDAN=乙GAN=45°=乙MAN,

V.4/V=AN,

A△ANG"ANM(SAS),

:,MN=GN,

：.MN2=DN2+DG2=DN2+BM2,

2

••EF2=(V2MN)=2DN2+2BM2,

故④正确；

故答案为：A.

【分析将△A8E绕点A逆时针旋转90。，得到△ADH,则乙1二乙4,AE=AH,BE=OH,可证得△

BNAWXBNC,从而得至lb4N=CN,乙NCE=LBAN,进而得到/NEC=/NCE=々BAN,再由四边

形内角和定理可得力N=NE.ANINE.故①fl：确：再证明A4Q?三人力/H.可得EF=FH=DF+

DH=DF+BE,乙AFH=44FE故②正确；再ftUMAN=乙NDF=45°,乙ANM=乙DNF,可得

UMN=Z.AFD=^AFE,从而得到乙DFE=2乙AMN,故③正确；再证明△AMNAFE,△AEN

是等腰直角三角形，可得AE=&AN，从而得到E/=或M,将AABM绕点A逆时针旋转90。，得到

△4OG,证明AANG三Zi/INM,可得MN=GN,再由勾股定理，可得£7^=28M2+2ON2故④正

确，即可求解.

4.【答案】A

5.【答案】C

【蚱析】【解答】解：连接AC交BD于点O,连接MN,MF,NF,ME,NE,

四边形ABCD是平行四边形,

AOA=OC,AD〃BC,OB=OD

AZMAO=ZNCO,

在△MAO和^NCO中

/.MAO=乙NCO

AO=CO

（乙40M=乙CON

/.△MAO^ANCO(ASA)

AOM=ON：

VBE=DF,

・・・OE=OF,

，四边形MENF是平行四边形，

VM,N是边AD,BC上的动点，点E,F是BD上的动点，

当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形，

・•・存在无数个平行四边形MENF,故①正确；

四边形MENF是平行四边形，

.,.当MN二EF时，四边形MENF是矩形，

VM,N是边AD,BC上的动点，点E,F是BD上的动点，

・••存在无数个矩形MENF,故②正确；

•・•点E,F是BD上的动点，

，只需MN_LEF,OM=ON,

就存在无数个菱形MENF,故③正确；

只要MN=EF,MN_LEF,OM=ON,则四边形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意；

・•・正确结论的个数有3个.

故答案为：C.

【分析】连接AC交BD于点0,连接MN,MF,NF,ME,NE,利用平行四边形的性质可证得

OA=OC,AD〃BC,OB=OD,利用平行线的性质可得到NMAONNCO,利用ASA证明

△MAO^ANCO,利用全等三角形的性质去证明OE=OF,根据对角线互相平分的四边形是平行四

边形，可证得四边形MENF是平行四边形，利用M,N是边AD,BC上的动点，点E,F是BD上

的动点，可对①作出判断；易证四边形MENF是平行四边形，利用对角线相等的四边形是矩形，可

对②作出判断；利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，利用点E,F是动点，可对③作出判

断；只要MN=EF,MN_LEF,OM=ON,则四边形MENF是正方形，这样的正方形只有一个，可对

④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.

6.【答案】B

【释析】【解答】解：•・•点C的坐标(7,3)在一次函数y=kx+6上，

A3=7k+6,贝心=_5,

二一次函数表达式为：y=-1x+6,

过点D作DGJ_y轴，过点C作CH_Lx轴,

VZABC=90°,AB=BC,

AZABO+ZCBH=90°,ZABO+ZOAB=90°,

AZCBH=ZOAB,

AOB^ABHC(AAS)

AOB=CH=3,BH=AO=OH-OB=7-3=4,

同理司得：AG=OB=3,GD=A0=4,

・・・0G=7,

・••点D的坐标为(4,7),

则点D向左平移a个单位长度后的坐标为(4-a,7),

由己知可得：7二一方(4-a)+6,

解得：a点.

故答案为：B.

【分析】根据点C的坐标可得出直线EC的函数解析式y=-/+6,过点D作DG_Ly轴，过点C作

CHJLx轴，用AAS可证△AOB咨ZXBHC,得OB=CH,BH=AO,同理可得AG=OB,GD=AO,结

合线段的构成可得点D的坐标，然后根据点的坐标平移规律可得平移后的点的坐标，代入EC的解

析式;可得关于a的方程，解方程即可求解.

7.【答案】B

【蟀析】【解答】解：连接E。，作尸GIIC。与4。交于G,如图所示：

四边形48co是正方形，

AD=DC,Z.EAD=乙DCF,AB||CD||FG,

•••AE=CF,

EAD=△FCD{SAS}

•%LEDA=乙FDC,DF=DE,

:.LEDF=£.EDA+^.FDA=Z.FDA+乙FDC=90°,

•••乙DFE=45°

•••AB||CD||FG,乙FDC=a

•••LAEF=乙EFG,Z-CDF=乙DFG,

Z.DFE=乙EFG+Z.DFG

•••乙DFE=/-AEF+Z-FDC=45°

LAEF=ZLDFE-AFDC=4S°-a.

故答案为：B

【分析】连接ED,作FGIICD与AD交于G,根据正方形的性质得到40=DC,LEAD=乙DCF，AB||

CD||FG,进而根据三角形全等的判定与性质证明△EAD=△FC0(S4S)即可得至此EDA=乙FDC,

DF=DE，从而结合题意运用平行线的性质得到乙4E"=4E"G,乙CDF=£DFG,再进行角的运算

即可求解。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是边长为4的正方形，

AAB=AD=CD=CB=4,ZD=ZA=ZABC,

AZD=ZCBE=90°,

•・•由翻折可得：CG=CE,GF=EF,CF垂直平分EG,

ARIACDG^RlACBE(HL),

・・・DG=BE=2,

AAG=AD-DG=4-2=2,

VAE=AB+BE=4+2=6,

22同，

・・・EG=〃G2+值=72+6=2

VAG2+AF2=FG2,且AF二6-EF,

/.22+(6-Eh)2=EH,

•.,聂G・FH另EFTG,

A|x2x^lOFH=ix^x2,

解得：FH=孚，

故答案为：B.

【分析】利用全等三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式计算求解即可。

9.【答案】AB二AD（答案不唯一j

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，AB=AD,

.•.矩形ABCD是正方形.

故答案为：AB=AD.

【分析】邻边相等的矩形是正方形.

10.【答案】135

【蟀析】【解答】解：•・•四边形ABCD是正方形，

AZACB=ZBAC=45°,

/.Z2+ZBCP=45°,

VZ1=Z2,

，N1+NBCP=45。，

VZBPC=180°-Z1-ZBCP,

AZBPC=135°,

故答案为：135.

【分析】先求出N2+NBCP=45。，再求出N1+NBCP=45。，最后计算求解即可。

11.【答案】2g+2

【解析】【解答】解：:四边形ABCD为正方形，

・••点A和点C关于BD对称，

连接CE与BD交于P,

则P\4+P'E=P£+P'E=CE,则当点P和点P'重合时，PA+PE最小,

•・•正方形ABCD边长为6,

：-AB=BC=6,ZABC=90°,

V.4F=2,

:・EB=4,

AEC=y/BC2+EB2=2底,

・•・△AP'E周长=4P'+P'E+AE=EC+AE=2m+2,

・•・△4PE周长的最小值是2g+2,

故答案为：2m+2.

【分析】连接CE与BD交于P,则PS+P£=P'C+P'E=CE,则当点P和点P'重合时，PA+PE

最小，根据正方形的性质和勾股定理求出EC的长度，进而即可求解.

12.【答案】2

【解析】【解答】解：连接GE,如图：

•・•点E是CD的中点，正方形A8C0边长为6,

ACE=DE=1CD=3,

乙

•・•将△8CE沿8E翻折得到^BFE,

/.BF=BC=6,EF=CE=DE,ZBFE=ZC=ZD=90°,

在RsEFG和RtAEDG中，

(EF=ED

LEG=EG'

ARtAEFG^RtAEDG(HL),

/.DG=FG,

设AG=x,则DG=FG=(6-x),

・・・BG=BF+FG=6+(6-x)=12-x,

在RsABG中，由勾股定理可得：BG2=AG2+AB2,

:.(12-x)2=x2+62,

解得：x=2,

故答案为:J

【分析】先证出RtAEFGRRSEDG(HL),可得DG=FG,再设AG=x,则DG=FG=(6-x),利用

勾股定理可得(12-x)2=x2+62,再求出x的值即可.

13.【答案】V2

【解析】【解答】解：连接AG,延长AG交CD于P,连接PF。

易证明△DGP咨AEGA,APG=AG,PD=AE

又TH是AF的中点，

・・・GH是ZkAPF的中位线，・・・GH§PF

VAE=1AB=2,CF=1BC=2

乙乙

/.DP=AE=2,ACP=2

APF=VCP2+CF2=2V2

AGH=V2

故答案为：V2.

【分析】连接AG,延长AG交CD于P,连接PF,证明△DGPgZ\EGA,得AG二PG,PD-AE,再

证明GH是△APF的中位线，用勾股定理计算出PF,可得出GH的长。

14.【答案】解：在正方形ABCD中，OA=OB,ZBOE=ZAOF=90°,

AM±BE,

AZBMF=ZAOF=90°,

VZAFO=ZBFM,

AZOAF=ZFBM,

.*.△AOF^ABOE（ASA）

AOF=OE=2.

【解析】【分析】根据ASA证明△AOF妾/XBOE,可得OF=OE=2.

15.【答案】（1）证明：过点D作DNJ_AB于点N,

VZC=90°,DE_LBC于点E,DF_LAC于点F,

.•・ZDFC=ZC=ZDEC=90°,

・•・四边形FCED是矩形，

又・・・NA,NB的平分线交于D点，

ADF=DE=DN,

・•・矩形FCED是正方形；

(2)解：VAC=6,BC=8,ZC=90°,

.,.AB=V/1C2+5C2=V62+82=10,

•・•四边形CEDF为正方形,

・・・DF=DE=DN,

.\1DFXAC+1DEXBC+1DNXAB=1ACXBC,

C乙乙乙

则EC(AC+BC+AB)=ACxBC,

•FC_6x8

・3-6+8+10一，

【解析】【分析】（1）过点D作DN_LAB于点N,先根据“三个角是直角的四边形是矩形”可得出四边

形FCED是矩形，然后利用角平分线的性质得出DF=DE,即可得出四边形CEO尸为正方形;

（2）先求出AB的长，然后利用“面积法”可求出CE的长.

16.【答案】（1）证明：由折叠得PE二BE,

/.ZEBP=ZEPB.

,/四边形ABCD是正方形，

AZA=ZABC=ZEPG=90°,

AZAPB+ZEBP=90°,ZBPH+ZEPB=90°,

AZAPB=ZBPH.

(2)解：如图①，作FMJ_AB于点M.

•IZABC=ZC=90°,

・♦・四边形MBCF是矩形，

AMF=BC=AB,ZBEF+ZABP=90°,ZBEF+ZEFM=90°,

AZABP=ZEFM.

在^ABP和^MFE中，

Z.A="ME,

AB=MF,

4ABP=乙MFE,

:ABP^AMFE(ASA),

AME=AP=1AD=3.

在RtZiAEP中，设AE=x,则EP=BE=6-x,

(6-x)2=x2+32,解得x=^,即AE=W，

.\CF=BM=AB-AE-EM=^,

4

品停+一作=当

AS四边形EFCP二S四边形EFCB(CF+BE)-BC=66

（3）解：APDFI的周长不变，为定值12.证明如下:

如图②，作BQ_LPG于点Q,连结BH.

API)

由(1)可知NAPB=/BPQ,

在4BPA和^BPQ中,

乙4=乙BQP,

£.APB=乙QPB,

BP=BP,

.*.△BPA^ABPQ(AAS),

AAP=PQ.AB=BQ..

VAB=BC,

ABC=BQ.

VZBQH=ZC=90°,BH=BH,

ARtABHQ^RtABHC(HL),

ACH=QH,

・•・△PDH的周长DP+PH+DH=(DP+AP)+(CH+DH)-AD+CD^12.

【解析】【分析】(1)由折叠的性质得到PE=BE,进而证得NEBP=NEPB,再利用正方形的性质得到

ZA=ZABC=ZEPG=90°,然后通过余角的性质证得NAPB二NBPH.

(2)作FM_LAB于点M,易证四边形MBCF是矩形，故可得MF=BC=AB,再通过余角的性质证得

NABP二NEFM,由ASA判定△ABPgZ\MFE证得ME=AP=3,设AE=x,贝ljEP=BE=6-x,通过勾股

定理解出方程解得x的值，得到AE、CF的长度，然后通过梯形的面积公式计算出四边形EFGP的

面积.

(3)作BQLPG于点Q,由(1)可知/APB=/BPQ,故可通过AAS判定△BPAg^BPQ得到

AP=PQ,AB=BQ,再利用HL判定RtABHQ^RtABHC得至ljCH=QH,进而计算的△PDH的周长

为12,是定值.

17.【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是正方形，

，AD二DC,NA=NO90。.

由折叠的性质，得DE二AD,Zl)EM=ZA=90u,

AZC=ZDEN=90°,DC=DE.

I在RtACDN和RtAEDN中,

(DC=DEf

(DN=DN,

：.RtACDNgRsEDN(HL).

(2)解：由折叠的性质，得NADM=NEDM.

VRIACDN^RIAEDN,

AZCDN=ZEDN.

:ZADM+ZEDM+ZCDN+ZEDN=90°,

/.ZMDN=ZEDM+CEDN=45°.

(3)解：•・•点