2023-2025北京高二（上）期末数学汇编：导数（人教B版）

2023-2025北京高二（上）期末数学汇编

导数（人教B版）

一、单选题

1.（2025北京密云高二上期末）曲线/（x）=x+a«在点（LN））处的切线与直线y=2元+5平行，则。=

)

A.0B.2

C.1D.3

2.（2025北京密云高二上期末）已知函数/(x)=lnx,g(x)=l--,则f'(x)<g'(x)的解集为()

X

A.(0,1)B.(l,e)C.。,+8)D.(0,+8)

3.（2025北京朝阳高二上期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经

济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量W与时间f的关系如下图所示.

下列叙述中正确的是（）

A.在［0,口这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0

B.在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率

C.甲水库在芍时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在马时刻蓄水量的瞬时变化率

D.乙水库在。时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在。时刻蓄水量的瞬时变化率

4.（2025北京朝阳高二上期末）已知函数/（x）=eXsinx,则r（x）=（）

A.eJcosxB.-e'cosx

C.eJ（sinx+cos.x）D.ex（sinx-cosx）

5.（2024北京朝阳高二上期末）为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已

知某月两厂污水的排放量W与时间f的关系如图所示，下列说法正确的是（）

A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多

B.该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快

C.在接近r。时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快

D.该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同

6.（2023北京十一学校高二上期末）已知为奇函数，当x＜0时，f（x）=-x2,则曲线y=在点

（1,1）处的切线斜率是（）

A.12B.2C.—eD.e2+1

7.（2023北京朝阳高二上期末）设函数〃x）=x+lnx,则曲线＞=/（%）在点（1]⑴）处的切线方程为

（）

A.尤—y—1=0B.2%—y—1=0C.%—y—2=0D.2x—y—2=Q

8.（2023北京十一学校高二上期末）已知函数/（x）=sin2x-4•'（（）），则该函数的图象在x=]处的切线方

程为（）

A.31+y—兀=0B.3兀一＞一兀=0C.x+3y—兀=0D.3x+y+兀=0

9.（2023北京人大附中高二上期末）设FQ）在x=x0处可导，则lim也二手巫^=（）

心一°Ax

A.-/U）B./X-%0）C./U）D.2fg

二、填空题

TT

10.（2025北京密云高二上期末）若函数〃x）=sinx,则/（1）=.

11.（2024北京朝阳高二上期末）已知函数〃x）=sin2x,则/'（0）=.

12.（2023北京十一学校高二上期末）函数＞=〃尤）图像上不同两点4（尤”%），3（%，%）处的切线的斜率

分别是七，kB,规定夕（48）=3^叫曲线y=在点A与点8之间的“弯曲度”，给出以下命题：

\AB\

①存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

②设点A、8是抛物线y=Y+l上任意不同的两点，则。（A3）W2；

③设曲线丁=/上不同两点4（番,yJ,3（々,%）,且玉-马=1，若r夕（A,3）＜1恒成立，则实数r的取值范

围是（-℃」）；

④y=V与y=Y在原点处的“弯曲度，一样.

以上正确命题的序号为.（写出所有正确的）

13.（2023北京朝阳高二上期末）函数/（x）=xe*的导函数，'。）=.

参考答案

1.B

【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点(1,7(D)处的导数值利从而求出结果.

［详解］/'(%)=1+，令x=1贝U1+=1+5，直线>=2%+5的斜率为2.

贝lj1+@=2,Q=2.

2

故选：B.

2.A

【分析】分别求出广⑴，g(x),得到不等式，结合函数定义域，解出o<x<i.

【详解】因为"x)=lnx,定义域为(0,+8),g(x)=l一J，定义域为(YO,0)U(0,M),

所以尸(x)=Lg'(x)=1，

贝4'(X)<g'。)，即工<4(尤>0),解得0<x<L

XX

故选：A.

3.D

【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.

【详解】对A：由图可知，在［0,以这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0,

乙水库的蓄水量的平均变化率大于0,故A错误；

对B：由图可知，在［。应］这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0,乙水库的蓄水量的平均变化率

大于0,

故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；

对C：由图可知，甲水库在L时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，

乙水库在马时刻蓄水量的瞬时变化率大于0,

故甲水库在马时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在马时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；

对D：由图可知，乙水库在。时刻蓄水量上升比在。时刻蓄水量上升快，

故乙水库在。时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在才2时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.

故选：D.

4.C

【分析】据函数乘法求导公式进行求导即可.

【详解】因为/(x)=e*sinr,

所以r(x)=(e*)sinx+e'(sinx)=e^sinx+excos%=e"(sin%+cos%).

故选：c.

5.D

【分析】选项A,结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B,由切线倾斜程度的大小比较

可得；选项C,在接近％时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两

曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D,利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲、乙两厂污

水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同.

【详解】选项A,设△卬=叱=。-叱/，

设甲工厂的污水排放量减少为,乙工厂的污水排放量减少为A%,

结合图像可知：△叱＜△吗，

所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；

选项B,作出如图所示表示甲厂曲线的3条切线4,附4可知，

直线4的倾斜程度小于4的倾斜程度，直线k的倾斜程度大于4的倾斜程度，

而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，

从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；

选项C,设乙为接近石的时刻且4＜务，

w_-W_

从4时刻到t0时刻，污水排放量平均变化率f=*~~旦,

由导数的定义与几何意义可知，

在接近％时，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在％处切线的斜率的大小比较近似代替.

设甲工厂在归处切线的斜率为左，乙工厂在L处切线的斜率为心，

结合图象可知间＞网，

所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；

选项D,如图，利用导数的几何意义，存在时刻G，两曲线切线的斜率相等,

即甲、乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，

所以该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.

【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可.

【详解】当x>0时，因为为奇函数，

所以有〃*)=—=f，则有/'(x)=2x,所以有「⑴=2,

故选：B

7.B

【分析】利用导数的几何意义求在彳=1处切线的斜率，进而即可得切线方程.

【详解】因为/'(x)=x+lnx,所以/(工)=1+工，所以八1)=2,

X

即y=/(x)在x=1处切线方程的斜率为2,

又因为了⑴=1,所以切线方程为y-l=2(x-l),整理得2元->-1=0,

故选：B

8.A

【分析】先求出函数/(x)=sin2x-对''(())的导数，再赋值法求出/(0),然后得到的函数解析式可得切

点，后将数据代入点斜式方程可得答案.

【详解】因为/'(x)=2cos2x-/'(0),所以/'(0)=2cos0—/'(0),解得/'(0)=1,

所以/(x)=sin2x-x,f图=g/(x)=2cos2x_1,广向=一3,

即切点(去一5：4=一3,

所以切线方程为：丫+^二-1-鼻，即3x+yF=0.

故选：A.

9.A

【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果.

【详解】因为/(%)在工=不处可导，

所以，由导数的定义可得：lim九“一?二八%)=-lim"%一_于，().

故选：A

【点睛】本题主要考查导数概念的应用，熟记导数概念即可，属于基础题型.

10.-/0.5

2

【分析】对函数〃x)=sinx进行求导，进而代入x=\TT计算即可得解.

TVTTI

【详解】因为函数/(x)=sin尤，所以广(x)=cosx,所以f(§)=cos]=/,

故答案为：g.

11.2

【分析】由复合函数导数运算公式求导函数，代入求导数值即可.

【详解】由〃x)=sin2x,贝Ijf'(尤)=2cos2x,

所以尸(0)=2COSO=2.

故答案为：2.

12.①②

【分析】举例说明①正确；由新定义，利用导数求出函数>=/+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断②;

求出曲线丫=6'上点A与点B之间的“弯曲度”，然后结合得不等式，举反例说明③错误；求

与y=£在原点处的“弯曲度，，比较大小判断④.

【详解】

命题①：如函数y=1,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数0,成立，①正确；

命题②：y=x2+l,y'=2尤，

<p(A,B)=]认-2/|=,2v2②正确

|AB|J®-xJ+(xJl+6+xJ，②正确，

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