2023-2025北京高二（上）期末数学汇编：二项式定理与杨辉三角（人教B版）

2023-2025北京高二（上）期末数学汇编

二项式定理与杨辉三角（人教B版）

一、单选题

1.（2025北京昌平高二上期末）在（«-2『的展开式中，x的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

2.（2025北京大兴高二上期末）在（2/--：）5的展开式中，常数项为（）

7x

A.-10B.10

C.36D.80

3.（2025北京五中高二上期末）若（l+mx）6+…+4%6且…+。6=63,则实数加的

值为（）

A.1B.-1C.-3D.1或一3

4.（2025北京北师大附属实验中学高二上期末）在的展开式中，常数项为（）

A.60B.15C.-60D.-15

5.（2025北京西城高二上期末）1x-jj的展开式中x的系数为（）

A.-80B.T0C.40D.80

卜-|:的展开式中，常数项为（）

6.（2024北京大兴高二上期末）在

A.-15B.15C.-30D.30

7.（2024北京海淀高二上期末）卜

2-的展开式中X项的系数为（）

A.-10B.-5C.5D.10

8.（2024北京昌平高二上期末）若（1+兄）5=%+4%+々2*+。3丁+々4%4+々5*5，贝！J。（）+%+%+。3+。4+。5=

（）

A.8B.16C.32D.64

9.（2024北京西城高二上期末）在［2x+£|的展开式中，X的系数为（）

A.3B.6C.9D.12

x-六］的展开式中各项系数之和为-128,则展开式中犬的系数为

10.（2024北京西城高二上期末）若

A.-2835B.945C.2835D.-945

11.（2023北京八中高二上期末）在［加-彳］的展开式中，常数项为（）

A.-112B.112C.-1120D.1120

12.（2023北京西城高二上期末）在（2x+l）4的展开式中，产的系数为（）

A.6B.12C.24D.36

二、填空题

13.（2025北京西城高二上期末）已知（3%-1）4+生V+4%+%，则%+。2+&=

14.（2025北京八中高二上期末）若（2—%）6=%+4%+。2/+…+必于，则％+%=.

15.（2025北京北师大附属实验中学高二上期末）设（2%-1）4=。4%4+〃3%3+〃2/+%%+%,则

+。2+。3+。4=.

16.（2025北京五中高二上期末）若、2+g］展开式的各项系数之和为32,则〃=,其展开式中

的常数项为.（用数字作答）

17.（2024北京昌平高二上期末）在［一的展开式中，x的系数为.

18.（2024北京西城高二上期末）在（2x+iy*的展开式中，所有项的系数和等于.（用数字作答）

19.（2024北京石景山高二上期末）在（2-x）4的展开式中，尤3的系数为.

20.（2023北京十一学校高二上期末）在（V-J）"的展开式中，常数项为.

X

21.（2023北京人大附中高二上期末）在卜+彳：的二项展开式中，常数项是（用数字作答）

n

22.（2024北京西城高二上期末）设+---Hanx,若旬+。4=17.则

n=.

23.（2023北京人大附中高二上期末）已知（依+1）5的展开式中无3的系数是10,则实数a的值是

24.（2023北京/I中高二上期末）若（1一2了）7=/+4/+的/+…+%/，贝U

4+%+“3+%+”5+a6+a7=,（用数字作答）

25.（2023北京怀柔高二上期末）在（2x-l）5的展开式中，x的系数为.

26.（2023北京人大附中高二上期末）（l+2x）5的展开式中无2项的系数是.（用数字作答）

27.（2023北京人大附中高二上期末）（尤的展开式中常数项是（用数字作答）

28.（2023北京人大附中高二上期末）卜+：；的展开式中常数项是.（用数字作答）

29.（2023北京人大附中高二上期末）在的展开式中，常数项为.（用数字作答）

30.(2023北京人大附中高二上期末)若(石-工)"的二项展开式中各项的二项式系数的和是64,则

X

〃=，展开式中的常数项为.(用数字作答)

三、解答题

665432

31.(2025北京昌平高二上期末)(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,求：

(1)。6+“5+“4+03+“2+；

(2)4+&++%；

(3)64。6+32%+16g+8/+4%+2%+.

32.(2025北京大兴高二上期末)已知(2x-l)'(〃eN*)的展开式中各二项式系数的和为64.

(1)求〃的值；

(2)求该展开式中所有项的系数和.

33.(2023北京十一学校高二上期末)在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解

答.

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；

条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；

条件③：展开式中常数项为第三项.

问题：已知二项式j,若,求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中所有的有理项；

(3)展开式中所有项的系数之和.

参考答案

1.A

【分析】由展开式的通项可得.

【详解】(6-2)5的展开式通项为=C；(&厂(-2)*=(-2)*C*?，

S—k2

当亍=1,即4=3时,得7；=(-2)C；x=-80x,系数是-80,

故选：A

2.B

【分析】根据二项式写出展开式通项，进而确定常数项即可.

0Vl<10--

【详解】由题设，展开式通项为&]=G(2x2)5f(_)〃=(_，.25f.C"2,r=0,1,…

令10-弓=0nr=4,则常数项Z=(-l)4-2-C；=10.

故选：B

3.D

【分析】根据二项展开式可求得常数项%=1，再利用赋值法即可求得参数机的值.

【详解】由二项式定理可知，常数项％=或16(.)。=1；

令1=1,得(1+根)6=/+%+a2-\--F4，

又因为%+%+,,•+”6=63,

所以(1+㈤6=64=26,

可得〃2=1或-3.

故选：D.

4.A

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，进而求出常数项.

【详解】二项式(X-W)6的展开式的通项为=晨尤6-(_—/=(_2丫C>63,reN,rW6,

xx"

由6-3厂=0,得r=2,所以所求常数项为n=(-2>C*6T=60.

故选：A

5.D

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.

【详解】对于2%--，由二项展开式的通项得?；+i=q(2x)J

令5-2r=l解得r=2,

则所求系数为(T)t2%c；=80,

故选：D

6.B

【分析】由二项展开式通项公式求解.

rr

【详解】Tr+l=q/-(-4)=(T)'c"6』,

令6-3厂=0,得尸=2,

・・・常数(-1)2©=15,

故选:B.

7.A

【分析】求出展开式的通项公式为&]=(-!)-C，°一",令10-3r=1,得r=3,即可求解.

【详解】解：-的展开式的通项为:

令10-3厂=1,得r=3,

得，-口的展开式中x项的系数为：(-l)3C^-10.

故选：A

8.C

【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答.

【详解】因为(1+。5=%+%了+42彳2+。3/+。4/+火/>

所以当X=1时，％+。]++%+。4+。5=2、=32,

故选：C.

9.D

【分析】写出每一项的表达式，即可得出x的系数.

【详解】由题意，

当3—2k=1即左=1时，C；23Y=C；22=3x4=12,

故选：D.

10.D

【分析】根据赋值法求系数和得〃=7,即可根据展开式的通项公式求解.

【详解】令x=l,得(一2)"=-128,得〃=7,

(ZY7"

r

的展开式的通项&i=CK，(_3y[x3)=(-3)C；x3,

得r=3,贝|7；=(-3)3(：*2=-945/，故展开式中产的系数为.945,

故选：D.

11.B

【分析】求出［g-，］的通项公式，令”=。，求得厂=2,即可得展开式的常数项.

【详解】二项式［yfx——j的展开式的通项公式为J=C；•一"•(-2)，.婷=(-2)，丁

令一匕=0,求得厂=2,可得展开式的常数项为<=112.

故选:B.

12.C

【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.

【详解】(2x+l)4展开式的通项公式小=C：(2尤产于=2-C%4Y,

令4—左=2,得左=2,

所以在(2x+l)4的展开式中，f的系数为2"2盘=4x6=24,

故选：C

13.136

【分析】通过赋值法即可求解；

【详解】令%=1，可得：24=%+。3+。2+4+。0，

令*X——19可*：4，=%%%，

两式相加可得：2(4+%+%)=272,

所以〃o+%+g=136,

故答案为：136

14.-96

【分析】利用赋值法令1=0可计算得出％=64,再应用二项式展开式通项公式计算可得生=T60即可求解.

【解】因为(2—%)=4+4%+生/+...+4%6,

令x=0,即可得(2—0)6=/=26=64,

因为展开式中〃3代表/系数，所以(2-耳6的展开式中含有三次项或？3(f)3士6G%3,

可得q=-160,得/+4=64-160=-96,

所以/=-96.

故答案为：-96.

15.0

【分析】根据给定条件，利用赋值法求出值即可得解.

【详解】取九=1,得%+〃3+。2++。0=(2X1—I)4=1,

取x=0,得%=(-1)4=1,

所以％+%+/+%=0.

故答案为：0

16.510

【详解】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，2"=32也即"5；卜+｝］,小=6”-5，,

常数项C：=10.

17.10

【分析】求出二项展开式的通项，进而得到x的系数.

【详解】1一］展开式的通项为M=<3*5-尢（_琰-=（21一琰（呼口，

令5—24=1,即左=2,

所以£=砥（一1），=10天，

所以x的系数为10,

故答案为：10.

18.81

【分析】根据二项式，令x=l即可得出所有项的系数和.

【详解】由题意，

在（2x+l）4中，当尤=1时所求值即为所有项的系数和，为：（2x1+1）4=81,

故答案为：81.

19.-8

【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可.

【详解】设（2-域展开式中通项为：nmw，

令k=3,贝I」7；=C12"3.（-X）3=-8X3.

故答案为：-8

20.-4

【分析】利用二项展开通项公式即可得解.

［详解】（丁-1）4的展开式的通项小=c；（x3广［一m=（一1）’“尤一,

令12-4r=0,解得厂=3,故常数项为岂=（一1）3玛=-4.

故答案为：—4.

21.160

【分析】写出展开式的通项，根据通项计算可得.

【详解】二项式卜+展开式的通项为

2y1(0<r<65.reN),

令6-2厂=0,解得r=3,所以4=2^xC：=160,

即展开式的常数项为160.

故答案为：160

22.4

【分析】由二项展开式通项公式可确定4,4,可构造关于"的方程，解方程求得结果.

【详解】(l-2x)"展开式的通项公式为：C"-2x)',分别令/'=0/=4,.•.4=：!,4=16C：,

则4+4=17,即1+16C：=17,解得："=4.

故答案为：4.

23.1

【分析】根据条件，求出Y的系数，列出关于。的方程，求出。的值.

【详解】因为(以+1)5的展开式的通项为却=G(以广'=a5rq产r(厂=0,1,2,3,4,5),

又3+咪的展开式中Y的系数是10,所以5f=3,即r=2,

所以/c；=10,则a=l.

故答案为：1.

24.-2

【分析】令X=0,可得%=1,令X=l,可得/+4+°2+/+°4+“5+。6+%=-1,即可得答案.

【详解】解：令x=0,贝用%=1,

X=1,贝jj%+q+%+%+〃4+〃5+〃6+%=-1，

以q++4+〃4+々5+4+%=-]-Q。=一[一]二一2.

故答案为：-2

25.10

【分析】写出(2犬-1)5展开式的通项为加=(T'x25T.q./"令5—=1,解出「代入即可得到结果.

r

【详解】(2x一行展开式的通项为Tr+1=q.(2x广x(-l)=(-1/x25T.q.乃，r=0,1,2,3,4,5.

令5-r=l,可得r=4.

所以，x的系数为(_1)4><25+或=10.

故答案为：10.

26.40

【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式V的系数.

【详解】在(1+2x)5的展开式中，d的系数为C；X22=40,

故答案为：40

27.15

【分析】根据二项式写出展开式通项，并确定常数项对应的r值，即可得常数项.

【详解】展开式的通项襄+1=C%6-[J[=C^~3k,令6—3左=0,解得左=2,

所以常数项是2=15.

故答案为：15

28.15

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为。求得「值，则答案可求.

【详解】解：由"&-(%24•(-/=C；.产".

X

取12—3厂=0,得r=4.

+；：展开式中常数项为C：=15.

故答案为：15.

29.40

【解析】先求出展开式的通项令io—5r=0即得解.

【详解】设展开式的通项为心二C；(丁产(.)-=GV*2,

令10—5r=0,...厂=2,

所以常数项为2?C；=40.

故答案为：40

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

30.6,15

【详解】试题分析：根据题意二项式系数的和是2W=64,"=6,所以展开式的常数项为

4=C")4J=15.

考点：1.二项式系数和；2.二项式的同通项公式.

31.(1)0

(2)4+g+%+%=365

(3)729

【分析】(1)(2)(3)根据给定的展开式，利用赋值法计算得解.

【详解】(1)在展开式中，令x=0,得：4=(-1)6=1,

令％=],得：4+。5+。4+。3+%+4+。0=(2—1)6=],

以线+%+&+/+“2+。1=1—1—0.

(2)令X=—1,6-%+。4-+%-=(-2-1)6=729,

由(1)知，+%+=1，

两式相加得：2(%+/+%+%)=1+729=73。，

所以。6+。4+。2+%=365.

(3)令x=2,得：64a$+32%+16%+8%+4%+2q+/=(4—1)6=729.

32.(1)〃=6

(2)1

【分析】(1)根据各二项式系数的和可得〃的值；

(2)利用赋值法可求得所有项系数和为1.

【详解】⑴由所有二项式系数的和为64,可知2〃=64,

可得〃=6.

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