2023-2025北京高一（上）期末数学汇编：二次函数与一元二次方程、不等式

2023-2025北京高一（上）期末数学汇编

二次函数与一元二次方程、不等式

一、单选题

2r4-1

1.（2025北京延庆高一上期末）不等式上一^41的解集为（）

x-2

A.（—,一3]B.[-3,2]C.[1,2）D.[-3,2）

2.（2025北京密云高一上期末）一元二次不等式》2一2》-300的解集是（）

A.{x|x<-l»Jcx>3）B.{R-1W}

C.{x|x<-l或/>3}D.{x|-l<x<3）

3.（2025北京大兴高一上期末）关于x的不等式+饭+cN（）（〃w（））的解集不可能是（）

A.RB.[-U]

C.0D.[-l,+oo）

4.（2025北京八中高一上期末）已知集合M={x|-4<x<2},A'={x|x2-x-6<（）},则McN二

A.（x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.（x\-2<x<2\D.{x|2<x<3}

5.（2024北京怀柔高一上期末）设A、8是非空集合，定义：=2山yAcB}.已知

A=|yy=v4x-x，八卜…+击心F，则AxB等于（）

A.[0,1]U[2,-HX))B.[0,1)U(2,-H»)

C.[0,l]u[4,+co)D.[0,l)J(4收)

6.（2024北京石景山高一上期末〕已知关于x的不等式/+5+M。的解集是（-2,1）则。+〃=（）

A.0B.-1C.1D.-2

7.（2024北京西城高一上期末）若集合A=*|a——x+a0O}为空集，则”的取值范围为（）

A.或"」B.ci>—

222

11

C.——<a<—D.--<«<-K<7*0

2222

8.（2023北京东城高一上期末）不等式/_A2>0的解集是（）

A.{x|x<-2ngx>-1}B.{xlxv-1或x>2}c.{x|-l<x<2}D.{x|-2<x<1}

9.（2023北京怀柔高一上期末）已知awR,P：方程/+奴+]=0有实数解，q.2<av3,则P是4的

)

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分不必要条件

二、填空题

10.（2025北京海淀高一上期末）已知/*）=/-2如+〃的图象经过点（2«1）,则/?=；若方程

.〃刈=。有两个不等实数根不为，满足内+当>内占，则实数。的取值范围为.

11.(2024北京丰台高一上期末)能说明“关于x的不等式丁-g—2a>0在R上恒成立''为假命题的实数〃

的一个取值为.

12.(2024北京石景山高一上期末)不等式二Q的解集为________.

x-2

13.(2024北京西城裔一上期末)不等式”1小的解集为_____.

x-\

14.(2023北京顺义高一上期末)不等式-2/+］4_3的解集是.

15.(2023北京海淀高一上期末)已知是关于r的方程/—尔|〃春_6=0的两个实根，巨

11.

—十—=一1，则加=.

三、解答题

16.(2025北京密云高一上期末)已知函数/(X)=2/—4X+3.

⑴解关于x的不等式：/(X)+2^A-3>0；

⑵当不［-1,1］时，/。)>2不+2m+1恒成立，试确定实数机的取值范围.

17.(2024北京密云高一上期末)已知函数=f-(a+3)x+3a.

⑴若不等式〃力<0的解集为(0,3),求〃的值；

⑵若不等式/(x)>-1对任意的xwR恒成立，求实数。的取值范围；

⑶解关于大的不等式/(力>0.

18.(2024北京朝阳高一上期末)己知集合川=卜|/一3.丫-4")}1=3>。>0}.

(1)当。=4时，求AB；

⑵若A0&4)=0,求实数。的取值范围.

19.(2023北京平谷高一上期末)已知函数=〃氏一2〃?+l(〃wR)

(1)若函数/("在区间(T3)上单调，求实数〃?的取值范围；

⑵解不等式/(x)<2x+l.

20.(2023北京东城高一上期末)已知关于x的不等式a(x—1)。—2)>2/—疝+8的解集为A.

(1)当。=1时，求集合A；

(2)若集合A=(-OO,T)U(2,+OO),求a的值;

⑶若3^A,直接写出〃的取值范围.

21.(2024北京海淀高一上期末)已知一元二次方程2/+3x-2=0的两个实数根为

求值：(1)x；+x；；

22.(2024北京丰台高一上期末)己知函数/(x)=f+(a+h)x+a.

⑴若关于X的不等式/(司<。的解集为{x［2<x<3},求〃，。的值：

⑵当〃=1时，解关于x的不等式f(”>0.

23.(2023北京门头沟高一上期末)已知二次函数/*)=/_2(a-l).r+4.

(1)若。=2,求/(x)在［-2,3］上的最值;

⑵若在区间(-8,2］是减函数，求实数。的取值范围；

(3)若时,求函数/(x)的最小值.

参考答案

1.D

【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解.

【详解】原不等式即为在3-1R)即故一2)4°.

x-2x-2[x-2^0

故-34xv2,

故选:D.

2.B

【分析】先分解因式,，再求得不等式的解集.

【详解】由f—2%—3K0可得。+1)(工一3)«0,

故得-1W.

故选：B.

3.D

【分析】根据一元二次不等式对应的二次函数的对称性可判断.

【详解】由题意，。工0,则不等式or?+桁+c20是一元二次不等式，

由二次函数)，=加+加:+«"0)的对称性可知，不等式/(不)之0的解集不可能是卜i,y).

故选:D.

4.C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养.采取数轴法，利用数形结

合的思想解题.

【详解】由题意得，”=卜|"4<*<2},2={+2Vx<3},贝"

McN={x卜2<x<2}.故选C.

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

5.B

【分析]先利用二次函数的值域、基本不等式分别求出集合A，B,然后结合集合的基本运算求得A8和

4cB,再根据已知定义即可求解.

【详解】因为一储+4X=-(X2-4X)=-(X-2『+4«4,所以A=卜b=J—_l}=e,

因为工>一1时，y=x+—^―=x+1+—I>2.(x+1)--51=1,当且仅当x+l=l,即x=0时取等

x+Ix+1Vx+1

号，

所以8=[1,笆)，AnB=[l,2],AD3=[(),+8),plijAXB=[(),1)U(2,-HX))

故选：B.

【点睛】思路点睛：新定义问题求解

本题中给出新定义=则需要求出4A和4c8,再根据定义求得答案，实

际上考查了集合的基本运算.

6.B

【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解.

【详解】由题意一2和1是方程/+⑪+〃=0的两根，所以-2+1=-〃，。=1,—2xI=Z?=-2»

/.a+b=—\.

故选：B.

7.B

【解析】根据题意，可知加-1心0无解，则分类讨论〃=（）和"0两种情况，当〃=0时，不符合题

4>0

意；当40。时，则L八，即可求出〃的取值范围.

A<0

【详解】解：由于集合4={_¥|办2-x+aW0}为空集，

即ax1-x+a<0无解，

当〃=0时，or?—.r+aKO化为x20,不是空集；

a>0]

当〃。0时，可得A|42八，解得：

A=l-4a-<02

故选：B.

【点睛】本题考查空集的定义以及•元二次不等式的应用，从而求参数的取值范围，考查分类讨论思想.

8.B

【分析】直接解出不等式即可.

【详解】X2-X-2>0,解得X>2或X<—1,故解集为或X>2},

故选:B.

9.B

【分析】求出命题〃为真的。的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【洋解】因为方程/+方+1=0有实数解，则有A=a2-4之o,解得。£一2或。22,因此p：或

a>2,

显然（2,3）[2,+8）,即有命题g成立，命题“必成立，而命题p成立，命题q未必成立，

所以〃是^的必要而不充分条件.

故选：B

10.1a>\

【分析】根据条件，代入即可求解。，再利用方程有解的条件及根与系数的关系，即可求解出实数〃的取

值范围.

【详解】由题知/（2〃）=（加）2-2ax2a+力=1,得到〃=1,

所以/（幻=/_2心+1,又方程/。）=。有两个不等实数根不占，

△=4/-4>0

贝「七十人2=2”,又人i+A2>人也，得到2。>1,得到a

X]X2=I

由4/一4>(),得至或a<-1,所以4>1,

故答案为：1;a>\.

11.0(答案不唯一)

【分析】将关于%的不等式/一公+2。>0在R上恒成立问题转化为△<(),从而得到〃的取值范围，命题

为假命题时。的取值范围是真命题时的补集，即可得。的取值.

【详解】若不等式V—2a>0在R上恒成立，则△=(一。『—4x2a<0,

解得0<"8,

所以该命题为假命题时实数。的取值范围是。<0或，>8,

所以实数〃的一个取值为0.

故答案为：0(答案不唯一，只要满足或。之8”即可).

12.[-2,2)

【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.

【详解】根据不等式卫7Kl整理可得二-叱(),

x-2x-2

即吟。,等价于2;2)『)“。，

.r-2[x-2^0

解得-2W2；

7v

所以不等式号W1的解集为[-2,2)

故答案为：[-2,2)

13.{x|-2<x<l)

【分析】将分式不等式转化为不等式组可解得.

【详解】解：原不等式等价于不等式组

卜解得.2?一，

x-l工0,

所以所求不等式的解集为{42WXV1}.

故答案为：卜|一24X<1}.

【点睛】本题考查了分式不等式，一元二次不等式,属于基础题.

14.{X|X>|M£X<-1}

【分析】将不等式变形为(2x-3)(x+l)N0,即可求出不等式的解集.

【详解】解:不等式-2——3.即2/一.丫一32即(2X—3)(X+1)N0.

3

解得xN：或x4-l,

3

所以不等式的解集为｛划/之1或xKT｝.

故答案为：｛x|x2；或xK-l｝

【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.

［详解】因为不占是关于X的方程/_〃a+〃/_6=0的两个实根,

X1+x2=in

xtx2=nr-6

△=〃?2—4

X)+x2_m

内后"I2-6

解得m=一3或m=2,

经判别式检验知〃?=2.

故答案为：2.

16.(1)答案见解析

⑵IfT)

【分析】(1)由原不等式可得工&+〃-2)>0,对。分三种情况讨论，分别利用二次不等式的解法即可

得解；

(2)f(x)>2x+2m+l恒成立等价于mvf-3x+l在区间［-M］上恒成立，令g(x)=W-3x+l,结

合二次函数的性质即可求解.

【详解】(1)f(x)+2bx-3>0,即为2/_4x+3+2/状一3>(),

即x2-2x+乐>0可得x(x+2)>0,

令伞+6-2)=。可得x=0或x=2-〃，

当2—。<0,即〃>2时，x>0或工<2—〃；

当2—匕=0,即8=2时，XHO；

当2-6>0,即〃<2时，x>2-〃或x<0,

综上，当力>2时，不等式的解集为｛x|x)O或x<2-耳；

当6=2时，不等式的解集为"|尤工0｝；

当匕<2时，不等式的解集为卜|吊2-力或xvO｝；

(2)因为当时，f(x)>2x+2m+\恒成立，

即当-t6［-l,i］时，2X2-4X+3>2X+2/W+1恒成立，

即当X€[-l,l]时，相<*2一3犬+|恒成立，

设函数5(X)=X2-3X+1,XG[-1J],

则g")在区间卜1』上单调递减，

所以g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(l)=-1,

所以m<-\,

故实数，〃的取值范围为

17.(1)()

⑵0,5)

⑶解集见解析

【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出。即可；

(2)根据一元二次不等式恒成立，即可由判别式求解；

(3)分解因式，结合分类讨论，即可由一元二次不等式解的特征求解..

【详解】(1)因为不等式/(耳<0的解集为(0,3),

所以方程x2-(a+3)A+3a=0的两根分别为百-。,勺-3,

根据韦达定理可知内+/=。+3=3,中2=3。=0,解得a=o；

(2)不等式/(另>-1对任意的/wR恒成立，

即?-(«+3)x+3。+1>()对任意的xeR恒成立，所以△=3+3『-4(3"+1)<0,

即6a+5<0,解得lva<5,所以实数a的取值范围为(1,5)；

(3)/(x)=x2-(a+3)x+3a>0ip(x-t?)(x-3)>0,

当〃>3时，不等式的解为或xv3,

当〃<3时，不等式/(">0的解为x>3或

当〃=3时，不等式/(x)>0的解为X。。，

综上所述，当〃>3时，不等式〃同>0的解集为(e,3)5。，+8),

当〃43时，不等式/(x)>。的解集为(—M)U(3,+8).

18.(l)A^^={x|x>-l}

⑵”一1

【分析】(1)化简集合AB,直接利用并集运算求解即可；

(2)化简集合，根据交集运算结果求解参数.

【详解】⑴由题知，A={x\x2-3x-4<0]={x\-\<x<4],

B={x|x-a>0}={A]X>a},

因为a=4,所以8={巾>4},

所以A=3=

(2)因为A@4)=0,

且人={乂-14x«4},«4=何工勺〃},

所以av-l.

19.(1)(YO,-6]U[2,+8)

(2)当机=-2时，不等式/(x)<2x+l的解集为0,

当机>-2时，不等式/(x)<2x+1的解集为(-机2),

当m<-2时，不等式/(x)<2x+l的解集为(2,-〃?),

【分析】(1)根据二次函数的性质确定参数机的取值区间；

(2)由题化简不等式〃x)<2x+l,求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式/(力<2x+l的

解集.

【详解】(1)函数=比一2"2+1的对称轴.1=一3，

函数“X)在区间(T3)上单调

依题意得一:4-1或一：之3,

22

解得〃2，2或〃4-6,

所以实数，〃的取值范围为(田,-6]32,也).

(2)由“X)<2x+l,

即x2+nix-2m+\<2x+\»

即x2+(〃?-2)x-2〃z<0,

令f+(/??-2)X-2/«=0=>(X-2)(X+/?7)=0

得方程的两根分别为2.T〃，

当2=T",即〃?=-2时，不等式f(x)<2x+l的解集为0,

当2>-小，即m>-2时，不等式"x)v2x+l的解集为(一/几2),

当2<-〃?，即〃?<-2时，不等式f(x)<2x+l的解集为(2,-〃?)，

综上，当〃?=-2时，不等式/(“<2x+l的解集为0,

当〃?>-2时，不等式/(x)<2x+l的解集为(一〃?,2),

当"?<-2时，不等式/(x)<2x+l的解集为(2,-〃。,

20.(1)A=(2,3)；

(2)a=3；

(3)a<l.

【分析】(1)直接解不等式可得；

(2)由题意得一L2是方程a(x-l)*-2)=2Y-8x+8的根，代入后可得。值：

(3)x=3代入后不等式不成立可得.

【详解】(1)。=1时，不等式为(l一1)。-2)>2/一81+8,即产_5,r+6<(),2<x<3,

・•.A=(2,3)；

(2)原不等式化为(a-2)x2-(3a-8)x+2a-8>0,

「中士((。-2)+(3。-8)+2。一8=0、

由题尽(o„，解得a=3,

4(〃-2)-2(3。-8)+2。-8=0

a=3时原不等式化为x<-\^x>2,满足题意.

所以a=3；

(3)3后A,则方M18-24+8,解得

173

21.(1)—：(2)

42

3

【分析】利用韦达定理可得芭+七=-1,%32=-1，再对所求式子进行变行，即

入：+七2=(内+勺)2-2、巧：_L+_L=±0；两根和与积代入式子，即可得到答案；

«X|•¥•>X]•Xy

【详解】解：因为一元二次方程2f+3x-2=O的两个实数根为不占，所以由根与系数关系可知

3,

%+工2=-/小“2=-1.

>>■917

(1)X,2+X,2=(玉+x)2-2X]X=—2x(-1)=一；

2~244

3

(2)]।,二一2二3.

Kx2Xjx2-12

22.(l)a=6,Z?=-11；

⑵见解析

【分析】(1)根据一元二次不等式解法可知2,3为方程/(力二0的两个根，然后利用韦达定理求解即可;

(2)化简=f+g+l)x+a=(x+G(x+l)>。，讨论〃的取值分别求解不等式即可.

【详解】(1)由条件知，关于式的方程/+(。+3*+〃=0的两个根为2和3,

。二6

所以

方二-11

(2)当。=1时，f(x)=x2+(a+\)x+a>0,即(x+a)(x+1)>0,

当一〃<一1时，即。>1时，解得x〈一〃或x>-l；

当一々二一1时，即々=1时，解得x-l；

当一a>-l时，即。<1时，解得工<一1或%>一。.