2023-2025北京高一（上）期末数学汇编：平面向量及其线性运算（人教B版）

2023-2025北京高一（上）期末数学汇编

平面向量及其线性运算（人教B版）

一、单选题

1.（2025北京西城高一上期末）已知V/3C中，。,后分别为边的中点，M|G4-2CB|=2,则

\ED+EC\=(

3

A.2B.一C.1D-I

2

2.（2025北京人大附中高一上期末）如图，在中，M是边8c的中点，尸是上一点，且

一2—•—•

BP=-BA+mBC,则m=()

3

2

A.-D.-

6.3c55

3.（2025北京首师大附中高一上期末）设D是不共线的两个向量，已知丽=1+2瓦元=42-45,

CD=-a+2b>贝1

A.4民。三点共线B.三点共线

C.42,C三点共线D.4C,。三点共线

4.（2024北京西城高一上期末）如图,在正六边形A8CAE/中，AB-CD=（

BFC.ECD.BE

5.（2024北京人大附中朝阳学校高一上期末）在平行四边形中,设对角线AC与BD相交于点O,

贝1万+Q=（）

A.2BOB.2DOC.RDD.AC

6.（2024北京房山高一上期末）设»是向量,“|可=卜+可”是“,=0”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2023北京昌平高一上期末）如图，在矩形/3C。中，对角线交于点。，则下列各式一定成立的

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是（）

C.AO=-CA

2

D.=+

8.（2023北京丰台高一上期末）-诟+而化简后等于（）

A.BCB.CBC.BDD.DB

9.（2023北京西城高一上期末）已知£为单位向量，则“向+~-|~=1”是“存在九＞0,使得石=比”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2023北京西城高一上期末）如图，在平行四边形4BCD中，AC-AB=（）

11.（2023北京房山高一上期末）在V/2C中，。为2C的中点，贝|（）

A.AD=AB+ACB.AD=^AB+^AC

―.1—.1-.

c.BC=AB-ACD,BC=-AB--AC

12.（2023北京八中高一上期末）已知1方是不共线的向量，AB=Aa+bAC=a+^b（2,〃e火），那么

A,B,C三点共线的充要条件为（）.

A.4+〃=2B.加=1C.〃/=一1D.4一〃二1

二、解答题

13.（2023北乐昌平IWJ—'上期末）如图，在A45。中，AM=gAB,BN=3BC.设AB=a,AC=b.

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⑴用£［表示就，加；

—►5一1-

(2)若尸为A"。内部一点，且“尸=在。+^6.求证：”,P,N三点共线.

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参考答案

1.C

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.

【详解】在V/8C中，分别为边NC,3c的中点，

由|第一2而|=2,得|2函一2瓦|=2,即|丽一丽|=1,贝1」丽|=1,

而而=丽+丽=就+而，所以屈+觉|=1.

故选：C

2.A

【分析】设方=2万7,根据图形由向量的加法法则运算即可.

___.1-.

【详解】设4P=；l与7，因为M是边3c的中点，所以

所以而=而?-直」就-方，

2

BP=BA+AP=BA+A,AM=BA+^BC-ABA=(1-Z)BA+1A5C,

l-2=-

—•2—­—•ai

又AP=-A4+7778C,所以，J,解得加=—.

31,6

—A=m

[2

故选：A.

3.D

【分析】由已知可得k=-3而，由共线向量基本定理得答案.

【详解】■■■BA^a+2b,BC^4a-4b,CD=-a+2b>

:.AC=AB+BC=3a-6b=-3(-a+2b)=-3CD,

4C,o三点共线.

故选D

【点睛】本题考查向量的加法、减法法则，考查平面向量共线的条件，是基础题.

4.C

【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可.

【详解】~AB-Cb=Eb-Cb=ED+DC=^C.

故选：C

5.B

【解析】根据向量的线性运算可得正确的选项.

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【详解】

因为四边形48C。为平行四边形，故而+函=6，

^AB+CB=Ad+OB+cd+OB=2OB=2Dd>

故选：B.

6.B

【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.

【详解】当六一京时，,+可=-产+B=躯=同，推不出忖=0

当W=o时，b=o,则忖+川=卜+川=|同

即“m=卜+叶堤"忖=o”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.

7.D

【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.

【详解】由图知：AB=DC=-CD，故A错误；就，而不相等，即就片前，故B错误；

AO=-AC=--CA,故C错误；AO=-（AB+AD）,故D正确.

222V'

故选：D

8.B

【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.

【详解】因为万一石+丽=丽+丽=丽+丽=演，

故选：B.

9.B

【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例g=6即可，对于后者是否推前者，由后者可得Z3共线且

同方向，贝I值+在|-|昨同+「卜⑸力|=i，即后者能推出前者，最后即可判断.

【详解】若3=6,则孱+不|-自=同=1,但此时不存在x>o,使得5=而，

故不存在力>0,使得5=而，故前者无法推出后者，

若存在2>0,使得5=而，则共线且同方向，

此时|7+'-囚=同+问-0=同=1，故后者可以推出前者，

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故“孱+司-忸|=1”是“存在2>0，使得B=解的必要不充分条件”，

故选：B.

10.B

【分析】根据向量运算得％_赤=而.

【详解】由图知％-方=而=①，

故选：B.

11.B

【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可.

【详解】解：因为AXSC中，。为3c的中点，

所以数=就一在，AD=AB+^BC=AB+^^AC-AB)=^AB+^AC,

故选：B

12.B

【分析】若A、B、。三点共线，则向量段与成平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即

可找出使A、B、。三点共线的充要条件.

【详解】解：若A、B、。三点共线，则向量n///

即存在实数左，使得盛=左於，

AB=Aa+b9AC=a+jub

一一14二左、.

Aa+b=k(a+可得〈，消去左得加=1

[1=zkju

即A、B、。三点共线的充要条件为"=1

故选：B.

_k_----►1_1一

13.(1)5C=b-aMN=—b+—a

2o

(2)证明见解析

【分析】(1)由图中线段的位置及数量关系，用衣，刀表示出