2023-2025年内蒙古中考数学试题分类汇编：函数综合（解析版）

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专题01平面直角坐标

考点（）1平面直角坐标系

1.12024.通辽・中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系

的坐标轴重合.则点4（T,2）关于），轴对称的点的坐标为（）

A.（T,—2）B.（4,-2）C.（4,2）D.（—2,-4）

【答案】C

【详解】解：•・•图形的对称轴是）轴，

・♦・在平面直角坐标系X。中，点4（-4,2）关于y轴对称的点的坐标为（4,2）,

故选：C.

2.12024.包头.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形0A3C各顶点的坐标分别是0（0.0）,A（l,2）,

4（3,3）,C（5,0）,则四边形。48c的面积为（）

A.14B.11C.10D.9

【答案】D

【详解】解：过A作AM_LOC于M,过B作BN上OCFN,

•••0(0,0),4(1,2),8(3,3),C(5.0),

・・・OM=1,AM=2,ON=BN=3,CO=5,

:・MN=ON-OM=2,CN=OC-ON=2,

•••四边形OABC的面积为SAOM+S梅影AMNB+SBCN

=9,

故选：D.

专题02函数

考点点一次函数综合

1.（2024.通辽・中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数V=+A与），=%/+”（其中4芯工0,

K，Q瓦,灯为常数）的图象分别为直线上/2.下列结论正确的是（）

A.4+么>。B.32>0C.用+&<0D.k&v。

【答案】A

【详解】解：由一次函数4：y=kd+A的图象可得:

4>0,/?)>1,

由一次函数小的图象可得:

攵2>0,Z?2=-1,

/>1+b2>0,皿<0,吊+的>0,k/2>。，

正确的结论是A,符合题意，

故选A.

2.12024・包头・中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符

合该条件的一次函数的表达式.

【答案】、='+1（答案不唯一）

【详解】解：设一次函数的解析式为、=kx+b（k?0）,

•・•一次函数的图象经过一、二、三象限，

：.k>0,b>0,

・・・符合该条件的一个一次函数的表达式是：y=x+l（答案不唯一）.

故答案为：y=x+i（答案不唯­）.

【详解】解：一次函数y=2x-3中，令x=o,则产一3；令产0,则工=?，

・•・一次函数y=2x-3的图象经过点（0,—3）和《可，

・•・次函数），=2工-3的图象经过、三、四象限，

故选：D.

4.12025•内蒙古・中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流/（单位：A）是它两端的电压U（单位:

V）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（）

Z/A

।

O51015

A.12AB.8AC.6AD.4A

【答案】A

【详解】解：由题意得设电流/关于电压U的函数解析式为：/=kU(kwO),

由图象可代入(5,4)得:5k=4,

解得：U=0.8,

AI=0.SU(U＞0),

当U=15,则/=0.8x15=12A

故选：A.

【详解】解：①当化＜0时，一攵＞0,

一次函数丁=-履+2经过第一、三、四象限，反比例函数y=1(k¥0)经过第二、四象限；

②当女＞。时，一攵＜o,

一次函数、=-履+2经过笫一、一、四象限，反比例函数y伙#0)经过第一、三象限：

故选：D.

6.(2023•包头・中考真题)在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一

次函数)，=&+以女/。)的图象，则该一次函数的解析式为()

A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y--2x-3D.y=-2x-6

【答案】B

【详解】解：正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得：

y=-2(x-3)=-2x+6,

故选:B.

7.（2024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）点P（x,），）在直线y=-（x+4上，坐标（国），）是二元一次方程5x-6y=33

的解，则点P的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

3,

y=——x+4

【详解】解：联立方程组*,4

5x-6y=33

x=6

解得

y=——

（-2

二•P的坐标为（6,一；

・••点P在第四象限,

故选：D.

8.12023•通辽包头・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点*0/），点A（4,l）,以点P为中心，把

点A按逆时针方向旋转60。得到点出在必（-1,-⑺），％，4,（）］,6-1），%（2,2#）四个点中,

【答案】B

【详解】解：•・•点A（4,l）,点尸（0,1）,

・・・PA_Ly轴，E4=4,

由旋转得：NA尸8=60。，AP=PB=4,

如图，过点8作5c_Ly轴于C,

:.ZBPC=30°,

ABC=2,PC=2^,

・・・B(2,l+2⑹),

设直绞0B的解析式为：)，=丘+〃，

则］2八〃=1+23

.Jk=6

••V，

b=l

，直线的解析式为：y=Gx+l,

"iX=-1时，y-->/3+1.

・•・点、%(-1,-75)不在直线心上，

当.丫=一"时，y=£x(-#)+l=0,

・・・W2-手，°在直线所匕

当工=1时），=6+1,

・•・弘（1，6-1）不在直线网上,

当工=2时，），=26+1,

・•・M,（2,26）不在直线用上.

故选:B.

9.12024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.卜面的图象反映的

过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后乂步行I可家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆.图

中用x表示时间，），表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论：

（I）体育场离该同学家2.5千米；

（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；

（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若该同学力行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则。的值是3.75：

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；

该同学在体育场锻炼了30-15=15（分钟），故（2）正确；

该同学的跑步速度为2.5+15=:〔千米/分钟），步行速度为2.5*65-30）=；（千米/分钟），则跑步速度

I17

是步行速度的倍，故（3）错误；

6143

若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为L5x，=0（千米/分钟），

64

所以。=；x（103—88）=3.75,故：4）正确，

故选：C.

10.（2024・包头・中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的腕的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝

试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度了（单位：cm）随着碗的数量x（单

位：个）的变化规律.卜.表是小亮经过测量得到的y与工之间的对应数据：

个1234

y/cm68.410.813.2

(1)依据小亮测量的数据，写出)'与X之间的函数表达式，并说明理由；

(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm,求此时碗的数量最多为多少个？

【详解】(1)解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加2.4cm,

y=6+2.4(x—l)=2.4x+3.6,

检验：当x=l时，y=6；

当“2时，y=8.4；

当％=3时，y=I0.8；

当*=4时，y=13.2：

:.y=2.4x4-3.6；

(2)解：根据题意，得2.4X+3.6M28.8,

自《得kW10.5,

，碗的数量最多为10个.

II.(2023•呼伦贝尔兴安盟•中考真题)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽礼盒的进价比肉

粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同.

(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；

(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有4,3两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的

豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：

A厂家：一律打8折出售.

“厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折.该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去人

厂家购买应付M元，去6厂家购买应付为元，其函数图象如图所示：

①分别求出,，力与*之间的函数关系；

②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？

【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为〃元，则每盒肉粽的进价为（〃+1。）元

2000_2500

a-«+10

方程两边乘得2000（〃+10）=2500。

解得a=40

检验：当〃=40时，。（。+10）/0

・・・〃=40是原方程的解

a+10=50

答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元.

（2）解：©y,=40x80%x=32x（X20且x为整数）

当0WXW25且3为整数时，y2=^x

当了>25且x为整数时，必=1000+（40x7000）x70%=28x+300

.40x（0J425且x为整数）

…”—128x+300（x>25Mx为整数）

②当x>25且x为整数，

y=为时32x=28x+300

解得：x=75

由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去八厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去人厂家或8厂家

购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去8厂家购买划算.

12.（2024.呼伦贝尔兴安盟.中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种

水果的进价和售价如表所示：

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

元.

⑴求。涉的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超巾当天销售

完这两种水果获得的利润〉（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取

值范围），并求出在获得最大利涧时，超市的进货方案以及最大利润.

18。+66=366

【详解】（1）解：根据题意，得〈

30〃+15人=705

。=14

解得，

b=\9

(2)解：当50WXW80时，

根据题意，得y=(22-14)x+(25—19)(150—x)=2x+900.

V2>（）,

・・・y随x的增大而增大，

・••当x=80时，y有最大值，最大值为2x80+900=1060,

即购进甲种水果80千克,乙种水果70千克,最大利润为1060元；

当80d20时，

根据题意，^y=（22-14）x80+（22-14-5）x（x-80）+（25-19）（150-x）=-3x+1300,

V-3<0,

・•・》随x的增大而减小，

/.x=8OH'J,）'有最人值，最人值为-3x80+1300=1060，

即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元;

2x+900(50<x<80)

综上，y=购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元.

-3x+I3(X)(80<x<120)

13.（2024.赤峰・中考真题）一段高速公路需要修复;，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修

复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90

千米公路所需要的时间相等.

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的

工期，两队最多能修复公路多少千米？

【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（工+3）千米,

4▼上，日6090

由题意得—，

xx+3

解得x=6,

经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，

x+3=9,

答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修好公路9千米；

（2）解：设中队的工作时间为，"天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路卬千

米，

由题意得，

,w=6/??+9(15-/7?)=-3m+135

解得mN10,

:.w随刑的增加而减少,

・•・当相=10时，w有最大值,最大值为卬=-3x10+135=105,

答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米.

14.（2024.呼市・中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某厂家生产大

小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰''单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的

数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍・，则大号“龙辰辰”的单价为元.某网店在该厂家购

进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”

售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该

网店所获最大利润为元.

【详解】解：设大号“龙辰辰''的单价为x元，则小号“龙辰辰”的单价为"-⑸元，

由题意得:生％5a

x-15x

解得x=55,

经检验，工=55是所列分式方程的解，

所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号咙辰辰”的单价为40元.

设购进小号"龙辰辰''的数量为。个，则购进大号“龙辰辰”的数量为（60-。）个,

由题意得：0<60-«<|a,

解得40Kav60,

设该网店所获利润为w元，

则w=（60-40）a+[60x（l+30%）—55]（60-4）=-3a+1380,

由一次函数的性质可知，在40KGV60内，卬随。的增大而减小，

则当。=40时，卬取得最大值，最大值为-3x40+1380=1260,

即该网店所获最大利润为1260元，

故答案为：55；1260.

考点02反比例函数综合

1.12023•通辽・中考真题）已知点A&,y）,双孙为）在反比例函数丁=’的图像上，且％<。<与，则下列

X

结论一定正确的是（）

A.凶+为<°B.y,+y2>0C.y,-y2<0D.-y2>0

【答案】D

【详解】解：..•点A（N，yJ,8（七,方））是反比例函数y=的图像上的两点，

X

"»=42%=_2,

,/%<0<W，

：.y2<0<ylt即乂一为>0，故D正确.

故选：D.

2.（2023,呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，直线y=at+b（"0）与双曲线），=勺%工0）交于点A（-2,4）和点

现n-2）,则不等式0<如+。<^的解集是（）

A.-2<x<4B.-2<x<0

C.工<-2或0<x<4D.-2cx<0或x>4

【答案】B

【详解】解：•・•把A（-2,4）,直线），=依+可。工0）与双曲线y=：（2w0）交于点A（-2,4）和点8（皿一2）,

・••当-2<xv0时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，

*,•不等<ax+b<—|j-j解集是：—2<x<0»

X

故选:B.

3.12024.包头.中考真题）若反比例函数x，2,%=-二3，当时，函数凹的最大值是明函数为的

*x

最大值是6,则/=.

【答案】1/0.5

【详解】解：,.函数》=2，当1WXW3时，函数力随X的增大而减小，最大值为。，

X

「.x=l时，）1=2=。，

3

力=--，当14x43时，函数为随”的增大而减大，函数%的最大值为乃=T=〃，

x

/.^=2

2

故答案为：g.

4J2025•内蒙古•中考真题）已知点A（"W）,都在反比例函数尸-上的图象上，则下列结论一

•V

定正确的是（）

A.B.凶<乃

C.当机<0时，<y2D.当机<一1时，,<必

【答案】D

【详解】解：对手反比例函数y=-二的图象上，在各个象限内，）'随x的增大而增大，且第二象限的函数

X

值大于第四象限的函数值，

,:m<m+\,

当m<m+1<0时，即〃z<-1时，

则M<J2，

当0vm<m+1时,即〃?>0时，

则K<%,

当用<0<〃?+1时，即一lv/〃vO时，

则K>必，

综上，只有选项D正确，

故选：D.

5.12023・包头•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△OA3三个顶点的坐标分别为

0(0,0),人(26,0),B4,1)4OA'B与△048关于直线OB对称，反比例函数y」(*>0*>0)的图象与48交

A.2GB.地C.73D.立

22

【答案】A

【详解】解•：如图所示，过点B作轴，

V。(0.0),426,0),3(6,1),

・•・BD=I,OD=6,

/.AD=OD=yf3,tanZBOA=—=—,

OD3

,,OB=AB=\jOD2+BD~—2，/BOA=z^BAO=30°,

・・・/OBD=NABD=60。,NO胡=120。，

•・•OAA与△OA3关于直线08对称，

/.“4v=i2(r,

NOAA+NOBD=180°,

・・・4,B,。三点共线，

A!B=AB=2^

•・•A'C=8C,

，BC=\,

・・・CO=2,

・・・C（V3,2）,

将其代入），=々攵>0，1>0）得：k=28,

X

故选：A.

6.：2023•呼市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形A8C0EF的对称中心P在反比例函数

y=：（&>0,x>0）的图象上，边AB在4轴上，点/在轴上，已知A8=2石.

（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；

（2）求出直线痔：为=6+"。工0）的解析式，并根据图象直接写出当x>0时，不等式以+人〉七的解集.

.1

【详解】（1）解：:六边形48CD四为正六边形，AB=26

AAB=AF=2>/3,NE4O=60°,

OA=AFcos60°=>/3»OF=AF-sin60°=3,

AF（0,3）,A（®0）,

连接PRPA,

•・•六边形ABCDEF为正六边形，

・•・PE=PF=PA=PB、ZEPF=NFPA=/APB=60°,

，用RAFAPQABP为等边三角形,

/.AF=PF=2y[i,

・・・P（2瓜3）,

把P（2x/5,3）代入y=£得：3=点,

解得：k=6>73»

・•・反比例函数表达式为y=色巨.

•二EFPMAP为等边三角形,

・••点E和点A关于尸尸对称，

・・.E（后6）,

把工=百代入y=5^得：>>,==6

・••点E在该反比例函数的图象上;

ED

AB

（2）解：把E（石,6）,尸（24,3）代入必=or+》（"0）得:

3=2&+8

・•・直线EP的解析式为：y=-V3x+9,

・.・E（6,6）,42后3）,

，由图可知，当时，ax+b>~.

7.（2024.通辽・中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点0为正六边形AACQ砂的中心，E/〃x轴，点E

在双曲线y=A伏为常数，&>0）上，将正六边形A8C£花/向上平移6个单位长度，点。恰好落在双曲线上,

X

则/:的值为（）

【答案】A

【详解】解：如图所示，过点E作轴于H,连接OE,

,/原点0为正六边形ABCDEF的中心，

：.OE=OD,ZEOD=^—=60°,

6

・・・4。瓦）是等边三角形，

:・DE=OD,

•・•EH1OD,

：.OH=DH=-OD,

2

_________G

EH=y/DE2-DH2=—OD^

2

设。£>=2〃?，则0"=〃?，HE=V3w>

•・♦将正六边形AHCDEb向上平移力个单位长度，点。恰好落在双曲线上,

・••点（2帆,@在双曲线上，

又丁点七也在双曲线上,

k=2〃?•m•6"?»

解得/〃=2或〃?=（）（舍去），

:,k=2m/=4曰

故选：A.

8.12024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,3的坐标分别为（5,0）,（2,6）,

过点3作8C〃x轴交》轴于点C,点。为线段A8上的一点，且班>=24）.反比例函数y=K（x>0）的图象

X

经过点D交线段BC于点、E,则四边形ODBE的面积是一.

【答案】12

【详解】如图，作轴于朋，作力N_Lx轴于N,则ON/7AM,

••点A,3的坐标分别为(5,0),(2,6),

二BC=OM=2,BM=OC=6,AM=3,

：DN//BM,

4ADNSAABM,

.DNANAD

/BD=2AD,

.DNAN1

•'-==—,

633

,・DN=2,AN=1,

ON=OA-AN=4,

・・・D点坐标为（4,2）,代入y=人得，k=2x4=8,

.1

Q

，反比例函数解析式为y=2,

X

•・・BC〃x轴，

，点E与点〃纵坐标相等，且E在反比例函数图象上,

*6/

：.E

4

：.CE=-,

3

•,$巴边形OC8E=§梯形-SOCE

故答案为：12.

9.12024・赤峰・中考真题）在平面直角坐标系中，对于点M（5，H）,给出如下定义：当点火（法为），满足

NT电=X+%时，称点N是点、M的等和点.

⑴已知点M（l,3）,在N[4,2）,凡（3,—1）,乂（0,—2）中，是点M等和点的有；

（2）若点“（3,-2）的等和点N在直线y=X+/）上，求〃的值；

⑶己知，双曲线y=幺和直线为=工-2,满足y的x取值范围是心＞4或—2vxv0.若点。在双曲线

X

y=&上，点/，的等和点。在直线为=%-2上，求点。的坐标.

X

【详解】⑴解:由"（1,3）,N（4,2）得,%+占=—+%=5,

・••点N（4,2）是点M的等和点：

由“（1,3）,M（3,-l）得，X,+X2=4,y+%=2,

'：xl+x2^yl+y2t

・・・M（3,-1）不是点"的等和点；

由乂（0,-2）得，%+占=）[+为=1，

・・・必（0,-2）是点M的等和点；

故答案为：N（4,2）和汽3（0,-2）：

（2）解：设点N的横坐标为。,

•・•点N是点M（3,-2）的等和点，

・••点N的纵坐标为3+。一（-2）=。+5,

・••点N的坐标为（。,。+5）,

•・•点N在直线y=x+〃上，

a+5=a+b,

・・・〃=5；

（3）解：由题意可得，4＞0,双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点44,如图,

由“＜乃时x的取值范围是工＞4或-2Vx＜0,可得点A的横坐标为4,点8的横坐标为-2,

把、=4代入y=x-2得，＞=4-2=2,

・•・A（4,2）,

把A（4,2）代入得，2=1,

・•・太=8,

・•・反比例函数解析式为y=9,

X

设点。的横坐标为

•・•点。是点P的等和点,

Q

，点。的纵坐标为ffi+n——,

m

/.Q〃,〃?+〃一9）,

km）

•・•点。在直线必=工-2上，

8

m+n=n-2,

m

整理得，〃?-3+2=（）,

m

去分母得，＞+2〃]_8=0，

解得网=-4,町=2,

经检验，加=-4,加=2是原方程的解•,

・・・点。的坐标为（々,-2）或（2,4）.

10.（2024•呼市・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数凶=e+〃（〃工0）的图象与X轴、），轴分别

（2）已知变量x,%的对应关系如卜表已知值呈现的对应规律.

X•・・-4-3-2-1,11234

22•••

_44

y•・•-1-2-4-88421・・・

2-33

写出％与x的函数关系式，并在不题所给的平面直角坐标系中画出函数为的大致图象;

（3）一次函数》的图象与函数内的图象相交于C，D两点（点C在点。的左侧），点C关于坐标原点的对称

点为点E,点。是第一象限内函数内图象上的一点，且点P位于点。的左侧，连接夕C,PE,CE.若#CE

的面积为15,求点P的坐标.

-2k+b=0

【详解】（1）解：将点从（一2,0）,8（0,1）代入），产区+〃攵工0）得：，

b=\

,k=-

解得2,

b=\

则一次函数的解析式乂=Jx+1.

4

（2）解：由表格可知，y,=一，

'x

画出函数图象如下：

y=51+i(x=-4fx/

(3)解：联立:，解得.1或二，

4y=-l1>'=2

y=-1

•.•一次函数g的图象与函数刈的图象相交于r.£）两点（点c在点q的左侧）.

・•・C（-4,-I）,£＞（2,2）,

•・•点C关于坐标原点的对称点为点E,

・•・£（4,1）,

设直线CE的解析式为），=k0x+b。,

将点C(fT),E(4,l)代入得:|才心：一1，解得,

[4…=1"

则直线CE的解析式为y=

4

(4Y、

设点2的坐标为Pm,_(0</«<2),

Im)

如图，过点尸作x轴的垂线，交直线CE于点尸，则尸所，；〃?)，

・，.PF=W加，点C到PF的距离与点E到尸产的距离之和为4-(-4)=8,

•••-PCE的面积为15,

*'•-x8|---///|=15,即+15/??-16=0,

2\m4)

解得用=1或6=-16<0(不符合题意，舍去)，

经检验，，〃=1是所列分式方程的解，

44

则一==4,

mI

所以点/)的坐标为(1,4).

考点03二次函数综合

1.12024,包头•中考真题)将抛物线)，=/+2*向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为()

A.y=(x+l)12-3B.y=(x^l)2-2C.y=(x-l)2-3D.y=(x-\)2-2

【答案】A

【详解】解：抛物线y=/+2x向下平移2个单位后,

则抛物线变为y=f+2x-2,

/=/+23一2化成顶点式则为），=（x+l『-3,

故选：A.

2.12024.呼市・中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数），=⑪-可。工0）和），=二（。=0）的图象大致如图

x'

所示，则函数尸加+公+《"0）的图象大致为（）

【详解】解.：•・•一次函数），=公一力（1/0）的图象经过第一、二、四象限，

Aa＜0,-b＞0,即。＜0,匕＜0,

•・•反比例函数y=?（cH0）的图象位于第二、四象限，

・・・-。＜0,即c＞0,

・•・函数y=加+云+4a#o）的开口向下，与＞轴的交点位于〉轴的正半轴，对称轴为直线X=-（＜0,

故选：D.

3.12024・通辽・中考真题）关于抛物线），=炉_2g+疝+〃.4（〃?是常数），下列结论正确的是（填

写所有正确结论的序号）.

①当〃7=0时，抛物线的对称轴是）'轴：

②若此抛物线与龙轴只有一个公共点，则机=~4；

③若点4（*2,yj,+在抛物线上，则X＜y2;

④无论〃，为何值，抛物线的顶点到直线了二工的距离都等于2&・

【答案】①④/④①

【详解】解：当旭=0时，y=x2-4,此时抛物线的对称轴是y轴，故①正确;

•・•此抛物线与l轴只有一个公共点，

:.方程x2-2mx+m2+m-4=0（i勺辜彳两个相等的实数根，

A=（-2/〃）"-4（〃?2+6—4）=0,

解得：m=4,故②错误：

*.*y=x2-2ntx+m2+-4=（x-m）~+nz-4,

・••抛物线的对称轴为直线x=

V1>O,

・•・离对称轴距离越沅的点的纵坐标越大,

,点4（m一2,乂），8（阳+1,%）在抛物线上，且|冽-2-时>忱+1-/«|,

故③错误；

y=x2-2nix+m2+m-4=（^x-tn）'4,

・•・抛物线的顶点坐标为（见加-4）,

・•・抛物线的顶点坐标在直线y=x-4上，

如图，过点A作A8_L直线y=x『点4,则点A（4,o）,Z4OB=45°,。4=4,

，叱日如2区即抛物线的顶点到直线…的距离都等于26故④正确.

故答案为：①④

4.（2024•赤峰・中考真题）如图，正方形48co的顶点A,C在抛物线），=-/+4上，点。在），轴上.若AC

（〃>〃>（））,下列结论正确的是（)

m-n=\C.nui=ID—.—=

【答案】B

过点R作BN上MN卜点N,

:.ZBAN+^DAM=9(ffZDAM+ZADM=90°,

:.ZBAN=ZADM.

NBNA=ZAMD=90。,BA=AD,

:.t.ANB^DMA(AAS).

:.AM=NB,DM=AN.

,.点A、C的横坐标分别为〃?、/i,

A(m,-nr+4),C(n,-n'+4).

,m+n-tn2-n2+8^.,八

•••Er(f-,-------------),M(0,-rrr+4),

设D(0,b),则B(m+n,-nr-n'+8-Z?),N(m+n,-m!+4),

z.BN=-n2+4-b>AM=m,AN=n,DM=m2-4+b.

又AM=NB,DM=AN,

:,-n2+4-b=m.n=m2-4+b.

:.b=-rr-〃1+4.

:.n=m2-4-M2-，〃+4.

（w+〃）（，〃-n）=m+n.

:点A、。在y轴的同侧，且点A在点c的右侧，

二.川+〃H0.

：.m—n=].

故选:B.

5.12023•通辽・中考真题）如图，抛物线），=片+法+«"0）与x轴交于点（大财，（2,0）,其中下

列四个结论：①a力c<0；②a+〃+c>0；③%+3cy。；④不等式一+b%+cV-：x+c的解集为0<x<2.其

【答案】C

【详解】解：•・•抛物线开口向上，对称轴在），轴右边，与），轴交于正半轴,

•・白>abvO,c>0,

abc<0,故①正确.

••当x=l时，），<0,

*.a+b+c<0,故②错误.

••抛物线y=♦+hx+e^x轴交于两点。；,0）,（2,0）,其中0<$<1,

.2+0b2+1

.----<----<----,

22a2

17

当一一乙<二时，h>一3a,

2a2

当工=2时，y=4a+2b+c=0,

b——2。—c,

2

2

勿一＜?＞0,

2lj+3c=-4a-c+3c=-4a+2c=-2（2a-c）＜0,故③正确:

综上，正确的有①③④，共3个，

故选：C.

6.（2023・包头•中考真题）已知二次函数），=-纨2+2也+3（。>0）,若点P（〃13）在该函数的图象上，且〃中0,

则用的值为.

【答案】2

【详解】解：点尸（认3）在），=-纨2+2心+3I-.,

•*-3=-am2+lain+3，

-ain（ni-2）=0,

解得：“2=2,〃?=0（舍去）

故答案为：2.

7.12023•赤峰•中考真题）如图，弛物线y=/-6x+5与x轴交于点4,B,与y轴交于点C,点。（2,〃?）在

抛物线上，点七在直线4c上，若NOE3=2NZ>C3,则点上的坐标是.

【答案】（*$和（拳T

JJJJ

【详解】解：在y=/—6x+5中，当％=0时，），=5,则有C（0,5）,

令y=0,则有人2-6工+5=0，

解得：X）=l,x2=6,

・・・A（L0）,8（5,0）,

根据。点坐标，Wm=22-6x2+5=-3

所以0点坐标（2,-3）

设BC所在直线解析式为），="+力，其过点。（0,5）、8（5,0）

:"=5

有

'5k+b=0

解得，

b=5

・・・BC所在直线的解析式为：y=-x+5

当E点在线段BC上时，设七（。,-。+5）

/DEB=/DCE+Z.CDE

而/DEB=2/DCB

・•・/DCE=NCDE

・•・CE=DE

因为：E(a-a+5),C(0,5),D(2,-3)

仃+(-iz+5-5)"—-2)~+[-〃+5-(-3)「

解得：a=]，-a+5=]

所以七点的坐标为：(?,|)

当E在C8的延长线上时，

在一8DC中，BD2=(5-2)2+32=18,BC2=52+52=50,DC2=(5+3)2+22=68

；・BD2+BC2=DC2

：.BDLBC

如图延长所至£,取BE=BE,

则有,OEE为等腰三角形，DE=DF：-

・•・4DEE=NDEE

XVNDEB=2/DCB

/DEE=2NDCB

则£为符合题意的点，

•：OC=OB=5

・•・ZOfiC=45

I7QQQ

£向横坐标：5+（5---）=^—,纵坐标为一不；

JJJ

।7oa?Q

综上£点的坐标为：（子?或（不一?，

小故小答生案4为：（窿17句81或T（于33力81

8.12023•呼市・中考真题）关于x的二次函数y=〃/一6〃四一5（〃冲0）的结论

①对于任意实数。，都有玉=3+。对应的函数值与玉=3-。对应的函数值相等.

②若图象过点A（XQ，J,点点C（2「13）,则当王＞玉＞g时，25A＜0.

2百1彳2

4114

③若3KKK6,对应的）'的整数值有4个，则-§＜〃?4一§或,

④当机＞0且〃时，-14＜J＜/22+1,则〃=1.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】解：①：二次函数y=一6g-5（〃?¥0）,

・••该函数的对称轴为直线x=-锣=3,

2m

再=3+a,x2=3—a,

・・•"5.=3,即（为,八）和（々，人）关于直线X=3对称，

・・..q=3+a对应的函数值与々=3-。对应的函数值相等，故①正确，符合题意；

②把。（2,-13）代入y=〃/-6〃a-5（〃?工0）得：-13=4/〃-12"；-5,

解得：m=\,

・•・二次函数表达式为丁=/一6-5,

•・・。=1＞0,该函数的对称轴为直线x=3,

・••当x＞3时，），随工的增大而增大，

：・K＞为，

/.%一%＞。，

・•・/二上＞0,故②不正确，不符合题意：

再一M

@Vy-inx2-6"a一5=，〃（x-3）~-5-9〃？,

・•・当x=3时，y=-5-9/n,当x=6时，），=一5,

当加＞0时，

V3<x<6,

・•・）随x的增大而增大，

V3<X<6,对应的y的整数值有4个，

・••四个整数解为:-5,-6-7,-8,

14

A-9<-5-9/M<-8,解得：

Jy

当〃7<0时，

V3<x<6,

・•・）随％的增大而减小，

V3<X<6,对应的y的整数值有4个，

・••四个整数解为：一5,T,-3,-2,

41

**•—2W—5—9/??<-1,解得：——<m<——,

4114

综上：一5<〃?工一3或故③正确，符合题意；

④当机>0且〃工X43时，），随X的增大而减小，

V-14<y</?2+l,

・,•当％=3时,y=-5-9m=-14,解得:tn=\,

y=x2-6x-5,

当.丫=〃时，y=n2-6n-5=n2+\,

解得：〃,故④不正确，不符合题意；

综上：正确的有①③，共2个，

故选:B.

9.12024•呼市・中考真题）下列说法中，正确的个数有（）

①一次函数.y=aP+Zn,+c（〃>0）的图象经过（2.1）.（-4.1）两点，M”是关于.r的元一次方程

ar2+Zzr+c-M=0（0<&<l）的两个实数根，且加<〃，则7<〃?v〃<2恒成立.

②在半径为「的中，弦A及8互相垂直于点尸，当O尸二加时，则4夕+。1/=8/-462.

©△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且/4AC=90。，点A的坐标为（1,0），点8的坐标为（0,5）,

点C是反比例函数丁=4〃工0）的图象上一点，则々=±30.

.1

④m知矩形的一组邻边长是关于X的一元二次方程丁-2包+山+42-1=0的两个实数根，且矩形的周长值

与面积值相等，则矩形的对角线长是4遥.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】•••二次函数），=如2+反+《〃>0）的图象经过（2,1）,（T,1）两点，

・••当-4vxv2时，y<l,

•・"，〃是关于x的元二次方程加+云+c-A=O（O<A<l）的两个实数根，且m<〃，

-4<〃z<〃<2,故①正确；

如图，过点。作0M_LCR0NJ_A4,垂足分别为M,N,连接QA。。,

・・・M、N分别为8,AB的中点，AN2=OA2-ON2,

•・•弦A昆C。互相垂直，

・•・明边形OM0V是矩形，

ON=PM,

,OP1=OM2+PM'=OM2+ON2,

:・AB=2AN、CD=2DM,

・•・AB2=（24N）2=44"=4（Q/V一oM）,

同理可得8?=4（OD2-OM2）,

・•・AB2+CD2=4（Q42-ON2）+4（OD2-OM2）=8r2-4m2,故②正确;

当点C在笫一象限时，过点C作CD_LO6于点

・•・ACDB=ZAOB=90°=ZABC,

・•・ZABO+NBAO=90。=ZABO+/DBC,

・•・/BAO=NDBC,

VAB=BC,

.・.A0g./)8C(AAS),

•・•点A的坐标为(1,0),点8的坐标为(0,5),

・,.AO=BD=tBO=CD=5,

：.OD=OB+BD=