2023-2025年内蒙古中考数学试题分类汇编：函数综合（原卷版）

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专题01平面直角坐标

考点（）1平面直角坐标系

1.12024.通辽・中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系

的坐标轴重合.则点4（T,2）关于），轴对称的点的坐标为（）

A.（T,—2）B.（4,-2）C.（4,2）D.（—2,-4）

2.12024.包头.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形0A3C各顶点的坐标分别是。（0,0）,4（1,2）,

8（3,3）,C（5,0）,则四边形0A5C的面积为（）

A.14B.11C.10D.9

专题02函数

考点点一次函数综合

1.（2024・通辽・中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数,=幻+仇与”（其中女人工。，

K，Q仄,&为常数）的图象分别为直线乙，/?.下列结论正确的是（）

A.+b2>0B.l\b2>0C.ki+h<0D.K&vO

2.12024・包头・中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符

合该条件的一次函数的表达式.

3.12023•通辽•中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2.r-3的图象是（）

4.12025•内蒙古・中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流/（单位：A）是它两端的电压U（单位:

V）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（）

6.（2023•包头・中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一

次函数"女/。）的图象，则该一次函数的解析式为（）

A.y=-2x+3B.y=-2x+6C.y=-2x-3D.y=-2x-6

3

7.（2024.呼伦贝尔兴安盟.中考真题）点P（x,），）在直线），=-%+4上，坐标（."）是二元一次方程5x-6y=33

的解，则点。的位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.12023•通辽包头・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0/），点4（4,1）,以点P为中心，把

点A按逆时针方向旋转60。得到点8,在%-当,0,1），%（2,26）四个点中,

9J2024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映的

过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后的自行车到图书馆.图

中用工表示时间，），表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；

（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；

（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的L5倍，则。的值是3.75；

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进中种水果30千克和乙种水果15千克需705

元.

⑴求。涉的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超巾当天销售

完这两种水果获得的利润〉（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量工的取

值范围），并求出在获得最大利涧时，超市的进货方案以及最大利润.

13.（2024.赤峰•中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修

复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90

千米公路所需要的时间相等.

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的

工期，两队最多能修复公路多少千米？

14.（2024.呼市・中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字"辰''为名.某厂家生产大

小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰''单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的

数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰''的单价为元.某网店在该厂家购

进了两种型号的“龙辰辰''共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号"龙辰辰''个数的一半，小号“龙辰辰”

售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰''全部售出，则该

网店所获最大利润为元.

考点02反比例函数综合

2

1.[2023•通辽・中考真题）已知点（孙必）在反比例函数产的图像上，且X<0<占，则下列

结论一定正确的是（）

A.y+K<°B.>',+y2>0c.乂一为<°D.y,-y2>o

2.（2023,呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，直线y=ai+b（"0）与双曲线），=勺女工0）交于点A（-2,4）和点

W叽一2）,则不等式0<如+力〈X的解集是（）

A.-2<x<4B.-2<x<0

C.工<-2或0<x<4D.-2<x<0s£x>4

93

3.12024・包头・中考真题）若反比洌函数M=，y=--,当时，函数,的最大值是“，函数月的

x2x

最大值是力，则/=.

4.12025•内蒙古・中考真题）已知点A（〃?J）,8（〃?+1,%）都在反比例函数丁=-巳的图象上，则下列结论一

A

定正确的是（）

A..y,>y2B.

C.当机<0时，y,<y2D.当时，y,<y2

5.12023•包头・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△Q48三个顶点的坐标分别为

。（。。,423。）向后1必。48与△OA4关于直线。8对称，反比例函数尸勺—。）的图象与私交

千点C.若A'C=A。，则A的值为（）

A.2月B.孚C.6D.与

6.：2023•呼市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形48cDEF的对称中心P在反比例函数

y=*>0,x>0）的图象上，边A8在“轴上，点尸在轴上，己知A6=26.

（1）判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；

（2）求出直线£P：必二⑪+可。/0）的解析式，并根据图象直接写出当“>（）时.，不等式派+力〉"的解集.

7.（2024.通辽・中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点。为正六边形A5CDM的中心，防〃x轴，点E

在双曲线），=一々为常数，&>。）上，将正六边形人8。所向上平移6个单位长度，点。恰好落在双曲线上,

C.2GD.3

8.12024•呼伦贝尔兴安盟•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别为（5,0）,（2,6）,

过点8作8C〃x轴交y轴于点C,点。为线段A8上的一点，且8O=2A£）.反比例函数y=々%>0）的图象

X

经过点D交线段8C于点E,则四边形OQ6石的面积是一.

9.12024.赤峰中考真题）在平面直角坐标系中，对于点"（与小），给出如下定义：当点N（与必），满足

司+々=,+%时，称点N是点M的等和点.

⑴已知点M（L3）,在N14,2）,M（3,-l）,M（（）,—2）中，是点M等和点的有；

⑵若点M（3,-2）的等和点N在直线y=x+b±,求〃的值；

（3）已知，双曲线y=人和直线为=1-2,满足y的x取值范围是x>4或-2<x<0.若点。在双曲线

x

y二与上，点尸的等和点Q在直线为=%-2上，求点尸的坐标.

x

10.（2024•呼市・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数凶=辰+〃（〃/0）的图象与X轴、y轴分别

交于4（—2,0）,8（0,1）两点.

(2)已知变量X%的对应关系如下表已知值呈现的对应规律.

1_1_

X・・・4・・・

-4-3-2-1~22123

_44

九•••-1-2-4-88421••・

-33

写出力与工的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中国出函数匕的大致图象:

(3)一次函数,的图象与函数为的图象相交于。，。两点(点。在点。的左侧)，点C关于坐标原点的对称

点为点E,点P是第一象限内函数为图象上的•点，且点P位于点。的左侧，连接尸C，PE,CE.若一PCE

的面积为15,求点夕的坐标.

考点03二次函数综合

I.12024•包头・中考真题)将抛物线y=/+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为()

2222

A.y=(x+l)-3B.>-=(X+/)-2C.y=(x-l)-3D.y=(x-\)-2

2.[2024•呼市・中考真题)在同一平面直角坐标系中，函数产依-〃(。工0)和1y='(g0)的图象大致如图

X

所示，则函数y=⑪2+辰+。(4/0)的图象大致为()

3.12024•通辽・中考真题）关于抛物线），=/—2〃吠+,〃2+,〃一4（机是常数），下列结论正确的是（填

写所有正确结论的序号）.

①当〃2=0时，抛物线的对称轴是〉轴：

②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则〃7=T：

③若点A（/"2,yJ,8（〃2+1,为）在抛物线上，则X<K；

④无论加为何值，抛物线的顶点到直线）的距离都等于

4.（2024・赤峰・中考真题）如图，正方形/WCQ的顶点A,。在抛物线），=-9+4上，点。在丁轴上.若AC

两点的横坐标分别为阳，/?（〃?>〃>（））,下列结论正确的是（)

A.〃?+〃=1B.tn—n-1C.nui=1D.

5.12023♦通辽・中考真题）如图，抛物线产加+法+c（"0）与x轴交于点（与，0b（2,0）,其中下

列四个结论：①出（<。：②〃+A+c>0；③奶+3cv0；④不等式批2+/>x+c<—£x+c的解集为0vxv2.其

中正确结论的个数是（）

6.（2023•包头•中考真题）已知二次函数y=-0?+2or+3（a＞0）,若点P（〃?,3）在该函数的图象上，且机工0,

则用的值为.

7.12023•赤峰中考真题）如图，抛物线y=Y—6x+5与x轴交于点A,B,与），轴交于点C,点。（2,〃?）在

抛物线上，点石在直线上，若/DEB=2NDCB,则点E的坐标是.

8.12023•呼市・中考真题）关于1的二次函数丁=，加-6〃底-5（〃冲（））的结论

①对于任意实数。，都有％=3+。对应的函数值与&=3-a对•应的函数值相等.

②若图象过点A（XQ，J,点网"＞，,），点。（2,-13）,则当%＞毛＞?时，入二立■〈O.

2X|-x2

4114

③若3WxW6,对应的）'的整数值有4个，则一3〈〃?工一3或

④当〃2＞0且时，-I4KJK/+1,则〃=].

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.12024.呼市・中考真题）下列说法中，正确的个数有（）

①二次函数旷=依2+队+。（。＞0）的图象经过（2口,（T,1）两点，〃?，〃是关于工的元二次方程

加+Z?x+c-攵=O（OvAvl）的两个实数根，且则-4v"?v〃v2恒成立.

②在半径为「的3。中，弦A&CD互相垂直于点P,当OP=〃7时，则4B2+CD?=8/一4〃』.

③aABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且NA8C=90。，点A的坐标为（1,0）,点8的坐标为（0,5）,

点C是反比例函数y=［仕/0）的图象上一点，贝IJ〃=±30.

④三知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程2（。+1）1+/-1=0的两个实数根，且矩形的周长值

与面积值相等，则矩形的对角线长是4遍.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（2023・包头・中考真题）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机

器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品

2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为V（单位：元），与x的函数关系如图所示（图中ABC为

一折线）.

（1）当1＜工＜10时，求每台的销售价格y与X之间的函数关系式；

（2）设该产品2022年第4个月的销售数量为机（单位：万台），〃?与x的关系可以用，〃=白1+1来描述，求

哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入=每台的销售价格x销售数最）

II.（2024.呼市・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=V—2〃x-4经过点（-1,加）.

（1）若〃?=1,则人=，通过配方可以将其化成顶点式为:

⑵已知点a,凶）,（天，）’2）在抛物线上，其中$＜勺.若/〃＞0且2玉+2占45,比较），|与力的大小关系，并说

明理由；

（3）若〃=0,将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线），=依+；交于A,B两点，宜线与），轴交于

点C,点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点尺连接AT,CF.求证：CF2=|CE.

12.（2023・赤峰・中考真题）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目

的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.如图，是乒乓球台的截面示意图，

一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓

球的运行路线近似是抛物线的一部分.

球网

台A

D

OCB

图①图②

乒乓球到球台的竖直高度记为）'（单位：cm）,乒乓球运行的水平距离记为大（单位：cm）.测得如下数

据:

水平距离x/cm0105090130170230

竖直高度y/cm28.7533454945330

⑴在平面直角坐标系八。中，描出表格中各组数值所对应的点（x,#,并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大

致图象;

y/cm

60

50

40

30

20

10

°102030405060708090100110120130140150160170180190200210220230240x/cm

（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm,当乒乓球落在对面球台上时，到起始点

的水平距离是__________cm.

②求满足条件的抛物线解析式;

（3）技术分析•：如果只上下调整击球高度Q4,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，

又能落在对面球台上，需要计算出。4的取值范围，以利于有针对性的训练.如图②.乒乓球台长08为

274cm,球网高CO为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度04的值约为1.27cm.请你计

算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点8处时，击球高度04的值（乒乓球大小忽略不计）.

13.（2024•赤峰・中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行

了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1,人从点4处沿水滑道下滑至点4处腌空飞出后落

入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为），轴，。为坐标原点，建立平面直角

坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测显和调查得到的

数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.

图I图2

（1）如图1，点8与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为:米，点C到点8的水平距离为3

O

米，则水滑道AC6所在抛物线的解析式为；

（2）如图1,腾空点8与对面水池边缘的水平距离。石二12米，人腾空后的落点。与水池边缘的安全距离OE

不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线8。恰好与抛物线关于点3成中心对称.

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线8。的解析式；

②此人腾空飞出后的落点。是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距

地面4米的点M处竖直支撑的钢架M/V,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架现在需要在水滑

道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与3仞平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢

架WN上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.

14.（2025•内蒙古•中考真题）问题背景：

综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示.

如图1,装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线。，中间的矩形48co和下方的抛物线右组成.抛

物线。的高度为8cm,矩形4BCZ）的边AB=8cm,8c=6cm,抛物线4的高度为4cm.在装置内部安装矩

形电子显示屏EF6”，点E,尸在抛物线4上，点〃，G在抛物线乙上.

图I

如图2,该小组以矩形ABC。的顶点A为原点，以A8边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为〉轴.建

立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：

图2

(1)直接写出B,C,。三点的坐标;

(2)直接写出抛物线4和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线右和0的函数表达式；

(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要石”边的长为15cm,求此时EF边的长.

15.(2023.包头•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=-丁+3)+1交)，轴于点A,直线y=-gx+2

交抛物线于比C两点(点8在点C的左侧)，交)'轴于点。，交汇轴于点E.

⑴求点。，旦C的坐标；

(2)/是线段OE上一点(。/《石尸)，连接人尸。凡。八且A产十Q'2=21.

①求证：△£＞也是直角三角形；

②/OR?的平分线“K交线段OC于点K,P是直线上方抛物线上一动点，当3tanNPFK=l时，求点P的

坐标.

16.（2023・赤峰・中考真题）定义：在平面直角坐标系xOv中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且

.点、N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

图①图②

（1）如图①,矩形ABCD的顶点坐标分别是A（-l,2）,8（-1,-1）,C（3,-l）,。（3,2）,在点陷（1,1）,%（2,2）,

加3（3,3）中，是矩形48CZT梦之点”的是；

（2）点G（2,2）是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”〃的坐标是

，直线G”的解析式是为=.当）1＞上时，工的取值范围是.

（3）如图②，已知点A,3是抛物线丁=-：/+x+3上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC,AB,

BC,判断VABC的形状，并说明理由.

17.（2023•呼市・中考真题）探究函数），=-2|厂+4凶的图象和性质，探究过程如下：

期图2

（1）自变量X的取值范围是全体实数，X与）'的几组对应值列表如下

_53_1_35

XL-2-1012L

~2~2~2222

_53333_5

yL0m020L

~22222~2

其中，/〃=.根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

⑵点尸是函数产一2时+4国图象上的一动点，点4（2,0）,点B（-2,0）,当=3时，请直接写出所有

满足条件的点”的坐标；

（3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线>，=-2/+4*交工轴于。，A两点（点。在点A的左边），

点P是点Q（l，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行）'轴的直线/分别交线段OP,A"（不含端点）于M,N

两点.当直线/与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请

说明理由.

18.（2023・通辽,中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线产加+（+。（g0）与x轴交于点41,0）和

点B,与），轴交于点C（0,T）.

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）P是抛物线上一动点（不与点A,B,。重合），作叨J_x轴，垂足为D,连接PC.

①如图，若点。在第三象限，且tan/CP£>=2,求点P的坐标；

②直线PO交直线8c