2023-2025年浙江中考数学试题分类汇编：几何压轴（解析版）

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专题08几何压轴题

考点01选择题

1.(2024.浙江•中考真题)如图，在彤1BCD中，AC,8。相交于点O,AC=2,BD=2g.过点A作AE1BC

的垂线交BC于点，记BE长为x,8。长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是()

A.x+yB.x-yC.xyD.x24-y2

【答案】C

【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点。作DFLBC交

8C的延长线于点F,证明△力8E三△DCF(AAS),得到AE=BE=CF=%,由勾股定理可得，AE2=4-

(y-x)2,DF2=12-(y+x)2,Ijlij4-(y-x)2=12-(y+x)2,整理后即可得到答案.

【详解】解：过点。作交8。的延长线于点F,

VXE±BC的垂线交丁点E,

：,LAEB=Z.DFC=90°,

,/四边形/8CD是平行四边形,

：,AB=DC,AB||CD,

C.LABE=乙DCF,

：.LABE三△DCF(AAS)

.'.AE=BE=CF=x,

由勾股定理可得，4E2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE)2=4-(y-x)2,

DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2-(BC+BE)2=12—(y+x)2,

A4-(y-x)2=12-(y+x)2,

(y+x)2-(y-%)2=8

22

:.x+2xy+y2_y2+2xy-x=8

即4xy=8,解得xy=2,

・••当x,y的值发生变化时，代数式的值不变的是孙，

故选：C

2.(2023・浙江绍兴•中考真题)如图，正方形4BCD中，48=3,点E在边4D上，DE=2AE,尸是BE的中

点，点，在CD边上，Z-EFH=45°,贝IJ的长为().

A3V1003^5>/562V10

A.-------o・V-D・--------

4243

【答案】C

【分析】首先过点B作BNIIFH,连接数ENFN、，延长DC到点G,使CG=AE,连接BG,根捱DEFH=45。

可得1NBG=45。，利用SAS可证△ABEDACBG,再利用SAS可证△EBNEl△GBN,从而可得EN=NG,

利用勾股定理可得DN=CN=|,利用梯形中位线定理可以求出FN=:根据BN||FH可证△FHN]△BNC,

根据相似三角形对应边成比例可以求出FH的值.

【详解】解：如下图所示，过点B作BNIIFH,连接数EN、FN,延长DC到点G,使CG=AE,连接BG,

P

•••匹边形ABCD是正方形，AB=3,

:.AD=CD=BC=AB=3,匚ABC=90°,

•••DE=2AE,

:.DE=2,AE=1,

BE=>/AE2+AB2=/IO,

vDEFH=45°,BNQFH,

E1EBN=E1EFH=45。，

:.CABE4-「NBC=45。，

(AE=CG

在么ABE^ACBG中=CBCG=90。，

(AB=BC

•••△ABE△CBG»

•••匚ABE=CBG,BE=BG,

:.CGBN=DCBG+CNBC=匚ABE+DNBC=45°,

EiEBN=DNBG,

BE=BG

在么GBN中E1EBN=DNBG,

BN=BN

.•.△EBNDAGBN,

:.EN=NG,

设NC=x,则DN=3-x,EN=NG=x4-1,

在RtaEDN中，ED2+DN2=EN2,

22+(3-x)2=(1+x)2,

解得：x=p

DN=CN=I，

:.BN=VBC2+CN2=J32+(|)2=|V5,

•••点N是CD的中点，

FN是梯形EBCD的中位线，

FN=；(ED+BC)=|(2+3)=|,FNH=90°,

•••FHE1BN,

•••DFHN=UBNC,

X-.CFNH=OBCN=90°,

FHNABNC,

1--N

B5C

-

2

_

,

3

FH5

4-V5

故迄c

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯

形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键.

3.（2023•浙江绍兴•中考真题）如图，在中，。是边上的点（不与点B,3重合）.过点。作。£||AB

交4C干点E：过点。作OFIMC交干点F.N是线段8F上的点，BN=2NF：M是线段OE上的点，OM=

2ME.若已知ZiCMN的面积，则一定能求出（）

A.的面枳B.的面积

C.ZiBCN的面积D.△OCE的面积

【答案】D

【分析】如图所示，连接ND,证明AFBD八EDC,得出黑=瞿，由已知得出黑=骼则当=黑，又C1NFD=

EDECMEDEECMF

MEC,则aNFD〜^MEC,进而得出匚MCD=[iNDB,可得MCIIND,结合题意得出S^MC=内必卜忙=

EMNC，即可求解・

【详解】解：如图所示，连接ND,

E

HD

DEIIAB,DFQAC,

AEECD=DFDB,DFBD=DEDC,Z1BFD=DA,CA=DEC.

AAFBDYEDC,DNFD=OMEC.

.FB_FD

**ro-EC*

VDM=2ME,BN=2NF,

ANF=|BF,ME=1DE

.NF_BE

**ME-DE,

.FD_NF

••记—ME'

XVLNFD=匚MEC,

AANFD-AMEC.

・••匚ECM=CFDN.

•・•匚FDB=DECD

/.MCD=nNDB.

AMCIIND.

•'•SAMNC=SAMDC.

VDM=2ME,

•'SAEMC=\S&DMC=^SAMNC.

*,SADCE=S&EMC+SADMC»

：•SADCE=\SWNC+^AMNC=IS^MNC•

故选：D.

【点睛】本题考查J'相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性

质，等面积转换.

4.（2023♦浙江金华・中考真题）如图，在Rtz\4BGf,Z.ACB=90°,以其三边为边在4B的同侧作三个正方

形，点尸在G”上，CG与EF交于点P,CM与8E交于点Q.若HF=FG,则固边形PCQE的值是（）

S正方形/1BEF

G

E

AB

A.-B.-C.—D.—

451225

【答案】B

【分析】设HF=FG=a,正方形ACGH的边长为2a,证明taiUHAF=tanZGFP,先后求得GP=；a,PC=；a,

BC=a,利用三角形面积公式求得SABCQ=#，证明Rt△BQC-Rt△BPE,求得S.EP=S四边形CQ「P=

a2,据此求解即可.

【详解】解：:四边形ACGH是正方形，且HF=FG,

设HF=FG=a,则AC=CG=GH=AH=2a,

•・•四边形ABEF是正方形，

ACAFP=90°,

ACHAF=900-DHFA=DGFP.

/.tanIZHAF=tanrGFP,即空=叱=L

HAFG2

AGP=la,

/.PC=2a—

同理tanHAF=tanCAB,即步=与=：，

HAAC2

BC=a,

同理CQ=：a,

・・・PB=；a,

2

222

BQ=a+a)=泞，SABCQ=xax=^a,

VRtABQC-RtABPE,

...2=(留Y=第

SABEPVBP；和25

••SABEP=5SARCQ=：a~,

••S四边形CQEP=S^BEP—S^BCQ=a-，

•；S正方形ABEF=AB?=AC2+BC2=（2a）2+a2=5a2,

・边形PCQE_a2_I

S正方形ABEF5a25

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用

参数构建方程解决问题.

考点02解答题

1.（2025•浙江•中考真题）在菱形叱CD中,AB=5,AC=8.

（1）如图1,求sin484c的值.

（2）如图2,E是40延长线上的一点，连接8E,作△/BE与△48E关于宜线8E对称，EF交射线AC于点P,

连接8P.

①当EF1AC时，求4E的长.

②求PA-PB的最小值.

【答案】（叫

⑵①11；

【分析】（1）先根据菱形的性质可得AC_LBC,OA=；AC=4,再根据勾股定理可得OB=3,然后根据正

弦的定义求解即可得；

（2）①连接BD,设AC,BD交于点O,同理求出OB=3,则BD=6；证明EFIIBD,得到□DBE=LJFEB,

由轴对称的性质可得,AEB=UFEB,则匚DEB=EJDBE,据此可得DE=DB=6,即可得到AE=AD+

DE=11；

②由勾股定理得PB=JOB?十OP，=A/OP'十9根据PA=OA+OP=4+OP,可求出PA-PB=4—

f；'根叱鼠＞。，可推出当。P有最小值时，OP+师彳有最小值，即此时亦能有最大

值，即当0P有最小值时,PA-PB有最小值;过点B作BH1AD于H,BT1FE于T,由等面积法可得BH=?

则由轴对称的性质可得BT=BH=?,由勾股定理得OP=闹二手，则当PB有最小值时，0P有最小值,

由垂线段最短可知BPZBT=苫，故当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为?，据此求解即可.

【详解】（1）解：如图1,设AC,BD交于点O,

图1

•・•在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,

AAC1BC,OA=|AC=4,

AOB=VAB2-0A2=3,

DA「

...sin.Z1BAC=—OB=-3：

AD）

（2）解：①如图所示，连接BD,设AC,BD交于点0,

•・•四边形ABCD是菱形，

/-AC1BD,OA=iAC=4,BD=2OB.AD=AB=5,

AOB=VAB2-OA2=V52-42=3,

ABD=6；

VEF1AC,AC1BD,

AEF||BD,

ACDBE=DFEB,

由轴对称的性质可得AEB=LFEB,

・•・[DEB=EDBE,

ADE=DB=6,

AAE=AD+DE=11：

②在Rt^BOP中，由勾股定理得PB=JOB?+OP2=/OP2+9

•••PA=OA+OP=4+OP,

APA-PB=4+OP-VOP2+9

(OP-V0P2+9)(OP+.OP2+9)

OP+VOP1^

OP2-OP2-9

=4H-----------.

OP+VOP2+9

=4-

OP+JOp2+9'

9

・.・要使PA-PB的值最小’则要最大,

AOP+Jop2+9要有最小值,

乂・・•Jop2+9的值随着OP的值增大而增大,

AOP+/OP?+9的值随着OP的值增大而增大,

・••当0P有最小值时，OP+Jop2+9有最小值,即此时一修=有最大值,

OP+VOP2+9

・••当OP有最小值时，PA-PB有最小值；

如图所示，过点B作BHJ.AD于H,BTJLFE于T,

E

・•・由轴对称的性质可得BT=BH=”,

在Rt^POB中，由勾股定理得OP=JPB?-OB?=JPB?-32,

・••当PB有最小值时，OP有最小值,

由垂线段最短可知BP>BT=p

・•・当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为日，

・'•0P加小侦=J囹-3?=啜

.zAA93V39-4

・・(PnA-PB)最小值=4-.

55

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，

解(2)的关键在于把求出PA-PB的最小值转换成求出0P的最小值，进而转换成求出PB的最小值.

2.(2023・浙江绍兴・中考真题)如图，在矩形ABCD中，48=4,BC=8,点E是边AD上的动点，连结CE,

以CE为边作矩形CEFG(点。，G在CE的同侧)，且CE=2E",连结8尸.

(1)如图1,当点£为人。边的中点时，点&E,尸在同一直线上，求BF的长.

(2)如图2,若乙8CE=30。，设CE与Br交于点K.求证：BK=FK

(3)在点E的运动过程中，8尸的长是否存在最大(小)值？若存在，求出B尸的最值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴6加

⑵见解析

(3)存在，最小值?，最大值2例

【分析】(1)当点E在AD的中点时可得AB=AD=ED=DC=4,则△ABE和△EFD是等腰直角三角形，

分别求出BE和EF的长，然后根据线段的和差即可解答：

(2)如图：过B作BK1EC交EC亍M,由匚BCE=30。可得BM=：BC=4=AB,即可得到Rt△ABE三Rl△

BKE(HL)得到DAEB=UBEM=UCBE,推出BC=CE,再由CE=2EF得到BM=EF,最后证明△BHK三

△FEK,然后根据全等三角形的性质即可证明结论；

(3)如图：过点F作AB的垂线，交AB延长线于点M,过点E作AB的平行线交BC于点N,交MF于点P.设

AE=x,BF=y.然后证明△PEF〜△NCE可得PF=2,PE=4-1x,根据勾股定理可得BF?=MB2+MF2,

进而得到y2=:《-27+*，然后根据二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：•・•矩形ABCD中，AB=4,BC=8,

AAB=CD=4,BC=AD=8,DA=OADC=90°,ADDBC,

•・,点E在AD的中点

AAB=AE=ED=DC=4,

/.BE=CE=4V2,CAEB=45°,

•・,点B、E、F在同一直线上，

・•・[AEB=EFED=45°,

VDF=90°

AED=4=V2EF,

AEF=2A/2,

・・・BF=BE+EF=6&.

(2)证明：如图：过B作BH1EC交EC于H,

B

VADUBC,

・•・[BCE=DCED,匚AEB=DCBE,

VCBCE=30°,

・・・BH=；BC=4=AB,DBCE=DCED=30°,

VBE=BE

ARt△ABE=RIABEH(HL),

AEB=BEH,

・•・AEB=CBEH=DCBE,

ABC=CE,

VCE=2EF,

・・・EF=；CE=；BC=BH,

•••EFEC=[BHE=90°,DEKF=CHKB,

.•.△BHKWAFEK(AAS),

ABK=FK.

(3)解：存在，BF的最小值华，最大值2回.

如图：过点F作AB的垂线，交AB延长线于点M,过点E作AB的平行线交BC于点N,交MF于点P.则

设AE=x,BF=y.

•・・四边形ABCD和四边形EFGC都是矩形，

CFPE=匚ENC=DFEC=90°,

・•・DPEF+EPFE=90°,EPEF+匚NEC=90°,

.,.□PFE=UNEC,

•・・「FPE=DENC=90°,

PEF-ANCE,

bFE_PF_PEBMI_PF_PE

ECENNC248-x

二PF=2,PE=4-；X,

・••在RtABMF中,BF2=MB2+MF2,

即『=(4+4-；x)+(2+x>=泞-4x+68=：(x-g)+斗，

当xg时，y有最小值为

v0<x<8,

・•・当x=8时，y有最大值为2例,

・•・在点E的运动过程中，BF的长存在最小值芋，最大值2啰.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、

二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

3.(2023•浙江衢州•中考真题)妇图1,点。为矩形ABCD的对称中心，AB=4,4D=8,点E为4。边上一

点(OV4E<3),连接E。并延长，交BC于点、F,四边形48/E与片夕FE关于E/所在直线成轴对称，线段8午

交4。边于点G.

(1)求证：GE=GF；

(2)当4E=2DG时,求4E的长；

⑶令/E=a,DG=b.

①求证：(4—a)(4—b)=4；

②如图2,连接。夕，OD,分别交工。，夕尸丁点”，K.记四边形。KG"的面积为Si，A0GK的面积为SzU=1

时，求金的值.

52

【答案】(1)见解析

(2)6-2V3

⑶①见解析；②段=£

【分析】(1)根据轴对称和矩形的性质，证明□GEF=「GFE,即可解答:

（2）过点G作GH1BC于H,设DG=x,则AE=2x,求得GE=GF=8-3x,再利用勾股定理，列方程即

可解答：

（3）①过点0作OQJLAD尸Q,连接OA,OD,OG,证明△GOQ~^OEQ,可得黑=点，得到GQ•EQ=4,

OvEQ

即可解答；

②连接B'D,OG,OB,证明ADOG三ABOG,进而证明aDGK三△BGH,进而证明△OGK三/iOGH,可得

在=生管，再证明△OKF-DKB^EGFMDGB',得到黑=黑，再得到金=鬻=熬=*最后根

02UKDu>DKH。JD

据①中结论，即可解答.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABCD为矩形，

AADDBC,

匚GEF=DEFB,

•••匹边形ABFE与A'B,FE关于EF所在直线成轴对•称，

•••LBFE=LEFG,

•••DGEF=E1EFG,

GE=GF；

（2）解：如图，过点G作GH_LBC于H,

设设DG=x,则AE=2x,

AEG=8_3x=GF,

•••DGHC=DC=DD=90°,

•••匹边形GHCD为矩形，

CH=DC=4,

•••点O为矩形ABCD的对称中心，

:.AE=CF=2x,

FH=FC-CH=x,

在Rt^GHF中，GF2=FH2+GH2,

可得方程（8-3x）2=x?+42,

解得乂］=3-75汴2=3-75（此时人£>人口，故舍去o）,

AE=2x=6-2>/3；

A'

（3）解：①证明：过点0作0Q1AD于Q,连接OA,OD,OG,

•••点0为矩形ABCD的对称中心,

:.OE=OF,OA=OD,OQ=]AB=2,

•••GE=GF,

•••GO±EF，

EGOQ=90°-QEOQ=DQEO,

vDOQE=0600=90°,

GOQ-AOEQ,

.,喘=鲁，即GQ.EQ=OQ2=4,

AEQ=AQ-AE=4-a,GQ=DQ-GD=4-b,

•••(4-a)(4-b)=4；

②如图，连接B'D,OG,OB,

由题意可得BF=B'F,

.•点O为矩形ABCD的对称中心,

...BF=BF=ED,

同理可得OD=OB=OB',

由(1)知GF=GE,

BF-GF=DE-GE,

即BG=DG,

OG=OG,

.••△DOG"BOG(SSS),

•••DODG=EOBG,

••DG=BG,匚DGK=CBGH,

.-.△DGK^ABGH(ASA),

DK=B'H,GK=GH,

•••OD-DK=OB-B,H,

即OK=OH,

OG=OG,

.-.△OGK^AOGH(SSS),

二SAOGK=SAOGH，

S|=2SA0GK»

.S|_2SAQGK

•飞-s2,

•••匚EGF=[DGB',GE=GF,GD=GB',

:.DGEF=UGFE=DGDB'=UGBD,

OKOF

:.—=

DKBD

..SAOGK_OK

S2BD

Si2OK2OFEF

：•~=......­.=ry

S2DKBDBD

EGFDGB，

EF_GE

»•»，

BDGD

当a=l时，由①可得(4—1)(4—b)=4,

解得b=I，

AE=1,DG=p

:，GE=AD-AE-DG=:

3

S|EFGE13

:.-=-r--=—.

S2BDGD8

【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键.

4.（2023・浙江湖州•中考真题）【特例感知】

（1）如图1，在正方形力BCD中，点夕在边力8的延长线上，连接尸D,过点。作。M_LP。，交的延长线

于点求证：△O4P三△OCM.

【变式求异】

（2）如图2,在RtaABC中，2ABe=90。，点。在边上，过点短作。Q1AB,交4c于点。，点?在边

48的延长线上，连接PQ,过点。作QM1PQ,交射线8c于点M.已知8c=8,AC=10,AD=2DB,求

鄙值•

【拓展应用】

（3）如图3,在RtA/lBC中，484。=90。，点P在边48的延长线上，点Q在边AC上（不与点4C重合），

连接PQ，以。为顶点作上PQM=/PBC,乙PQM的边QM交射线BC于点M.若AC=CQ=nAC（加,

〃是常数），求兽的值（用含〃?，〃的代数式表示）.

【答案】（1）见解析；（2）：；（3）—

3n

【分析】（1）根据ASA证明△DAPCJ^DCM即可;

(2)证明△DQPD△NQM,得出黑=黑=珞根据勾股定理AB=JAC?-BC?=6,根据DQ||BC,得

QMQNDB

出AADQDAABC,求出囚=>=3得出DQ=g,求出.噎=*

(3)BC=7AB2+AC2=V1+m2AB,作QN1BC于点N,证明△QAPDAQNM,得出昙二黑.证明△

QMNQ

QCNJABCA,得出黑=第=月匚=2，求出得=怒=口行不需.

BACBJl+m2ABVl+m2QMNQn

【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，

□A=EADC=DBCD=90°,AD=DC,

/.□A=匚DCM=90°,

VDM1PD,

・•・ADP+PDC=CDM+CPDC=90°,

ADADP=ECDM,

A△DAPJ△DCM(ASA).

(2)如图1,作QN1BC于点N,如图所示:

VCABC=90°,DQ1AB,

，四边形DBNQ是矩形，

/.CDQN=90°,QN=DB,

VQM1PQ,

・•・匚DQP+DPQN=CMQN+EiPQN=90°,

・•.DQP=MQN,

VCQDP=DQNM=90°,

/.ADQPOANQM,

.PQ=DQ_DQ

,•QM-QN-DB'

VBC=8,AC=10,匚ABC=9。。，

/.AB=VAC2-BC2=6,

VAD=2DB,

ADB=2,

•・・1ADQ=匚人8©=90。，

ADQIIBC,

.*.△ADQJ△ABC,

.E-Q_AD_2

••,

BCAB3

.\DQ=p

-12221

**QM=DB=3'

(3)VAC=mAB,CO=nAC，

ACQ=mnAB,

/.AQ=AC-CQ=(m—mn)AB.

,.,□BAC=90°,

:.BC=VAB2+AC2=V1+m2AB,

如图2,作QN_LBC于点N,

图2

.,□A4-EABN+CBNQ+□AQN=360°,

\QABN+LAQN=180°,

\3AQN=匚PBN.

/□PQM=CPBC,

,.□PQM=DAQN,

•・AQP=NQM,

/□A=DQNM=90°,

,.AQAPQAQNM,

.FQ_AQ

*QM-NQ,

/□A=DQNC=900,□QCN=匚BCA,

△QCN△BCA,

.QN_CQ_mnAB_mn

日ACBJ|+m2ABJ1+m~

\QN=-^=AB

【力、哨】本题主要考查了二角形全等和二角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线

的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

5.（2023•浙江台州•中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直

线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，力8是。。的直径，直线I是。。的切线，8为切点.P,Q是圆上两

点（不与点4重合，且在直径88的同侧），分别作射线8P,4Q交直线［于点C,点D.

（1）如图1,当48=6,8P的长为n时，求BC的长.

（2）如图2,当,=:"=时时,求器的值.

⑶如图3,当sin乙BAQ=与,8C=CD时，连接8P,PQ,直接写卜唱的值.

【答案】（1）26

◎呼

【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出DBOP度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC的长.

（2）根据等弧所对圆周角相等推出匚BAC=UDAC,再根据角平分线的性质定理推出CF=CB,利用直角

三角形的性质即可求出DFCD=CBAQ,通过等量转化和余弦值可求出答案.

⑶根据三角形相似的性质证明4APQ〜AADC和AAPB〜ZiABC,从而推出梁=之和瞿=三，利用已

CDADBCAB

知条件将两个比例线段相除，根据正弦值即可求出答案

【详解】（1）解：如图I,连接0P，设〔BOP的度数为n.

♦••AB=6,BP的长为兀,

—nn-3=n.

180

n=60,gPDBOP=60°.

•••□BAP=-DBOP=30°.

2

•••直线1是GO的切线，

:.CABC=90°.

・・・BC=*2"

(2)解：如图2,连接BQ,过点C作CF_LAD于点F,

:.匚BQA=90°.

•••cosBAQ=玛=

R1544

V即=PQ,

EBAC=DDAC.

vCF1AD,AB1BC,

CF=CB.

BAQ+E1ADB=90"，□FCD+DADB=90”,

FCD=BAQ.

谓=^=cosFCD=cosBAQ.

⑶解：乎理由如下:

如图3,连接BQ,

■:AB1BC,BQ1AD,

匚ABQ+OBAD=90°,QADB+LBAD=90°,

:.匚ABQ=DADC,

vABQ=DAPQ,

[APQ=DADC.

•••EPAQ=DCAD,

APQADC,

的=".①

CDADJ

•••匚BAP=LBAC,DABC=OAPB=90°,

•••△APB〜△ABC,

.•.史=把.②

BCABJ

VBC=CD,

二一□得，—=—=

BPADcosEBAQy.

•••sin匚BAQ=4，

4

•••cos□BAQ=乎.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及三角函数、

切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关

计葬公式.

6.（2023•浙江温州・中考真题）如图1MB为半圆。的直径,C为84延长线上一点，CD切半圆于点D,BE1CD,

交CD延长线于点E,交半圆于点凡已知。4C=1.如图2,连接AF,P为线段AF上一点，过点P作8C

的平行线分别交CE,BE于点M,N,过点P作PH14R于点，.设PH=x,MN=y.

图I图2

⑴求CE的长和y关『工的函数表达式.

（2）当PHVPN,且长度分别等于PH,PN,a的三条线段组成的三角形与ABCE相似时，求a的值.

（3）延长PN交半圆0于点Q,当NQ=B%-3时，求MN的长.

【答案】（1）CE=Sy=-*+4

（2心或2或竺

所

【分析】（I）如图1,连接OD,根据切线的性质得出OD1CE,证明ODBE,得出井=,，即可得出CE=?

CbCo3

证明四边形APMC是平行四边形，得出翌二斐，代入数据可得y=-^x+4；

BCCh12

（2）根据△BCE三边之比为3:4:5,可分为三种情况.当PH:PN=3:5时，当PH:PN=4:5时，当PH:PN=3:4

时，分别列出比例式，进而即可求解.

（3）连接AQ,BQ,过点Q作QG_LAB于点G,根据tanBQG=tanQQAB=^=p得出BG=：QG=gx,

由AB=AG+BG=gx=3,可得x=看，代入（1）中解析式，即可求解.

【详解】（1）解：如图1,连接0D.

图I

•；CD切半圆0于点D,

A0D1CE.

V0A=PAC=1，

/.oc=p

ACD=2.

VBE1CE,

AODEBE,

,CD_CO

**CE-CB*

如图2,AFB=DE=90。,

AAF||CE.

图2

VMN||CB,

J四边形APMC是平行四边形,

ACM=PA=白

SinI

（2）YPN=y-1=-.x+3,PH<PN,△BCE三边之比为3:4:5（如图2）,

・・・可分为三种情况.

i）当PH:PN=3:5时，

PN=|PH,-^x+3=|x,

解得x=p

ii）当PH:PN=4:5时,

PN=>H,-/+3=2

解得x=高

・327

..a=-x=—.

440

iii）当PH:PN=3:4时，

PN=jPH,一/+3=卜,

解得x=J

41

（3）如图3,连接AQ,BQ,过点Q作QG1AB十点G,

图3

则_AQB=AGQ=90°,QG=PH=x,

/.CQAB=EBQG.

1525

VNQ=-3,PN=y-1=-^x+3,

.\HG=PQ=NQ+PN=jx.

VAH=jx,

/.AG=AH+HG=3x,

tanEBQG=tanQAB=r-=

/.BG=:QG=1x,

»J

109

AB=AG+BG=—x=3»x=—,

310

.**>=+4=即MN的长为

12XX

【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作

出辅助线是解题的关键.

7.(2023•浙江宁波・中考真题)如图1,锐角△48C内接于。。，。为8C的中点，连接4。并延长交。。于

点E,连接BE,CE,过。作AC的垂线交力E于点F,点G在AD上，连接8G,CG,若BC平分/E8G且4BCG=LAFC.

(1)求NBGC的度数.

(2)①求证：AF=BC.

②若4G=DF,求tan/GBC的值，

(3)如图2,当点。恰好在8G上且。G=1时，求4c的长.

【答案】(1)90。

(2)①证明见解析；②taEGBC=9；

(3呼

【分析】(1)先证明GBC=EAC,结合LIEAC+CAFC=90°,DBCG=DAFC,可得nGBC+LGCB=90°,

从而可得答案；

(2)①证明DG=DB=DC,再证明△GBCSACAF,可得BC=AF；②设GC=CF=x,CD=BD=GD=

a,证明△GCDs^GFC,可得GC?=GF・GD,即CG2=*,则BG2=BC?—CG?=4a2一相=浓，可

得tan2^GBC=^=],从而可得答案；

(3)解法一：如图，设OO的半径为r,连接OC交AE于N,过O作OM1BE于M,证明OCE1BE,△EBD三4NCD,

可得BE=CN,证明ACOG三aOBM,可得BM=OG=1,CN=BE=2BM=2,证明AGONSAGBE,

*=警，即』=『再解方程可得答案.

GBBLr+12

解法二：如图，延长BG,分别交AC、。0于乂、N,连接CN.先证MA=MG,再证口乂(2«2=口01\4(2,

则可得CM=CO=r.根据等腰三角形三线合一，可得OG=MG,由此可得MA=MG=OG=1.由4

CAFAGBC,可得AC=BG=r+l.再证△ABMJANCM.则可得BM•MN=AM•CM,即（r+2）（i•一

2）=1-r,解出r的值，即可求出AC的长.

【详解】（1）证明：:Be平分DEBG,

ACGBC=匚EBC,

VDEBC=DEAC,

ADGBC=匚EAC,

VDACF=90°,

・・・[EAC+匚AFC=90。，

VCBCG=EAFC,

・••匚GBC+匚GCB=90。，

JCBGC=90°；

(2)①・.・D为BC中点.HBGC=90°.

/.DG=DB=DC>

ACDGC=CBCG,

VCBCG=EAFC,

ACAFC=匚DGC,

ACF=CG,

■:BGC=CACF=90°,OCBG=FAC,

••AGBC=△CAF,

/.BC=AF；

②设GC=CF=x,CD=BD=GD=a,

BC=AF=2a»AG=DF=^a,

V[AFC=匚BCG,DCGD=CCGF,

AGCDsxGFC,

.・£=券，即GC?=GF-GD,

GFGC

x2=(a+a)-a=1a2»BPCG2=^a2»

ABG2=BC2-CG2=4a2-；a2=；a2,

22

«.7LCkGC23

..tairGBC=—7=1

AtanJGBC==当(负根舍去)；

(3)解法一：如图，设OO的半径为r,连接0C交AE于N,过。作0M1BEfM,

VOB=OC,

.'.□CBE=匚OBC=DOCB,

AOCZBE,

VBD=CD,DBDE=CCDN,

.,.△EBD^ANCD,

ABE=CN,

VOCBE,

/.[GOC=COBM,而匚OGC=二0乂8=90°,OC=OB,

/.ACOG=△OBM,

ABM=OG=1,

VOM1BE,

ACN=BE=2BM=2,

VOCBE,

AGON-AGBE,

,COONnnIr-2

GBBEr+l2

解得：口二子，（负根舍去），

由（2）①知aACF三ZiBGC,

AC=BG=r+I="V".

解法二：如图，延长BG,分别交AC、0。于乂、N,连接CN,

"VDB=DG,

•••DDBG=DDGB.

又EDBG=LJCAG,DBGD=EAGM,

:.DCAG=DAGM,

•••MA=MG.

vOB=OC,

:.COBC=DOCB,

•••EMOC=LOBC+EOCB=2DOBC.

乂COMC=匚AGM+DCAG=2JCAG,

匚MOC=LOMC,

:.CM=CO=r.

又♦•CG1OM,

:.OG=MG,:.MA=MG=OG=1.

•••△CAF3AGBC,

:.AC=BG=r4-1.

•••EBAM=CBNC,CABM=CACN,

.*.△ABMJANCM,

:.-A-M=-B-M-,

MNCM

/.BMMN=AMCM,

即(r+2)(r-2)=1-r,

得r2-r-4=0,

解得：口=?，(负根舍去)，

・八八,i3+m

..AC=r4-1=——

【点睛】本题考杳的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理

的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

8.(2023•浙江嘉兴・中考真题)已知,48是半径为1的。。的弦，。。的另一条弦CD满足CD月.CD

于点〃(其中点〃在圆内，且力CH>DH).

图1图2

(1)在图1中用尺规作出弦CO与点〃(不写作法，保留作图痕迹).

⑵连结40,猜想，当弦力8的长度发牛变化时，线段力。的长度星否变化？若发牛变化，说明理由：若不变，

求出4。的长度；

(3)如图2,延长至点F,使得“尸=力，，连结CF,4例下的平分线CP交AD的延长线于点尸，点M为4P的

中点，连结HM,若PD=：4D.求证：MH1CP.

【答案】(1)作图见解析

(2)线段AD是定长，长度不发生变化，值为加

(3)证明见解析

【分析】(I)以A,B为圆心，大于!AB长为半径画弧，交点为G,连接OG,与OO交点为E,F,与AB交

点为M,则OGJ.AB,分别以E,F为圆心，大于|EF长为半径画弧，交点为N,连接ON,则ON|AB,以O为

圆心，OM长为半径画弧与ON交点为P,则OP=OM,以P为圆心，OP长为半径画弧，交直线ON于Q,以O,Q

为圆心，大于gOQ长为半径画弧，交点为R,连接PR,则PRJLAB,PR与。0交点为C,D,与AB交点为H,

即CD、点H即为所求；

(2)如图2,连结AD,连接DO并延长交。0于E,连结AE,AC,过O作OF1.AB于F,ONJ.CD于N,证

明四边形OFHN是正方形，则可■证AACH是等腰直角三角形，则DC=45。，由KD=AD,可知DE=DC=45。,

由DE是。0的直径，可得DEAD=90。，则△ADE是等腰直角三角形，AD=DE-sinDE=V2：

⑶如图3,延长CD、FP,交点为G,由题意知乂14是4APF的中位线，则MHIIPF,MH=；PF,由PD=：AD,

可得MD=：PD,证明AMDHbAPDG,贝即GP=2MH=PF,如图3,作△CFG的外接圆，

2GPPD2

延长CP交外接圆于点N,连结GN、FN,由CP是（Z1HCF的平分线，可得GCP=FCP,则GN=NF,证明

△GPN三△FPN（SSS）,则EIGPN=EIFPN=9O。,即PF1CP,由MHIIPF,可得MH1CP,进而结论得证.

【详解】（1）解：如图1,CD、点H即为所求；

图1

（2）当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度不变；

如图2,连结AD,连接DO并延长交于E,连结AE,AC,过0作OF_LAB于F,01^_1,©口于\,则四边形

OFHN是矩形.

*AB=CD,