2023-2025年山东中考数学试题分类汇编：一元一次方程与二元一次方程组（解析版）

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专题05一元一次方程与二元一次方程组

考点01解一元一次方程

1.(2023•山东枣庄•中考真题)对于任意实数a,b,定义一种新运算：例如:

a+b-6(a<2b)

3X1=37=2,5^4=5+4-6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

(1)4^3=,(-1)※(-3)=；

(2)若(3x+2)※。-1)=5,求*的值.

【答案】(1)1;2；

(2)x=1»

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值：

(2)已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可.

【详解】(1)-.-4<3x2,

/.4^3=4+3-6=1,

v-l>(-3)x2

「.(-1)※(-3)=-1-(-3)=2；

故答案为：1;2；

(2)若3x+2N2(x-l)时，即MT时，则

(3A+2)-(x-1)=5,

解得：人=1,

若3x+2V2(x—1)时，即x<—4时，则

(3A+2)+(X-1)-6=5,

解得：x=(,不合题意，舍去，

2

「・X=1,

【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.

考点02—元一次方程的实际应用

1.（2025・山东烟台・中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；

若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为（）

A.350元B.320元C.270元D.220元

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为八.元，根据按标价的六折出售，

则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为（0.6X+10）元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得

风扇的进价为（0.9X-95）元，据此建立方程求解即可.

【详解】解：设这款风扇每台的标价为1元，

由题意得，（）.6x+l（）=（）.9x-95,

解得工二350,

・••这款风扇每台的标价为350元，

故选：A.

2.（2023・山东・中考真题）常言道：失之亳厘，谬以千里.当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，

需要非常准确的数据.I"的先真的很小.把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是

1。.1。=60'=36001若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848亳米，则其顶角的度数就是1〃.太

阳到地球的平均距离大约为1.5x108T・米.若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1〃的等腰三角形底

边长为（）

A.24.24千米B.72.72千米C.242.4千米D.727.2千米

【答案】D

【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为「的等腰三角形底边长为x亳米，根据顶角相等的

两等腰三角形相似，相似:.角形的对应边成比例，可列出方程生竺求解即可.

14.848

【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1”的等腰三角形底边长为x亳米，根据题意，

得

1.5xl08_x

~~-4.848

解得：x=7.272x10s

:.等腰三角形底边长为7.272x1（）8亳米=727.2千米.

故选：D.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用.根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换

算.

3.（2023・山东日照・中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共

买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，

会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为达可列方程为（）

A.9x+ll=6x+16B.9x—\1=6.r-16C.9.r+11=6.v—16

D.9x-ll=6x+I6

【答案】D

【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为（9x-ll）钱，根据每人出6钱，又

差16钱，可得鸡的价格为（6彳+16）钱，由此列出方程即可.

【详解】解：设人数为-

由题意得，9x-ll=6x+16,

故选D.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出•元•次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键.

4.（2023•山东临沂•中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型

平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电

脑和300元现金.

（1）这台"型平板电脑价值多少元？

（2）小敏若工作〃?天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含〃?的代数式表示）？

【答案】（I）这台M型平板电脑的价值为2100元

（2）她应获得120加元的报酬

【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为x元，根据题意，列出方程进行求解即可：

（2）根据题意，列出代数式即可.

【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为x元，由题意，得：

X+15（X）_X4-300

30-20,

解得：x=2100；

・•・这台M型平板电脑的价值为2100元；

（2）解：由题意，得：”21（乂）+1500=]20〃？；

3（）

2.（2024•山东德州•中考真题）（1）化简：1-”「明空1

m'-9〃?+3

x-y=2

（2）解方程组：2

2x+3y=12

1（x=3

【答案】（1）—T；（2）9-

m+\[y=2

【分析】（1）先计算分式除法，然后计算分式减法即可；

（2）利用加减消元法求出解即可；

此题考查了分式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法和步骤是

解题的关键.

【详解】解：（1）原式=1-7（小+3）（，〃-八3）x-"?+-1

m+\

/?z+1—m

in+l

1

=-----

加+1'

x-尹①

（2）•

2x+3），=12②

①x2得：2%-），=4③，

②-③得：4y=8,解得：），=2,

把P=2代入①得：x-：=2,解得：x=3,

[x=3

・•・二元一次方程组的解为：..

卜=2

-x-2y=3

3.（2022♦山东淄博・中考真题）解方程组：1313

—x+—y=一

[24-4

【答案】

2y=3①

【分析】整理方程组得继而根据加减消元法解二元•次方程组即可求解.

2x+3y=i3@

x-2y=3®

【详解】解：整理方程组得

2x+3y=13②

①乂2-②得—7y=-7,

把尸1代入①得x—2=3,

解得x=5,

x=5

・•・方程组的解为

），=1

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键.

4.（2022•山东聊城,中考真题）关于x,>的方程组的解中工与>的和不小于5,则Z的取

值范闹为（

A.攵28B.攵>8C.k<SD.&<8

【答案】A

【分析】由两式相减，得到x+y=Z-3,再根据X与y的和不小于5列出不等式即可求解.

【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=2-3,

根据题意得：k-3>5,

解得：女工8.

所以k的取值范围是左N8.

故选：A.

【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到/与），的和是解题的关键.

考点04二元一次方程组的应用古代问题

1.（2024・山东日照・中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条

竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一

根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各

有多长？”设绳长工尺，竿长y尺，根据题意得（）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，I托=5尺）

x-y=5x-y=5

-x-y=52x=y+5y-2x=5

2

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺：若将绳对折后再去量

竿，则绳比竿短5尺列方程组即可.

x-y=5,

【详解】解：由题意得1.

y一产

故选A.

2.（2024・山东威海・中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳

测井.若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳

子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比

井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深）'尺，则符合题意的方程组是（）

3x-y=4f3x+4=y

A.B.,

4x-y=t1[4x+l=y

x.

--y=4-+4=y

3、3

C.”D.

x.

--y=1：+i=

44

【答案】C

【分析】本题考杳二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折

测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组.正确理解题意，找准等量关系解题的关键.

【详解】解：设绳长工尺，井深）尺，

--y=4

依题意，得：

x,

——V=1

14

故选：C.

3.（2024.山东泰安•中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百

九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列

x+y=\000

出符合题意的二元一次方程组：114Me.根据已有信息，题中用“.....”表示的缺失的条件应为

—x+-y=999

[91'

（）

A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱

B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱

C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱

D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱

【答案】D

K+y=】OOO

【分析】根据114CM可得甜果苦果买一千，甜果九个一一文，苦果七个四文钱，

—x+-y=999

[91

x+y=1000

【详解】解：根据114八必，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，

—x+-y=999

19T

故选：D

【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量

关系.

4.（2018•广东广州•中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九

枚，白银一H•"一枚，称方重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？意思是：甲袋中装

有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等.两袋互

相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）.问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金

重八,两，每枚白银重y两，根据题意得（）

fllx=9y

*[（10v4-x）-（8.r+y）=l3

flOy+x=8x+y

•[9x+i3=lly

J9.r=lly

•l（8A+y）-（10y+A）=13

J9x=lly

D.|（10y+x）-（8x+y）=13

【答案】D

【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量：②（10枚白银的重量+1枚黄金的

重晟）・（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等最关系列出方程组即可.

【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两

9x=11V

由题意得：、/。A10

（l0y+x）-（8.v+y）=l3

故选D.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关

系.

考点05二元一次方程组的应用一一现代问题

1.(2025•山东烟台・中考真题)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决

定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2

盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.

(1)求甲、乙两种路灯的单价：

(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的;，请通过计算设计

一种购买方案，使所需费用最少.

【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为60元，80元

(2)购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少

【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等

式以及一次函数关系式是解题的关键；

(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为乂丁元，根据题意列出方程组，即可求解.；

(2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40-盆，列出不等式，求得加410,设购买费用为〃元，

得出〃=-20/〃+3200・进而根据•次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，元，根据题意得，

x+2y=220

3工+140=4)，

解得：｛fj,r=680

答：甲、乙两种路灯的单价分别为60,80元

(2)解：设购买甲种路灯机盏，则购买乙种路灯(4()一m)盏，根据题意得，

w<^(4()-/n)

解得：/?/<10

设购买费用为〃元，根据题意得，〃=60/〃+80(40-次)=-206+3200

V-20<0

..・行〃?取得最大值时，〃取得最小值,

・・・〃2=1014，40-/«=40-10=30（盏）〃=3000,

即购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少，

答：购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用最少.

2.（2024•山东东营•中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑

烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和8型两种车型，若购买A型公交车3辆，4型公交车1辆，

共需260万元；若购买A型公交车2辆，8型公交车3辆，共需360万元.

（1）求购买A型和〃型新能源公交车每辆各需多少万元？

（2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和10（）万人次.公司准

备购买10辆A型、4型两种新能源公交车，总费用不超过650万元.为保障该线路的年均载客总量最大，

请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值.

【答案】（1）购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买3型新能源公交车每辆需8（）万元：

（2）方案为购买A型公交车8辆，8型公交车2辆时.线路的年均载客点、品最大，最人•在客品为760万人.

【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的

数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键.

（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买6型公交车每辆需V万元，根据“购买A型公交车3辆，区型公

交车1辆，共需260万元：若购买A型公交车2辆，〃型公交车3辆，共需360万元”列出方程组解决问题即

可；

（2）设购买A型公交车〃辆，则4型公交车（10-。）辆，山“公司准备购买10辆A型、〃型两种新能源公交

车，总费用不超过650万元”列出不等式求得。的取值，再求出线路的年均载客总量为3与〃的关系式，根

据一次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需4万元，购买8型新能源公交车每辆需y万元，

由题意得：山3x++y二=23660。,

x=60

解得

y=80

答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买8型新能源公交车每辆需80万元;

（2）解：设购买A型公交车。辆.则B型公交车（10-。）辆，该线路的年均载客总量为卬万人,

由题意得60。+80（1（）-。）4650,

解得：427.5,

«<IO,

7.5^a<10,

•・•0是整数，

・・・。=8,9,10；

・•・线路的年均载客总量为卬与。的关系式为卬=70a+100（10-。）=-30。+1000,

V-30<0,

・•・”随〃的增大而减小，

・•・当4=8时，线路的年均载客总最最大，最大载客量为卬=-30x8+1（X）0=760（万人次）

A10-8=2（辆）

・••购买方案为购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大时.，且为760万人次,

3.（2023•山东青岛叶考真题）某服装店经销4,8两种7恤衫，进价和售价如卜表所不：

品名人B

进价（元/件）4560

售价（元/件）6690

（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A,B两种7恤衫共12。件，全部售完获利多少元？

（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种丁恤衫进价每件上涨了5元，8种丁恤衫进价每件上涨了10元，

但两种T恤衫的售价不变.服装后计划购进A,8两种7恤衫共150件，且8种T恤衫的购进量不超过A

种「恤衫购进量的2倍.设此次购进A种丁恤衫〃?件，两种丁恤衫全部售完可获利W元.

①请求出W与m的函数关系式；

②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由.

【答案】（1）2880元

（2）①W=T〃?+3OOO（5O金〃4150）；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析

【分析】（1）根据条件，购进47恤衫x件，购进87恤衫>件，列出方程组解出X、y值，最后求出获利

数；

（2）①根据条件,可列W=（66-45-5）,〃+（90-60-10）（150­〃），整理即可；

②由①可知，W=Tm+3（XX）（5（）"q50）,一次函数W随加的增大而减小，当〃7=50时，W取最大值计算出

来和第一次获利比较即可.

【详解】(I)解：设购进八种丁恤衫X件，购进B种丁恤衫y件，根据题意列出方程组为：

x+y=120

’45x+60y=60(X)'

,[x=80

解得心，

[y=40

全部售完获利=(66-45)x80+(90-60)x40=1680+1200=2880(元).

(2)①设第二次购进A种7恤衫■〃件，则购进8种丁恤衫(150-/〃)件，根据题意150-642m,即加之50,

W=(66-45-5)m+(90-60-10)(150-/M)=-4m+3000(50<m<\50),

②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：

由①可知，W=T"?+3000(50匕〃/150),

V-4<0,一次函数W随〃?的增大而减小，

.•.当〃[一50时，，W取最大值，W大=-4x50+3000=2800(元)，

•.•2800<2880,

二.服装店第二次获利不能超过第一次获利.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键.

4.(2023•山东泰安・中考真题)为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需

工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给

学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付

款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有

多少人？

【答案】这个学校九年级学生有300人.

【分析】设零售价为x元，批发价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为12元，然后用3600

除以零售价即可解答.

【详解】解：设零售价为x元，批发价为y元，

根据题意可得：

50x=60y

rx—12

36003600小，解得：⑺，

----=-----+60y=10

yx

[x=12

经检验⑺是原方程组的解

y=10

则学校九年级学生36(X)+12=3(X)人.

答：这个学校九年级学生有300人.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、列二元一次方程组求得零售价是解答本题的

关键.

5.(2023・山东口照•中考真题)要制作200个A,8两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为

20cm的正方体无盖木盒，8种规格是长、宽、高各为20cm,20cm,10cm的长方体无盖木盒，如图1.现有

200张规格为40cmx40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2.切割、拼接等板材损

耗忽略不计.

(1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；若使月甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种

方式切割的木板材张;

(2)咳200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A,13木盒的个数和使用甲，

乙两种方式切割的木板材张数；

(3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元.根

据市场调研，A种木盒的销售单价定为。元，3种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价

均不能低于7元，不超过18元.在(2)的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的

销售利润最大，并求出最大利润.

【答案】(1)(2007),(200-y)

(2)制作A种木盒100个，6种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50

张

(3)A种木盒的销售单价定为18元，8种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润

为1750元

【分析】(1)根据题意即可求解；

(2)根据题意可得，制作一个人种木盒需要长、宽均为20cm的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽

均为20cm的木板1个，长为10cm、宽为20cm的木板4个；甲和方式可切割长、宽均为20cm的木板4个，

乙种方式可切割长为10cm、宽为20cm的木板8个；列关系式求解即可；

（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可.

【详解】（1）解：•・•要制作200个4,B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，

故制作8种木盒（200-x）个；

•・,有200张规格为40cmx40cm佗木板材，使用甲种方式切割的木板材），张，

故使用乙种方式切割的木板材（200-），）张；

故答案为：（2（X）-x）,（2（X）-y）.

（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，

使用乙种方式切割的木板材（2（X）-y）张，则可切割出8（200-），）个长为IOc〃?、宽为20cm的木板；

设制作4种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，

制作8种木盒（2（X）-力个，则需要长、宽均为20cm的木板（2（X）r）个，需要长为10加、宽为20cm的木板

4(200-x)个;

4y=5x+(200-x)

故

8(200-y)=4(200-x)

x=IOO

解得：，

y=l50*

故制作A种木盒100个,制作8种木盒100个,

使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张,

（3）解：・・•用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种

方式切割的木板150张，使用