2021-2025全国高考数学试题汇编：空间中的平行关系（人教B版）

2021-2025全国高考真题数学汇编

空间中的平行关系（人教B版）

一、单选题

1.（2022上海高考真题）如图，正方体ABC。-中，尸、么尺S分别为棱张C。的中点，

连接A&片。，对空间任意两点M、N,若线段跖V与线段AS、片。都不相交，则称M、N两点可视，下列

选项中与点2可视的为（）

C.点RD.点3

2.（2021全国高考真题）在正方体ABCO-ABC2中，尸为瓦2的中点，则直线尸2与A，所成的角为

二、解答题

3.（2022全国高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面

A5C。是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,.FBC,GCD,均为正三角形，且它们所在的平面

都与平面垂直.

（1）证明：EF//平面ABCZ）；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

4.（2023天津高考真题）如图，在三棱台A8C-A用G中，AA，平面

ABC,AB±AC,AB=AC==2,4Q=1,M为3C中点.，N为AB的中点,

⑴求证：AN//平面AMG；

(2)求平面AMQ与平面ACC.A所成夹角的余弦值；

(3)求点C到平面AMC,的距离.

5.(2025上海高考真题)如图，尸是圆锥的顶点，。是底面圆心，A3是底面直径，且钻=2.

(1)若直线朋与圆锥底面的所成角为求圆锥的侧面积;

7T

(2)已知。是母线物的中点，点C、。在底面圆周上，且弧AC的长为CD//AB.设点M在线段OC

上，证明：直线〃平面尸80.

参考答案

1.B

【分析】根据异面直线的定义判断即可.

【详解】A选项：四边形AASP是平行四边形，AS与QP相交，故A错；

C选项：四边形〃4BO是平行四边形，RR与。瓦相交，故C错；

D选项：四边形。圈是平行四边形，与£＞与相交，故D错；

利用排除法可得选项B正确.

故选：B.

2.D

【分析】平移直线A2至BG，将直线PB与4口所成的角转化为PB与BG所成的角，解三角形即可.

如图，连接8G，PG，P8,因为A2〃8G，

所以NP8G或其补角为直线PB与A1所成的角，

因为3月，平面4耳G0,所以8B|_LPG，又尸

所以尸G，平面刊珥，所以PC—PB，

设正方体棱长为2,则BQ=2忘,Pq=~D,B,=^2,

sinNPBG=^=；,所以

oCjz6

故选：D

3.（1）证明见解析；

⑵号技

【分析】（1）分别取ABIC的中点MN,连接MV,由平面知识可知EM，AB,FN，BC,EM=FN,

依题从而可证EM_L平面ABC。，FN_L平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN,即可知四

边形EMNF为平行四边形，于是EF//MN,最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取A£»,OC中点K,L,由（1）知，该几何体的体积等于长方体MWNL-EFG//的体积加上四

棱锥3-MVFE体积的4倍，即可解出.

【详解】（1）如图所示：

G

分别取的中点M,N,连接"N,因为AE4民一冏C为全等的正三角形，所以EM，AB,FNLBC,

EM=FN,又平面E4fi_L平面ABC。，平面E4Bc平面ABCD=AB,平面E4B,所以9_L平面

ABCD,同理可得FN,平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知现f//7W,而EM=FN,所以四边形

/为平行四边形，所以EF//MN,又砂U平面ABCZ）,MNu平面ABCD,所以历//平面

ABCD.

（2）［方法一］:分割法一

如图所示：

分别取A2OC中点K,L,由（1）知，EF//MNZ.EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知识可知，BDLMN,MNLMK,

KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体KMVL-EFGH的体积加上四棱锥3-MVFB体积

的4倍.

因为肱V=NL=LK=©W=4应，EM=8sin60=4括，点B到平面ACVFE的距离即为点8到直线ACV的

距离（1=20，所以该几何体的体积

V=（4V2）2X4A/3+4X1X4V2X4V3X2V2=12873+^A/3=^^.

［方法二］:分割法二

如图所示：

连接AC,BD,交于O,连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-

OEH的4倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍.容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P,连接APQP.则

EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几

何体的体积

V=1.4V3.（4V2y+4---4^--4A/2-4>/3+4---4^--4V2-4V2=-^^.

332323

4.（1）证明见解析

【分析】（I）先证明四边形WG是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；

（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；

（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解

【详解】（1）

8

AC

连接MN,CA由MN分别是8c8A的中点，根据中位线性质，MN//AC,且皿=分=1,

由棱台性质，AG//AC,于是MN//AG，由跖V=AG=1可知，四边形MM41G是平行四边形，则AN//

MClt

又4N<2平面。小四，"Gu平面GM4,于是AN//平面AMG.

（2）过加作MELAC,垂足为E,过E作EFLAG，垂足为心连接M尸,GE.

由MEu面ABC,4人上面从台。，故又ME_LAC,ACAA41=A,AC,A4,u平面ACGA,

则ME_L平面ACGA.

由AGu平面ACGA，故ME_LAG，又EF_LAG，MEcEF=E,ME,Ebu平面AffiF,于是40_1平

面MEF,

由防u平面MEF,故AG，MF.于是平面AMQ与平面ACC,^所成角即ZMFE.

2

又ME=——=1,cos/C4c']=—j=,则sin/C4C]=—j=故£F=lxsin/CAG=忑，在RtMEF,

pp2

于是cosZMFE=——=-

MF3

过C|作C/，AC,垂足为p,作GQLAM,垂足为Q,连接尸3PM,过尸作尸R，GQ，垂足为R.

2

由题干数据可得，C1A=C1C=A/5,CXM=y/c^+PM=75,根据勾股定理,

GQ=

由GP，平面AA/C,4Wu平面AMC,则GPLAM,又GQ^AM，G。CtP=Q,CQ,C|Pu平面

QPQ,于是AA/_L平面C/Q.

又「Ru平面GPQ，则依，AM,又「R，G。，C{Q\\AM=Q,GQ,AMu平面6始，故依，平面

QMA.

在RtC/。中，PR=^^=-^W

F

又C4=2PA,故点C到平面QMA的距离是p到平面QMA的距离的两倍,

4

即点C到平面AMQ的距离是：.

［方法二：等体积法］

辅助线同方法一.

设点C到平面AMQ的距离为h.

VC,-AMC=^XC1PXSAMC=1x2x|X(^/2)=1,

v_1,v,1丙3及_h

VC-C,MA=§x/jxS,AMq=§X/7X习X,2X—=5.

h24

由％-AMC=Z-G«A=3=］，即％=§.

5.(1)2兀

(2)证明见解析

【分析】(1)由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.

(2)证明平面QOC//平面尸瓦)，然后根据面面平行的性质可得.

TT