2024-2025学年吉林省吉林某中学九年级（上）期中数学试卷

2024-2025学年吉林省吉林九中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题

1.在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向.下面关于新能源汽车新势力品

牌的图标中，是中心对称图形的是（）

2.已知。。的半径为4,平面内有一点若OM=5,则点M与。。的位置关系是（）

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不能确定

3.下列二次函数图象与的开口大小、方向、形状完全相同的是（）

A.j=x2+lB.y=-（x-1）2C.y=2j?D.-/+1

4.若关于x的一元二次方程（01）/+3X+F-1=0的一个根为0,贝隈的值为（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

5.如图，CO是的直径，弦则/AOC的度数为（）

6.如图所示的是二次函数yua/+bx+c（a,b,c为常数，且aWO）的图象，其对称轴为直线x=-l（0,

1）,则下列结论错误的是（）

B.abc>0C.4Q+20+CV0D.C-6Z<1

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.（3分）函数y=2%2-3x+l的一次项系数是

8.（3分）将如图所示的图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，则旋转角最小是

9.（3分）方程（aWO）的系数a,b,c满足4a-2b+c=0.

10.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AB=9,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C,线

段CO的长为_____________________

11.（3分）如图，AB为OO的直径，弦CZJLAB,若。。的半径为5,CD=8

12.（3分）若关于尤的一元二次方程2/+4x-k+l=0无实数根，则整数上的最大值为.

13.（3分）火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药）、电磁能等能源抛射弹丸，由炮身和炮架

两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，且y与x的关系式为y=a?+bxQW0）.若

此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第秒时的高度是最高的.

14.（3分）如图，尸、。分别是。。的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ.

15.（5分）解方程：（x-2）2=9（x+3）2

16.(5分)如图，在△ABC中，48=80°,ACLA'B'于点。，求NA'CB'的度数

17.(5分)已知抛物线y=o?-4x+5在对称轴右侧呈下降趋势，其中/=4.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)二次函数丫M办2-4x+5有最大值还是最小值？请求出这个最值.

18.(5分)已知抛物线y=(x+1)2+m-3.

(1)若此抛物线的顶点在直线y=2x+6上，求m的值；

(2)若点A(a,班)与点B(3,加)在此抛物线上，且邛＜刈，直接写出。的取值范围.

四、解答题(每小题7分，共28分)

19.(7分)已知，在平面直角坐标系中，△A3C的三个顶点坐标分别为A(-1,0),3(-3,3),C(-

4,-1).

(1)画出△ABC关于原点对称的△AiBiCi，并写出点A的对应点4的坐标；

(2)画出△ABC绕点。按逆时针方向旋转90°后的图形AA282c2,并写出点C的对应点C2的坐标.

20.(7分)如图，在矩形空地ABCD上，修建两条平行于AB边、一条平行于BC边的小路，其余部分铺

草坪.已知AB的长为20m，4。的长为32川，铺草坪的总价为57000元，求每条小路的宽度.

21.（7分）如图，抛物线>=/与直线y=6x+c的两个交点分别为A（-2,4）,B（1,1）.

（1）求两个函数的解析式；

（2）点尸在y轴上，且△ABP的面积是△A30面积的2倍，求点尸的坐标.

22.（7分）如图，A8为的直径，点C在直径上（点C与A,B两点不重合），点。在。。上且满

足AC=AD,连接DC并延长到E点

（1）求证：BE是。。的切线；

（2）当BE=6时，求。。半径的长.

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.（8分）已知抛物线;y=-^+bx+c（6,c为常数）经过点（-2,5）和（-6,-3）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线y=-j^+bx+c（b,c为常数）向右平移m（m>0）个单位长度得到一个新的抛物线2+bx+c

（b,c为常数）上，求的值.

24.（8分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=9Q°,AC=BC

B

AA

【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接3D、AE,延长2。交AE于点厂

【探究证明】如图2,将△OCE绕着点C顺时针旋转一定角度a(0°<a<90°),线段和线段AE

的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立；如果不成立，请说明理由.

【拓展应用】如图3,在△AC。中，/4OC=45°尼，AO=4,将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC,

求瓦)的长.

六、解答题(每小题0分，共20分)

25.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=2,动点厂从点A出发，在AC上的速度为每秒百个单

位长度，以CF为边在点C的右上方作等边△CVQ,设点F的运动时间为f(秒)

(1)AC=；

(2)求y与f之间的函数关系式，并写出f的取值范围；

(3)取AB边的中点连接P。、CD,当△/CD是直角三角形时

26.如图，已知抛物线y=a?+bx+5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点(点A在点8的左侧)，与y

轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,8不重合)，过点D作。轴于点尸，交直

线3c于点£,直线3c能否把△8。厂分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点。的坐标，请

说明理由.

(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△AffiC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.

2024-2025学年吉林省吉林九中九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案CCACBD

一、选择题

1.在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向.下面关于新能源汽车新势力品

牌的图标中，是中心对称图形的是（）

><.V

【解答】解：A.找不到一点旋转180°后与原图重合，故该项不符合题意；

8.找不到一点旋转180。后与原图重合，故该选项不符合题意；

C.可以找到一点旋转180°后与原图重合，故选项符合题意；

。.找不到一点旋转180°后与原图重合，故选项不符合题意；

故选：C.

2.已知的半径为4,平面内有一点若OM=5,则点M与。。的位置关系是（）

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不能确定

【解答】解：的半径为4,OM=5

二点M到圆心的距离大于圆的半径，

.•.点〃在圆外.

故选：C.

3.下列二次函数图象与y=/的开口大小、方向、形状完全相同的是（）

A.y=x2+lB.y=-（x-1）2C.y=27D.y=-/+1

【解答】解：：二次函数图象与〉=/&“加°;的开口大小、方向，

二次项系数4=1,

故选：A.

4.若关于x的一元二次方程1）/+3x+后-1=0的一个根为0,贝廉的值为（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【解答】解：：方程（k-1）W+5x+必T=7为一元二次方程，

：.k-1W0,

上W3.

将x=0代入（4-1）/+3x+F-7=0,得：Z?-2=0,

解得％1=-6,42=1（不合题意，舍去）.

故选：C.

5.如图，CD是的直径，弦ABLC。，则/AOC的度数为（）

【解答】解：是。。的直径，弦

.,•AC=BC>

'：ZCDB=28

：.ZAOC=2ZCDB=56°,

故选：B.

6.如图所示的是二次函数yuo^+bx+c（a,b,c为常数，且aW0）的图象，其对称轴为直线尤=1(0,

1）,则下列结论错误的是（）

B.abc>0C.4Q+2Z?+CV0D.C-a<l

【解答】解：由图可知，抛物线开口向下，与y轴交于（0,

:・〃V0,---=-1,c=l,

6a

.\b=4a<0,

abc>0,故B选项结合正确；

由图可知，当x=6时yVO,

.•・〃+b+cVO,故A选项结合正确；

由图可知，当x=4时y<0,

.,•44+70+CVO,故C选项结合正确；

Vtz<0,c=8,

Ac-a>\,故D选项结论错误；

故选：D.

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.（3分）函数y=2?-3x+l的一次项系数是-3.

【解答】解：二次函数y=2f-7x+l的一次项系数是-3,

故答案为：-5.

8.（3分）将如图所示的图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，则旋转角最小是120。

【解答】解：•••图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，

△ABC是等边三角形，

将图形绕中心。旋转360°4-3=120°与原图形完全重合，旋转角最小是120°,

故答案为：120°.

9.(3分)方程o^+bx+cuO(aWO)的系数a,b,c满足4a-2b+c=0x=-2.

【解答】解：由题意，一元二次方程a^+bx+cuOQW6)的系数满足4a-26+c=8,

所以，当x=-2时2+尿+。=4即为：aX(-2)2+bX(-4)+c=0,4a-5b+c=0,

综上可知，方程必有一根为-2.

故答案为：x=-8.

10.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AB=9,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C,线

段CC'的长为1

一2一

【解答】解：•••/AC3=90°,ZB=30°,

AC=^AB=|"'ZBAC=90°-ZB=60°,

由旋转得，AC=AC,

.,.△ACC,是等边三角形，

q

•■•CC7=AC=y>

故答案为：1.

2

11.（3分）如图，AB为OO的直径，弦CDL4B,若00的半径为5,0）=82

【解答】解：连接0C,

为。。的直径，CQJ_AB,

CE=z€D=4>NCE0=90°，

0C=5,

OEWOC2-CE5=3'

.\AE—OA-OE—5-3=2,

故答案为：2.

12.（3分）若关于x的一元二次方程27+4工-左+1=0无实数根，则整数％的最大值为-2.

【解答】解：：一元二次方程2?+8x-k+l=O无实数根，

A=52-4X6（-%+l）<0,

：.k<-7

整数上的最大值为-2.

故答案为：-2.

13.（3分）火炮发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药）、电磁能等能源抛射弹丸，由炮身和炮架

两大部分组成的武器.在某次训练中，向上发射一枚炮弹，且y与尤的关系式为y=o?+打QW0）.若

此炮弹在第6秒和第14秒时的高度相等，则此炮弹飞行第10秒时的高度是最高的.

【解答】解：根据题意得。X62+6X2=aX142+6X14,

:.b=-20a,

，抛物线y=aj?-20〃x,

...抛物线的对称轴方程为：直线x=：返=10，

3a

由题意得a<0,

...炮弹在尤=10处高度最高，

.••炮弹飞行第10秒时的高度是最高的，

故答案为：10.

14.（3分）如图，尸、。分别是的内接正五边形的边A3、BC上的点，BP=CO72°.

•五边形ABCDE是OO的内接正五边形,

AZAOB=ZBOC=12°,

•・・Q4=O5,OB=OC,

：.ZOBA=ZOCB=54°,

在△OBP和△OCQ中，

OB=OC

<NOBP=NOCQ，

BP=CQ

:•△OBPQXOCQ,

：.NBOP=NCOQ,

ZAOB=/AOP+/BOP,ZBOC=ZBOQ+ZQOC,

：.NBOP=/QOC,

*.*ZPOQ=NBOP+/BOQ,ZBOC=ZBOQ+ZQOC,

：.ZPOQ=ZBOC=72°.

故答案为：72°.

D

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.（5分）解方程：（冗-2）2=9（x+3）2.

【解答】解：（x-2）2=2（%+3）2,

x-8=3x+9,或％-6=-3%-9,

._11_7

•・JC4**，X2~~•

24

16.（5分）如图，在△ABC中，ZB=80°,ACLA'B'于点。，求NA'CB'的度数

【解答】解：：将△ABC绕点C顺时针旋转55°得到B'C,

：.ZACA'=NBCB'=55°,ZB'=ZB=80°,

•：AC±A'B',

：.ZB'DC=90°,

AZDCB'=90°-ZB'=10°,

：.ZA'CB'=ZB'CD+ZACA'=10°+55°=65°.

17.(5分)已知抛物线y=--4x+5在对称轴右侧呈下降趋势，其中/=4.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)二次函数y=a/-4x+5有最大值还是最小值？请求出这个最值.

【解答】解：(1)

.・・〃=±4,

•.•抛物线-4x+3在对称轴右侧呈下降趋势，

.•.QVO,

••-2,

抛物线的解析式为y=-5/-4x+7,

抛物线的对称轴为直线乂=——

2X(-7)

(2)•••抛物线的开口向下，

...二次函数尸-2x4一公+5有最大值，

•••抛物线的对称轴为直线尤=-3,

.•.当X=-1时,y的值最大，y最大值=-2X(-2)2-4X(-8)+5=7•

18.(5分)已知抛物线y=(x+1)2+m-3.

(1)若此抛物线的顶点在直线y=2x+6上，求m的值；

(2)若点A(a,yA)与点B(3,yB)在此抛物线上，且明〈刈，直接写出a的取值范围.

【解答】解：(1):抛物线&泌sp;y=(x+1)2+m-6,

抛物线的顶点坐标为(-1,m-3),

此抛物线的顶点在直线&，仍卯;y=3x+6上，

.•.将(-1,m-5)代入

m-3=-2+2,

m=-2+6+4,

解得m=7；

(2)•・•抛物线的顶点坐标为(-1,m-6),

.•.抛物线的对称轴为直线X=-b

:.点B(3,>B)关于抛物线对称轴的对称点为(-3,刈)，

•.•抛物线开口向上，

当-5<a<3时，yA<ys.

四、解答题(每小题7分，共28分)

19.(7分)已知，在平面直角坐标系中，ZkABC的三个顶点坐标分别为A(-1,0),8(-3,3),C(-

4,-1).

(1)画出△ABC关于原点对称的△AiBiCi,并写出点A的对应点4的坐标；

(2)画出△ABC绕点。按逆时针方向旋转90°后的图形282c2，并写出点C的对应点C2的坐标.

点A的对应点4的坐标为(1,7)；

(2)如图所示，△从232c2即为所求，点C的对应点C2的坐标为(1，-2).

20.(7分)如图，在矩形空地ABCD上，修建两条平行于AB边、一条平行于BC边的小路，其余部分铺

草坪.已知的长为20m，AD的长为32m2,铺草坪的总价为57000元，求每条小路的宽度.

【解答】解：设每条小路的宽度为V",

根据题意可列一元二次方程得，(20-x)(32-2x)X100=57000,

整理得，/-36x+35=3,

解得xi=l,X5=35>20(不符合题意，舍去)，

即每条小路的宽度为1m,

答:每条小路的宽度为L%

21.(7分)如图，抛物线与直线y=6x+c的两个交点分别为A(-2,4),B(1,1).

(1)求两个函数的解析式；

(2)点P在y轴上，且AAB尸的面积是△A3。面积的2倍，求点尸的坐标.

【解答】解：(1)将点2的坐标代入抛物线表达式得，l=aXl;

将点A、B的坐标代入直线表达式得(8=b+cfb=-3,

(4=-2b+c{c=2

故两个函数的解析式分别为：y=/,y=-x+8；

(2)设直线y=-x+2交y轴于点”,

当％=0时，y=6,2),m),

△ABP的面积=SAPHA+SAPHB=LP//X(XB-XA)=—X|/；J-5|X3=—；

822

同理△ABO面积=108义(XB-XA)=^X2X6=3,

22

,/AABP的面积是△ABO面积的2倍，

：.^m-2|=8,

2

故点尸的坐标为(0,6)或(2.

22.(7分)如图，为。。的直径，点C在直径上(点C与A,2两点不重合)，点。在。。上且满

足AC=A。，连接0c并延长到E点

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)当BE=6时，求OO半径的长.

E

【解答】(1)证明：：人？为O。的直径，

ZADB=90°,

：.ZBDE+ZADC=9Q°,

"：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

'：ZACD=ZECB,

：.ZECB=ZADC,

,:EB=DB,

：.ZE=ZBDE,

：.ZE+ZBCE^90°,

Z£BC=180°-(NE+/ECB)=90°,

YOB是O。的半径，

.♦.BE是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为r,

0C=3,

：.AC=AD=AO+OC=3+r,

,:BE=2,

：.BD=BE=6,

在中，BD2+AD6=AB2,

A36+（r+3）2=（2r）2,

.'.rs=5,n=-3（舍去）,

半径的长为5.

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.（8分）已知抛物线y=-7+bx+c（b,c为常数）经过点（-2,5）和（-6,-3）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线y=-?+bx+c（b,c为常数）向右平移m（m>0）个单位长度得到一个新的抛物线2+bx+c

（b,c为常数）上，求m的值.

【解答】解：（1）•..抛物线y=-d+bx+c（b,c为常数）经过点（-2,-7）,

.（-4-2b+c=2

I-36-6b+c=_3

解得：，b=-6,

lc=-3

•••抛物线的函数表达式为y=-7-5x-3；

（2）,.>=-x2-6x-3=-（x+3）4+6,

-x2-6x-3向右平移m个单位长度得到：

y=-（x+3-m）8+6,

其顶点坐标为（-3+加，4）,

・・,点（-3+加，6）关于原点。对称的点的坐标为（7-m,

•二点（3-机，-6）在抛物线y=-x5-6x-3上，

・・・一6=一（3-m）2-2（3-m）-3,

整理得：1-12m+24—0,

解得：m=12±±/5=6±3V3，

Vm>0,

=,

,,1114=6+2V3,m26-7V3

24.（8分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC^BC

【观察猜想】当AABC和△£>£(?按如图1所示的位置摆放，连接B。、AE,延长8。交AE于点尸

【探究证明】如图2,将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度a(0°<a<90°),线段2。和线段AE

的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立；如果不成立，请说明理由.

【拓展应用】如图3,在△AC。中，NA£>C=45°逅，AO=4,将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC,

求BD的长.

【解答】解：【观察猜想】AE±BD,AE=BD,

证明：在△ACE和△BCD中，

AC=BC

<ZACE=ZBCD-

,CE=CD

.♦.△ACE会△BCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

VZACB=ZDCE=9Q°,

/.ZCAE+ZAEC=90°,

'：ZCAE=ZCBD,ZAEC=ZBEF,

：.ZDBC+ZBEF=9Q°,

：.ZBFE=18Q°-90°=90°,

：.AE±BD；

【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立,

证明：'：ZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZACE=ZBCD,

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

＜ZACE=ZBCD-

,CE=CD

:.LACE当LBCD(SAS),

：.AE=BD,ZCAE=ZCBD,

VZACB=90°,

：.ZCBD+ZCGB=9Q°,

:ZCAE=ZCBD,NAGF=ZCGB,

/.ZCA£+ZAGF=90°,

：.ZBFA=18Q°-90°=90°,

：.AE±BD,

【拓展应用】如图，在CO的左侧以C为直角顶点作等腰直角

：.ZDCE=9Q°,CE=CD=®

-,.DE=7CD24＜；E3=2,

VZADC=45°,

AZADE=ZADC+ZCDE=450+45°=90°,

24

AE=VDE+AD=V22+82=2*，

•；将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC,

：.ZACB=90°,AC=BC,

由【探究证明】知加＞=AE,

:.BD=2酝.

六、解答题（每小题0分，共20分）

25.如图，在Rt^ABC中，NACB=90°,BC=2,动点厂从点A出发，在AC上的速度为每秒百个单

位长度，以CF为边在点C的右上方作等边△CFQ,设点厂的运动时间为f(秒)

(1)AC=_2V3_;

(2)求y与f之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)取AB边的中点。，连接ED、CD,当是直角三角形时

【解答】解：(1)在直角三角形ABC中，ZACB=90°,BC=2,

；・AB=2BC=6,

由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=A/72-23=273,

故答案为：6V3；

(2)当点。在AB上时，如图1,

图1

•••△CFQ为等边三角形，

/.ZCFQ=60°,CF=QF,

：.ZAQF=ZCFQ-ZA=60°-30°=30°,

/.ZAQF=ZA,

：.AF=QF,

•■•CF=AF=1-AC=V3-止匕时t=V7+百=1；

当8Wt<l时，如图2,

BQ

图2

VZFCQ^60°,

：.ZADC=90°,

；•CD=1-AC=V3'

在直角三角形ACO中，由勾股定理得：AD=VAC4-CD2=V(2V5)2-(V3)8=3,

过点F作FHLAB于H,

,•"AF=V3t-

FH=|-AF=^-f

26

222

在直角三角形APH中，由勾股定理得:AH=7AF-FH(V2t)-(^t)=1-t

9：AF=GF,FHLAB,

：.AG=2AH=3t,

,,,y=sAA：D-sAA；F=yXV3X64x4tX^t=^^-t74^y-；

当1W/W2时，如图2,CQ=CF=2V3-V71-

过点。作Q"_LAC于X,则CH=FH=/cF=V^-等t，

在直角三角形CH。中，由勾股定理得：QH=VCQ2-CH2=AI(2V5-V3t)2-(V7-^-t)=3-t'

V26

•<-y=1<F'QH=-1-X(2V2-V3t)X(3-1-t)=^-t2-2V3t+3V6；

当2〈rW4时，如图5,

过点Q作Q”_L5C于H,则CH=FH二qt-V

•*,QHWcQ2-CH2(t-2)5-(£t-5)'

•**y=-^CF•QH="_X(t-8)Xt-V6)=^~3t-*V3;

[-乎t5*(0<t<l)

46

4V3

〜------£

近

-t8-V3tW3(3<t(4)

(3)分三种情况：

①当/CH)=90°如图5,

B

二

CF

图5

•；£)是A3的中点,ZACB=90°,

O

'CD二AD吟AB，

VDFXAC,

，AF=CF0AC=V

3-

6

•*-t=V3-j-V4=l

②当/C£»P=90。如图6,

B

图6

VCD=AD=1-AB=2'

AZDCF=ZA=30°,

•m⑪=7=2=鼠3

…cos/DCFCOS300M3

-'-AF=AC-CF=2V3

③当/DFC=90°时，如图6,

图7

'•*CD=AD=yAB=5'

：.ZDCA=ZA=30°,

AZDCF=90°-30°=60°,

：.ZCDF=3Q°,