2023-2025年湖南中考数学试题分类汇编：三角形（解析版）

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专题09三角形

考点01三角形的有关性质

1.（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.1,3,4B.2,2,7C.4,5,7D.3,3,6

【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可.

【解答】解：•・•1+3=4,

・・・1,3,4不能组成三角形，

故力选项不符合题意；

V2+2<7,

・・・2,2,7不能组成三角形，

故4不符合题意；

V4+5>7,

・・・4,5,7能组成三角形，

故C符合题意;

<3+3=6,

・・・3,3,6不能组成三角形，

故。不符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.

2.（2023•衡阳）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）

A.lew,2cm»3cmB.3cm,8cw»5cm

C.4cm,5cm»lOewD.5cni,6cm

【分析】根据两边之和大于第三边判断即可.

【解答】解：A.V1+2=3,

，长度为1。相2cm,3c〃?的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

B、V3+5=8,

・•・长度为3a〃，8"〃，5a〃的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

C、V4+5<10,

・•・长度为4c加，5cm,10c加的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

。、V4+5>6,

・,.长度为4c5cm,6c/〃的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；

故选：£).

【点评】本题考直的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键.

3.(2025•湖南)已知，。，b,c是V"C的三条边长，记，=(2)+(g)，其中％为整数.

(1)若三角形为等边三角形，则，=：

(2)下列结论正确的是(写出所有正确的结论)

①若々=2,z=l,则V44。为直帝三角形

②若〃=1,a=^b+2,c=\,则

③若A=l,。，b,c为三个连续整数，^.a<b<c,则满足条件的VABC的个数为7

【答案】2①②/②①

【知识点】求不等式组的解第、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求

解

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的

性质等等，熟知相关知识是解题的关键.

(1)根据等边三角形的性质可得。=力=。，据此求解即可；

Z7=1/14.7

(2)当k=2,"1时，可证明由勾股定理的逆定理可判断①：当％=1,2,c=\

1-6+2-b<\b--b-2<\

P•2

t=-b+2\-b^2

>b-b+2<h

时，可得2:当。时，可得】2，当a时，可得12,则可求出2<人<6,

a+bi/5

t=----a+b<-c

据此求出t的取值范围即可判断②；当左=1时，则c，则可得到3；根据题意不妨设，=〃+2,

n+2<n+n+\<—(n+2]

则剩下两个数分别为〃，〃+1(n为正整数),则可得3\\解不等式组求出整数n

即可判断③.

【详解】解：(1)•・•〃，b,。是V/18C的三条边长，且V48c是等边三角形,

:a=b=c,

=1A+1A

=1+1

=2,

故答案为：2；

22

...a+b=c\

.•.V48C为直角三角形，故①王确;

a=—h+2

②当人=1,2,c=l时，

.「七,

-b+2,R

t=------+-=-b+2

・•.112；

当々Zb时,

•*•a-b<c

-h+2-b<\

<2

-b+2>b

・•.12

•••2<b<4，.

当时,

4.（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuSn）,一宣有半谓之斶（zhu）…”.意思是：

”…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做楣…”即：1宣=/矩，1栩=^宣（其中，1矩=90°）.

问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若//=1矩，/B

【分析】根据题意可知：4=90°，/8=67.5°,然后根据三角形内角和即可求得NC的度数.

【解答】解：・・・1宣矩，1璃=弓宣，1矩=90°,4=1矩，N4=l概，

/.ZJ=90°,Z5=17x7x900=67.5°,

22

.\ZC=180°-90°-N8=180°-90°-67.50=22.5°,

故答案为:22.5.

【点评】本题考查了三角形内角和定理、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答.

考点02全等三角形的判定与性

1.（2024•长沙）如图，点。在线段4。上，AB=AD,N8=N。，BC=DE.

(1)求证：/XABgAADE；

(2)若NBAC=60°,求N/CE的度数.

【分析】（1）由BC=DE,ZB=ZD,AB=AD,根据“S4S”证明

（2）由全等三角形的性质得力。=力£ZBAC=ZDAE=60°,则N4EC=N4CE,由N/1EC+//1CE=

2ZJC£=120°,求得N4CE=60。.

【解答】（I）证明：在。和△力。月中，

BC=DE

Z.B=zD>

AB=AD

:•△ABgdADE(SAS).

(2)解：由(1)得△48cg△/1QE,

：.AC=AE,NBAC=ND4E=60°,

：,N4EC=N4CE,

VZAEC+ZACE=2ZACE=180°-ZDAE=\20°,

/.ZACE=60°,

・・・N4C£的度数是60°.

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△川%?0△4/)£

是解题的关键.

2.(2023•长沙)如图，AB=AC.CDLAB.BE工AC垂足分别为。，E.

(I)求证：4ABE冬"CD；

(2)若力E=6,CD=8,求8D的长.

A

:z

【分析】(1)利用“44S”可证明

(2)先利用全等三角形的性质得到力。=/E=6,再利用勾股定理计算出力C,从而得到的长，然后

XYHAB-AD即可.

【解答】(1)证明：^CDLAB,BEL4C,

：,/AEB=NADC=90°,

在LABE和△月CZ)中，

(^AEB=/ADC

/.BAE=/-CAD，

[AB=AC

：,£\ABE^^ACD(AAS)；

(2)解：MABE义AACD,

^.AD=AE=6f

在RtAJCD中，AC=y/ADz4-CD1=V62+82=10,

'：AB=AC=\O,

：.BD=AB-AD=\O-6=4.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和

角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

考点03直角三角形的性质

1.（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：。〃）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，己知乙4c4=90",

点。为边4?的中点，点/、2对应的刻度为1、7,则。。=（）

【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出。的长.

【解答】解：由图可得,

N/C8=90°,力4=7-1=61cm）,点。为线段48的中点，

：,CD=^AB=3cm,

故选:B.

【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

2.（2023•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸.欲为方版，

令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径8。为25寸，要做成方形板材，使

其厚度CD达到7寸.则BC的K是（）

A.用5寸B.25寸C.24寸D.7寸

【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得N8CO=90°,然后再RtZ\8CO中利用勾股定理即可求出

BC的长.

【解答】解：依题意得：4。为。。的直径，

・・・NBCO=90°,

在RtZXBCO中，8力=25寸，CQ=7寸，

由勾股定理得：BC=y/BD2-CD2=V252-72=24.

・・・3C的长为24寸.

故选：C.

【点评】此题主要考查了圆周珀定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直

角.

3.12023•郴州）如图，在Rt△力8。中，N8=90°,/C=6,6C=8,点A/是力4的中点，求CM=5.

BK

CA

【分析】由勾股定理可求解48的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解.

【解答】解：连接CM,

在RtZ\/14C中，NACB=90°,AC=6,BC=8,

：・AB=y/AC2+BC2=10,

•・,点”是48的中点,

：,CM=^AB=5.

故答案为：5.

B

M

【点评】本题主要考查由勾股定理，直角三角形斜边上的中线，求解力4的长是解题的关键.

考点04线段垂直平分线和三角形的中位线

1.（2025•湖南）如图，在中，BC=6,点E是力。的中点，分别以点A,8为圆心，以大于1力〃的

2

长为半径画弧，两弧相交于点N,直线MN交/出于点O,连接。E,则OE的长是

【答案】3

【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、与三角形中位线有关的求解问题

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得时N

DE=-BC=3

垂直平分力8,则点D为的中点，据此可证明。E是V48C的中位线，则可得到2.

【详解】解：由作图方法可得MN垂贪平分44,

，点D为48的中点，

又•・•点E是4c的中点,

JDE是N/1BC的中位线，

DE=—BC=—x6=3

・•.22,

故答案为：3.

2.（2024•长沙）如图，在△18。中，点。，E分别是4C,8C的中点，连接。£若DE=12,则48的长

为24.

A

【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论.

【解答】解：•・•点。，E分别是4C,8。的中点，

・・・。£是△48。的中位线，

：・AB=2DE=24,

故答案为：24.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

考点05相似三角形

1.（2024•湖南）如图，在△力8C中，点。，E分别为边力从4C的中点.下列结论中，错误的是（）

C.BC=2DED.S"DE=』SBABC

【分析】根据题中所给条件可得出△/£）£•与△力8c相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】解：•・•点Q，£分别为边48,4C的中点，

・・・QE是△48C的中位线，

：.DE//BC,BC=2DE.

故力、C选项不符合题意.

*：DE//BC,

工△ADES4ARC.

故8选项不符合题意.

•・•△4DES&ABC,

.S△力DE_DE2_1

'△ABC=（前）=.

则S/UDE=

故。选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角

形的判定与性质是解题的关键.

2.（2023•常德）如图1,在中，ZABC=90a,48=8,8c=6,。是48上一点，且40=2,过

BD

点D作DE〃BC交此于E,将△的绕力点顺时针旋转到图2的位置.则图2中方的值

为

AHAF

【分析】利用勾股定理求得线段/C的长度,利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到而=就,

由旋转的性质得到

mB="再利用相似二角形的判定与性质得噜嗖=W

【解答】解：VZJ5C=90°,4B=8,BC=6,

AC=y/AB2+BC2=V82+62=1（）.

DE//BC,

△ADEs”BC,

ADAE

AB-AC

将绕力点顺时针旋转到图2的位置,

ZDAB=ZEAC,

△ADBs△月EC,

tBDAB84

**EC~AC~10~5

4

故答案为：

°

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟

练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.

3.(2023•岳阳)如图，在中，力5为直径，BD为弦,点。为前的中点，以点C为切点的切线与/出

的延长线交于*E.

(I)若/4=30°,AB=6,则沅的长是(结果保留TT)；

CF1CE

⑵若u而一‘则it族=

【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理可得N8OC=60°,利用弧长公式即可求出血的长;

EB1

(2)连接OC,根据垂径定理得到OC_L8Q,再由切线得到EC/78Z),利用平行线分线段成比例得出==-

AB3

再根据勾股求出EC=2x,代入比例式即可解决问题.

【解答】解：(1)如图，连接。C,

VZA=30°,AB=6,

:.NBOC=60°,OB=3.

,比的长=6黑;3.

loU=TT

故答案为：1T：

(2)如图，连接OC,

•・•点C为厢的中点，

：.BC=DC,

：.OCLBD,

又〈EC是。。的切线，

：.OCVEC,

：.EC//BD,

••C_F1

•，

AF3

_1

布二3

,2C

设EB=x,则力8=3x,BO=OC=^x,EO=余,AE=4x,

：.EC=y/EO2-OC2=J(fx)2-(|x)2=2x,

•C_E_2_x_1

''AE~4x~2

故答案为：

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理，弧长的

计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键.

4.（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△力。》为等边三角形，点力的坐标为（1,0）.把△的8按如图所

示的方式放置，并将4/fOB进行变换：笫一次变换将△力08绕着原点。顺时针旋转60°,同时边长扩

大为△彳。4边长的2倍，得到△4081；第二次旋转将△4。历绕着原点。顺时针旋转60°,同时边长

扩大为△/Q81边长的2倍，得到….依次类推，得至lJ△/2023O比023，则△力2023。&023的边长

为，点A2023的坐标为•

【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题.

3

【解答】解：由题意0/=1=2°,041=2=21042=4=22,C>J3=8=2,…04=2”,

/.△^2023（952023的边长为22023,

V20234-6=337-l,

2022

•••42023与小都在第四象限，坐标为(22022,.2XV3).

2022

故答案为:22°23,（22022,-2XV5）.

【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型一点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法,

属于中考常考题型.

5.（2023•湘潭）在Rt△力5c中,Z5JC=90°,力。是斜边上的高.

（1）证明：△/AQsaCA/h

（2）若川?=6,4c=10,求8。的长.

A

【分析】（1）根据已知条件得出N8D4=N84C,又NB为公共角,于是得出

（2）根据相似三角形的性质即可求出8。的长.

【解答】（1）证明：・・1。是斜边8C上的高，

:,NBDA=90",

•・・N8/C=90°,

：・NBDA=NBAC,

又・・・/8为公共角，

:•△ABDsfBA；

（2）解：由（1）知LABDs^CBA,

•BDB_A_

♦•，

BABC

BD6

••二,

610

:・BD=36.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键.

6.（2023•邵阳）如图，CA±AD,EQ_L4Q,点8是线段力。上的一点，且C4_L8E.已知力8=8,AC=6,

DE=4.

（I）证明：AABCS^DEB.

（2）求线段〃。的长.

【分析】（1）利用同角的余角用等得NC=NQ8E,可证明结论;

(2)根据相似三角形的性质即可求出答案.

【解答】(1)证明：,：CAVAD,EDLAD,CBLBE,

AZA=ZCBE=ZD=90°,

・・・NC+NOM=90°,NCBA+NDBE=90",

:・/C=NDBE,

:.AABCSADEB；

(2)解：,:XABCslXDEB,

ACAB

BD~DE'

68

BD4

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同弟的余角相等得月是解决问题的

关键.

7.（2023•益阳）如图，在RtZX/BC中，ZACB=90°,4O8C,点O在边力。上，将线段04绕点。按

顺时针方向旋转90°得到Q/T,线段。H交48于点£,作4FUB于点F,与线段/C交于点G,

连接R2,GB.

（1）求证：△力。E0Z\/TDG；

（2）求证：AF*GB=AG・FC；

（3）若/C=8,tanJ=4,当.4'G平分四边形。C8芯的面积时，求力。的长.

【分析】（1）WilASA证明；

（2）要证4>G8=4G・£C,也就是证明△HCSAG/B,但“两个角对应相等”的条件不够，所以想

到“夹角相等，对应边成比例”，只要证明即可.

<3）设。E=QG=x,利用S0C3=SA他什2s峭形OG庄建立方程求解.

【解答】(1)证明：・・・N/l+N.4G4=90°,N/f+N4G4=9D°,

・•・N4=N/f,

*：AD=A'D,ZADE=ZA'DG=90°,

:.△ADEg^A'DGCASA\

(2)证明：VZAFG=AACB=W,/FAG=NCAB,

:.△AFGsAACB,

AGAF

♦♦-，

ABAC

•A_C_A__F__

ABAG

ZE4C=ZGAB,

:.△FACsAGAB,

*_AFFC

••--9

AGGB

：・AF・GB=AG・FC：

小板••+/DEBC1“_Q

(3)解：.taM=^=无=于4c—8，

:・BC=4,

,,S/\ACB-16,

设DE=DG=x,则力。=4Q=2x,AE=A'G=底,

：,A'E=A'D-DE=2x-x=x,

:'S"DE=S&A，DG=X^>

AAFEsAA'DG,

,A'ExV5

'而二后=T

:.S^AFE：S“DG=1：5,

.44)

•・S四边形OG尸E=5S/\4'OG=5X~，

•・・S&4C8=S~IO£tS四边形0c8£，A'G平分四边形OC6E的面枳,

：・S"CB=s&ADA2S四边形DGFE，

:.16=X2+I%2,

、80

-r=13

4演4/65（公、

x,=—*》2=--s于（舍），

・・.但喑.

【点评】本题考查了三角形全等和相似，对应（3）,设DE=DG=x,利用什么等量关系建立方程是关键.

8.（2023•湘西州）如图，点。，E在以4c为直径的0。上，N/QC的平分线交。。于点8,连接84EC,

EA,过点E作EH_L4C,垂足为“，交AD于点F.

（1）求证：AE2=AF*AD；

【分析】（1）由E〃_L4c于点“，4C是。。的直径，得/力〃E=/4£。=90°,而/HAE=NEAC,所

4HAEAHAF

以AHAEsAEAC,则下二:，于是得力/2=力〃・力c,再证明△〃〃7s△力。C,得——=—,则力〃・

AEACADAC

AC=AF*AD,所以力七2=力尸/0；

（2）连接8C,因为N/1Q4=NCQ4,所以通=讹，则力8=BC=5,由勾股定理得4C=7AB?+BC?=5企,

而N4CO=N/3。，则一二sinN/CO=sinN/3O=等，所以,力。=T》C=2aU.

AC55

【解答】（1）证明：•・・E〃_L4C于点儿4c是。。的直径，

：・NA〃E=NAEC=90°,

ZHAE=NEAC,

:•△HAEs^EAC,

AHAE

♦•—，

AEAC

：.AE1=AH*AC,

•；NHAF=NDAC,ZAHF=^ADC=90°,

:.△AHFs/\ADC,

•AH_A_F

••——9

ADAC

；・AH・AC=A『AD,

：.AE1=AF*AD.

（2）解：连接8G

V^ADC的平分线交OO于点B,

，ZADB=ZCDB,

：,AB=BC,

：.AB=BC=5,

VZABC=90Q,

：,AC=7AB2+"2=A/52+52=5V2,

NACD=/ABD,

AD2花

=sinZACD=sinZABD=-p-,

AC5

：.AD=竽竽X5V2=2Vl0,

：,AD的长是2JIU.

【点评】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角

形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

9.（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标

准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研

究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形力BCDE的边

DE的延长线相交于点八/以户的平分线交所'于点

（1）求证：AE?=EF・EM；

（2）若力b=1,求力E的长；

（3）求学g的值.

F

【分析】（1）根据正五边形的性质可得/84£=/4月。=108°,从而利用平角定义可得N"K=N4所

=72°,进而利用三角形内角和定理可得//=36°,然后利用角平分线的定义可得NHM=NM4E=

36°,从而可得/尸=NM4E,进而可证△尸打，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解

答：

（2）设力£=x,利用（1）的结论可得：NF=NE4M=36",从向可得外/=力"，在利用（1）的结论

可得：ZFAE=ZAEF=12°,从而可得61="E=l,然后利用三角形的外角性质可得N4”E=/力七/

=72°,从而可得4”=力已进而可得再利用线段的和差关系可得ME=1-x,

最后利用（1）的结论可得：AE?=EF・EM,从而可得f=i・（1・x）,进行计算即可解答：

（3）连接EE,CE,根据正五边形的性质可得48=/fE=O£=CQ=AC,ZBAE=ZAED=ZEDC=Z

ABC=ZBCD=\OSQ,从而可得△4再利用等腰三角形的性质可得N”E=/4E8=36°,

ZDEC=ZDCE=36°,从而可得NEBC=NECB=72°,然后利用（1）的结论可得：ZFAE=ZFEA

4E1/5—1AB

=72°,从而可证利用力S4可证△必£^Z\E8C,再利用（2）的结论可得：—=——•从而可得77=

AF2AF

宅工，进而可得色姆;二与士最后设△48E的面积为（迷一1）上则产的面积为从而可得

2S^AEF2

△48E的面积=Z\/）EC的面积=（V5-1）k,△力E/7的面积=的面积=2h进而可求出五边形

/8CDE的面积=2遥七再进行计算即可解答.

【解答】（1）证明：:五边形月6CZ5E是正五边形，

^ZBAE=ZAED=\O^°,

・・・NE4E=18（）°-NBAE=72°,ZJEF=1800-NAED=12°,

/.ZF=180°-NE4E-NAEF=36°,

•・】M平分

:,NFAM=NMAE=』NFAE=36。,

・•・ZF=ZMAE,

•・•/AEM=/AEF,

:AAEMsAFEA,

AEEM

••=_9

EFEA

:・AE2=EF*EM；

（2）解：设/E=x,

由（1〉可得：NF=NE4M=36°,

:,FM=AM,

由（1）可得：ZFAE=ZAEF=72°,

：,FA=FE=\,

•:/AME=/F+NFAM=72：

:./AME=/AEF=72”,

»*•AM=AEt

：,AM=AE=FM=x>

：.ME=EF-FM=\-x,

由（1）可得：AE2=EF*EM,

.*.x2=1•（1-x）,

解得：.v="21或x=''5（舍去），

.._店—1

••Ahc=—29

Vs_1

的长为、一；

（3）连接〃E,CE,

H

•・•五边形ABCDE是正五边形,

：.AB=AE=DE=CD=BC,ZBAE=ZAED=ZEDC=ZABC=