2023-2025全国高考数学试题汇编：双曲线

2023-2025全国高考真题数学汇编

双曲线

一、单选题

1.（2025全国高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的近倍,则C的离心率为（)

A.41B.2c.V7D.272

2.（2025北京高考真题）双曲线x?_4必=4的离心率为（）

V5「5

A.—B.TcID.V5

2

3.（2024全国高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,-4）,点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲线

的离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

4.（2025上海高考真题）已知/（0,1）,8（1,2）,C在「：--「=^l,yN0）上，贝W/BC的面积（）

A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值

C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值

22

5.（2023天津高考真题）已知双曲线=-彳=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为4外过耳向一条渐近

ab

线作垂线，垂足为P.若|尸月|=2,直线尸片的斜率为变，则双曲线的方程为（）

6.（2023全国高考真题）设48为双曲线--1=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）

A.（1,1）B,（-1,2）C.（1,3）D,（-1,-4）

22

7.（2023全国高考真题）已知双曲线C:三-4=1（"0,6>0）的离心率为逐，C的一条渐近线与圆

ab

（x-2『+（y-3）2=l交于48两点，贝UM/=（）

22

8.（2024天津高考真题）双曲线与一七=1（°>0,6>0）的左、右焦点分别为用斗点尸在双曲线右支上,

直线尸耳的斜率为2.若APGB是直角三角形，且面积为8,则双曲线的方程为（）

9.（2023上海高考真题）在平面上，若曲线「具有如下性质：存在点使得对于任意点尸e「，都有。e「

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使得忸=则称这条曲线为“自相关曲线”.判断下列两个命题的真假()

①所有椭圆都是“自相关曲线”.②存在是“自相关曲线”的双曲线.

A.①假命题；②真命题B.①真命题；②假命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

二、多选题

22

10.(2025全国高考真题)双曲线C:5-2=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别是£、外，左、右顶点分别为

ab

4,4,以片耳为直径的圆与C的一条渐近线交于林N两点，且学，贝()

6

A.乙4m巴B.|M4j=2|M42|

6

C.C的离心率为布D.当.=夜时，四边形乂41M42的面积为8出

三、填空题

11.(2023北京高考真题)已知双曲线。的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为血，则。的方程为.

2

12.(2024北京高考真题)若直线y“(x-3)与双曲线3-r=1只有一个公共点，贝的一个取值

为.

22

13.(2024全国高考真题)设双曲线C:\-4=1(“>0,6>0)的左右焦点分别为与Fi，过用作平行于了轴

ab

的直线交C于a2两点，若|片/|=13,|4为=10,则C的离心率为.

22

14.(2023全国高考真题)已知双曲线C:三-4=1(“>0,6>0)的左、右焦点分别为百，耳.点A在C上，

ab

点3在y轴上，百1陌，项=-”,则c的离心率为.

四、解答题_

15.(2023全国高考真题)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2百,0),离心率为近.

(1)求。的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为4,4,过点(-4,0)的直线与。的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线

M4与N4交于点、P.证明:点尸在定直线上.

16.(2024上海高考真题)已知双曲线「：/-；=1伍>0),左、右顶点分别为44,过点初(-2,0)的直

线交双曲线「于尸，。两点.

(1)若T的离心率为2,求氏

⑵若6=个,尸为等腰三角形，且点尸在第一象限，求点尸的坐标.

(3)连接。。(。为坐标原点)并延长交：T于点火，若乖•衣=1,求。的最大值.

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参考答案

1.D

【分析】由题可知双曲线中。1的关系，结合/+/=，和离心率公式求解

【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2%26,2c,

由题知，b=yfla,

于是/+从=c2=a2+la1=&z2,贝【Jc=2叵a,

即e=9=2板.

a

故选：D

2.B

【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出。力,0,即可求出离心率.

丫2

【详解】由一一4V2=4得，—~y2=l,所以/=4万=112=/+/=5,

4

即。=2,c=指，所以e=£=4^,

a2

故选：B.

3.C

【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2〃，即可得离心率.

【详解】由题意,设£（0,-4）、鸟（0,4）、P（-6?4）,

则上刃=2c=8,户片|二J62+（4+41=io,|%=游+任—叶=6,

贝1]2〃=|阿卜|%|=10—6=4,贝ije=||_=2=2.

故选：C.

4.A

【分析】设出曲线上一点为（。，6）,得出将三角形的高转化成关于6的函数，分析其单调性，从

而求解.

【详解】设曲线上一点为（。涉），贝I」/一/=i,贝1〃=房公，

七B=N=1，48方程为：y-l=x,即x-y+l=0,

根据点到直线的距离公式，（。/）到AB的距离为：”-+=妞壬"1,

V2V2C

设/'（6）=J/+1-6=—J--

"r2+1+6

由于630,显然关于b单调递减，/（/））_=/（0）,无最小值，

即V/8C中，边上的高有最大值，无最小值，

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又45一定，故面积有最大值，无最小值.

故选：A

5.D

ebb.,1I

【分析】先由点到直线的距离公式求出6,设/尸。鸟=8,由tan8=^=［得到|0尸|=°,口闾陞.再由

三角形的面积公式得到力，从而得到巧＞,则可得到，—=我，解出。，代入双曲线的方程即可得到答案.

a2+24

【详解】如图，

W

7TV

因为工(c,0),不妨设渐近线方程为y=2》，即云-即=0,

a

所以|叫=严2="=b,

所以6=2.

ppbb

设则tan8=^=画=/,所以|OP|=a,所以工|=c.

因为21尤1=］。•力，所以孙=竺h，所以tane="=£—=d所以马=土2，

c

一一xpxpac

所以尸件夕

因为E(-c,o),

ab

ab2aa

所以上缶=p-c=/^=力+°2+4=77^-彳V2，

——+c

c

所以收S+2)=4°,解得°=也，

所以双曲线的方程为巨-反=1

24

故选：D

6.D

【分析】根据点差法分析可得七s%=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对

于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

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x+x

【详解】设，（而，必）,8（.,%）,则43的中点Ml2

22

%+)’2

可得34人二❷

项一12占+%2X1+X2

2

/_疗-1

22

Q,2,2一,

因为48在双曲线上，则2,两式相减得Xj-x2

4得=1

2_2

所以的B4=上学=9.

对于选项A：可得上=1,3=9,则/8:y=9x-8,

y=9x-8

2

联立方程2y,消去y得72/-2x72x+73=0,

X--=1

9

止匕时△=(-2x72)2-4x72x73=-288<0,

所以直线与双曲线没有交点，故A错误;

9Q5

对于选项B：可得后=—2,左”二—'，则

95

y=——x----

联立方程〈22，消去>得45—+2x45x+61=0,

X----1

I9

止匕时△=（2X45）2-4X45X61=-4X45X16<0,

所以直线45与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,左相=3,贝（J/5:>=3x

由双曲线方程可得。=1/=3,贝IJ45:歹=3x为双曲线的渐近线,

所以直线45与双曲线没有交点，故C错误;

9Q7

又寸于选项D：k=4,kAB=—,贝

97

y—x—

44

联立方程2,消去y得63x2+126x-193=0,

x2-J

9

此时A=1262+4X63X193>0,故直线45与双曲线有交两个交点，故D正确;

故选：D.

7.D

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

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【详解】由0=右，则＜=£4^=1+1=5,

aaa

解得2=2,

a

所以双曲线的渐近线为y=±2x,

当渐近线为＞=-2x时，圆心(2,3)到该渐近线的距离d42二^1=挛＞1,不合题意;

V22+l5

当渐近线为y=2x时，贝IJ圆心(2,3)到渐近线的距离d=口：2-3|=正，

V22+l5

所以弦长|AB\=2\jr2-d2=2jl一?=~~~•

故选：D

8.A

【分析】可利用AP耳心三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设|尸耳上小，由面积公式求出〃%由

勾股定理得出，，结合第一定义再求出”.

【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，/片尸月=90。，设归巴|=机，

2

4&耳=4/尸£K=4,由即「tanq=2,求得sin。产主，

因为/4尸石=90。，所以心亡原乃=一1,求得％=:，即tanq=；,

22

0山82=白，由正弦定理可得：|尸片|：|尸阊：闺阊=singisin%：sin90。=2:1

则由|尸阊=冽得归耳|=2端耳引=2c=45m,

由SgA=/力讣卢闻=加=8得加=2行，

则\PF2\=26闸=4仓旧工|=2c=2限=而,

22

由双曲线第一定义可得：忸刷-忸用=2a=2&,a=41,b=^c-a=

22

所以双曲线的方程为二-匕=1.

28

故选：A

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9.B

【分析】由新定义求解曲线上任一点尸到定点/距离的取值范围A,当任意xe",都有时，曲线满

足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断，

22

【详解】对于①，不妨设椭圆方程为二+占=1（°>6>0）,

ab

则椭圆上一点P到W距离为

|PM\=J（x―加尸+y2-/一吟2+/_^x2=jl-2-2mx+m2-^-b2,-a<x<a,

X---m----zj

当机〉。时，对称轴b2,可得|尸A/|e[zM-a,zw+a],

1-F

a

总存在加使得（加-。）（加+。）=1,此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，

对于②，对于给定的双曲线和点P,显然1PMi存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，I尸河I趋近于无

穷大，1PMie的,+咐，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，

故选：B

【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点M距离的取值范围，再结合椭圆与双

曲线的性质判断即可.

10.ACD

【分析】由平行四边形的性质判断A；由片MLB"且|加。|=。结合”在渐近线上可求M的坐标，从而可

判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得02=13/,计

算后可判断C的正误，或者利用韶=?=百并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面

积后可判断D的正误.

【详解】不妨设渐近线为y=2x,M在第一象限，N在第三象限，

a

对于A,由双曲线的对称性可得4M为平行四边形，故N4M兀-?=?,

故A正确；

对于B,方法一：因为M在以丹区为直径的圆上，故且|MO|=c,

222

%+%=c

x=a

设M（Xo，%）,则，,,故0故也。出，

b

21=2,y0=

x0a

由A得幺"=弓,故四|=必,等即四人乎网|,故B错误;

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a

则cosZMO4=q,又因为以与与为直径的圆与。的一条渐近线交于M、N,则(W=c,

C

则若过点初往X轴作垂线，垂足为H,则|OH|=c/=a=pL|，则点H与4(8)重合，则血/匕轴，则

方法三：在^OMA2禾IJ用余弦定理知,|四2『=|<W『+3J-2\)M\pA2\COSZMOA2,

2222

BP|A£42|=c+a-2ac--=b,贝,

则为直角三角形，且乙4M则21Ml=&孙I，故B错误；

对于C,方法一：因为荻=3(可+限)，故4折=丽甲+2西・成+祝r,

由B可知|跖勾=①|向1|=¥6，

故花=2/+2*八巫除虫=-b2=-(c2-^BPC2=13«2,

33233、,

故离心率e=&L故C正确；

方法二因为叫=?=百，贝lj2=2G,则e，「用J1+(2V5?=g故C正确;

|44|2«aa\a2

对于D,当°=近时，由C可知e=J13,故°=而，

故6=2",故四边形乂41设42为2sAM4出=2x1x2V6x272=873,

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故D正确，

故选：ACD.

22

11.匕-匕=1

22

【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.

【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为。力，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦

距c=2,

由双曲线C的离心率为VL得£=血，解得则6=7717=收，

a

所以双曲线C的方程为片-X=l.

22

故答案为：--^=1

22

12.；(或-5，答案不唯一)

22

【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.

叵21

【详解】联立4〉，化简并整理得：(1-"2)/+24左2工-36左2一4=0,

y=k(x-3)

2

由题意得1一4"2=0或A=(24^2)+4(36/+4)(1—4左2)=0,

解得左=±；或无解，即左=士;，经检验，符合题意.

故答案为：y(或-!，答案不唯一).

22

13.3

2

卜分析】由题意画出双曲线大致图象，求出|工月|,结合双曲线第一定义求出H周，即可得到4也。的值，

从而求出离心率.

22

【详解】由题可知4民工三点横坐标相等，设A在第一象限，将X=c代入写一看=1

ab

得y=±d,即__5故|，同=^-=1。，|/8|=匕=5,

又|/耳卜|48卜勿，得|/耳卜阊+2“=2〃+5=13,解得”4,代入贵=5得/=20,

a

r63

^Cc2=a2+b2=36,,即c=6,所以e=—=—=—.

a42

故答案为：!3

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y/

TPf

14.竽/|石

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到H阊,忸阊，忸用国关于。，加的表达式，

从而利用勾股定理求得。=m,进而利用余弦定理得到出。的齐次方程，从而得解.

52

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得t2=4c2,将点A代入双曲线C

得到关于4c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设旧居|=2加,则忸可=3加明|=20+2机，

在RM/B/中，9m2+(2a+2m)2-25m2,则(a+3m)(。-加)=0,故。=加或°=-3%(舍去),

所以耳|=4，W&=2a,忸国=忸周=3°,贝J|48|=5a,

AF_4a_4

故cosN耳/匕X

AB5a5

所以在△/『，CM"」6m丁「整理得…犷

依题意，得G(-c,0),&(c,0),令/(%%)/(0,0,

__„?__„o52

因为名/=-§与8,所以--CJ),则Xo=y=-丁，

又瓦^其瓦所以即•旗=(|c厂彳)•(cj)=|c2-宁2=0,则r=402,

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又点A在C上，则3c2§广整理得当-冬=1,则与-与=1,

丁一『1财9bz9/9bz

所以25cV-16cV=9a*BP25c2（c2-a2）-l6a2c2=9/（c?一叫，

422422222222

整理得25c-50ac+9a=0,^（5c-9a）（5c-a）=0,解得5c=9a或5c=a,

又e>l,所以e=述或e=在（舍去），故e=±5.

555

故答案为：走.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定

理得到关于Ac的齐次方程，从而得解.

⑵证明见解析.

【分析】（D由题意求得出，的值即可确定双曲线方程；

（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线M4与^42的方程，联立直线方程,

消去儿结合韦达定理计算可得吃=-：，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线》=-1上.

x-23

【详解】⑴设双曲线方程为==1（“>0,6>0）,由焦点坐标可知c=2右，

ab

贝11由。=£=后可得〃=2,b=Vc2-a2=4,

a

双曲线方程为E-口=1.

416

（2）由⑴可得4（-2,0）/（2,0）,设

显然直线的斜率不为0,所以设直线"N的方程为》=叼-4,且一;<加<；,

与二-匕=1联立可得（4疗-1）/_32加y+48=0,且△=64（4加2+3）>0,

416

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直线的方程为了=三(工+2),直线附2的方程为y=f(x-2),

再+2%—2

联立直线MA,与直线NA2的方程可得：

x+2=%(X]+2)=%(町-2)=叩曲一2瓦+%升2%

x-2yt(X2-2)yt(my2-6)myxy2-6yi

48_32m_-16m.

m-------2---5——+2y.—5+2y,1

=4疗一14"一1-[4〃展].[_J.

4848m3'

由x弋+2=一:1可得》=-1,即号=T,

x-23

据此可得点p在定直线X=-1上运动.

【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力,

其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.

16.(1)Z)=V3;

(2)当6=浊时，*2,2拒)；

(3)6的最大值为深.