《数与式》综合提升卷（解析版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

数与式综合提升卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分3。分,每小题3分）

1.（3分）（2024•山东淄博・中考真题）下列运算结果是正数的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌

握运算法则是解题的关键.

根据正数的定义，负整数指数幕的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可.

【详解】解：A、3T=3是正数，符合题意;

B、-32=-9是负数，不符合题意；

C、一|-3|二-3是负数，不符合题意；

D、一6是负数，不符合题意；

故选：A.

2.（3分）（2024•山东德州•中考真题）下列运算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.a（a+1）=a2+1

C.Q2.a，=a6D.（a—I）2=a2—1

【答案】C

【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数冢乘法、完全平方公式等知识，根据运算法

则进行计算即可作出判断即可.

【详解】A.a2+a2=2a2,故选项错误，不符合题意；

B.a（a4-1）=a2+a,故选项错误，不符合题意；

C.a2-a4=a6,故选项正确，符合题意；

D.（a-l）2=a2-2a+l,故选项错误，不符合题意；

故选：C.

3.（3分）（2024•河北•中考真题）已知力为整式，若计算的结果为"，则力=（）

xy+y-x+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

【答案】A

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【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的

关键.

由题意得生一+n=3,对令+口进行通分化简即可.

产+xyxyxy+y4xr+xyxy

【详解】解：・・・告一士的结果为u,

xy+）rx^+xyxy

.y+口_A

xz+xyxyxy+y2

./+（x-y）（x+y）_/=x_H

xy（x+y）xy（x+y）xy（x+y）xy+y2xy+y2

:・A—x,

故选：A.

4.（3分）（2024・重庆•中考真题）估计g（四+，司的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

【答案】C

【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可.

【详解】解：:姨（或+75）=2遍+6,

而4VV24=2>/6<5,

/.10<2V6+6<11,

故答案为：C

5.（3分）（2024•广西•中考真题）如果a+b=3,ab=1,那么+2a2b2+Q/的值为（）

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可.

【详解】解：*.*a4-6=3,ab=1,

322

,*,ab+2a2b2+加=ab（a+2ab+b）

=ab（a+匕y

=1x32

=9：

故选D.

6.（3分）（2024•江苏扬州•中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,

3,5.....这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024

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个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答.

本题主要考杳的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键.

【详解】这一列数为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数.

由于2024+3=674…2,

即前2024个数共有674组，且余2个数，

，奇数有674x2+2=1350个.

故选：D

7.（3分）（2024•江苏南通•一模）已知关于工的多项式ax2十版十c（a40）,当工=。时，该多项式的值为

c-a,则多项式。2-/+3的值可以是（）

A.-B.2C.-D.1

442

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式

是解题的关键.由己知得+ab+c=c-a,化简得/=-b-L所以*-4+3=-b-1一+3==-

（b+g）2+£再求出8的取值范围，最后根据二次函数的图象与性质，可求出。2一房+3的取值范围，由

此可判断答案.

【详解】•••当x=a时，该多项式的值为c—a,

二+Qb+C=C—Q,

整理得。（水+6+1）=0,

Q工0,

二+/?+1=0,

即=—b-1,

:.a2—/?24-3=—b—1—b2+3

=—b2—b+2

=-("斤+£

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va2=-b-1,aH0,

d-1>0>

•••b<-1,

•.•当力=-1时，一浜+3=一（6+<）2+?=2,

根据二次函数的图象可知，当力<一1时，a2-b2+3<2.

故选A

8.（3分）（2024•山东济南•一模）设xWO,y<0,z<0,则三数x+Ly+Lz+1中（）

yzx

A.都不大于一2B,都不小于一2

C.至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三个数相加，得到（x+3+（y+3+（z+3,由已知可知％+打一2,y+i<-2,

z+-<—2»可得x+」+y+』+z+44―6,据此即可判定.

zy2x

【详解】解：x+：+y+3+z+g=（x+3+（y+3+（z+｝）,

vx<0,y<0,z<0,

•••x+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,当且仅当工=y=z=-1时，取等号

xyz

•••x+-+y+-+z+-<-6,

yzx

当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6,这与x+工+y+L+z+Lw-6矛盾，

yzx

••.这三个数中至少有一个不大于-2,

故选：C.

【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大.

9.（3分）（2024•重庆开州•模拟预测）有一台特殊功能计算器：刈任意两个整数只能完成求差后再取绝刈

值的运算，其运算过程是：输入第一个整数％I，只显示不运算，接着再输入整数%2,则显示氏1-&1的结果，

如依次输入1，2,则输出的结果是|1-2|=1.此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再

取绝对值的运算.

下列说法：

①依次输入1，2,3,4,则最后输出的结果是2；

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②若将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5：

③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数。，2,b,全部输入完毕后显示的最后结果为人.若左的

最大值为2024,则左的最小值为2020.

其中正确的个数有（）个

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值，绝对值方程.理解题意并分情况求解是解题的关键.

依次输入1,2,3,4,运算结果依次为|1-2|=1,|1—3|=2,|2-4|=2,即最后输出的结果是2,可

判断①的正误；将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3,第三次输入

为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为||2-3|-6|=5,可判断②的正误；令匕为最大的正

整数，当a=1时，才的最大值为|b-|1-2||=2024,可求满足要求的解b=2025,此时k的最小值为|1-

|2025-2||=2022；当b>a>2020时，£的最大值为-|a-2||=-a+2|=2024,可求满足要求

的解为b—Q=2022,此时女的最小值为|。一仍一2||=\a-b+2\=2020；综上所述，A的最小值为2020,

进而可判断③的正误.

【详解】解：依次输入1，2,3,4,运算结果依次为|1-2|=1,|1-3|=2,|2-引=2,，最后输出的

结果是2,①正确，故符合要求；

将2,3,6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3,第三次输入为6时，全部输入

完毕后显示的结果最大，最大值为||2-3|-6|=5,②正确，故符合要求；

令力为最大的正整数，当a=l时，〃的最大值为加一|1一2||二2024,

解得，8=2025或8=-2023（舍去），

此时k的最小值为|1-|2025-2||=2022；

当力,a>2020时，k的最大值为也-|a-2||=\b-a+2\=2024,

解得，力一。二2022或b-0!=-2026（舍去），

此时k的最小值为|Q-\b-2\\=\a-b+2\=2020：

综二所述，A的最小值为2020,

・••③正确，故符合要求：

故选：D.

10.（3分）（2024・安徽安庆・一模）生物学指出，在生物链中大约只有10%的能量能够流动到下一个营养

级，在/t”2TH3TH4TH5TH6这条生物链中（/表示笫n个营养级，m=1,2,…，6）,要使儿获得

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785千焦的能量，那么需要/提供的能量约为(用科学记数法表示)().

A.785X105千焦B.7.85X107千佳

C.78.5x106千焦D.7.85x108千焦

【答案】B

【分析】根据10%的能量能够流动到下一个营养级可知：要使也获得785千焦的能量，那么需要，5提供的

能量约为785x10千焦，以此类推.设需要提供的能量约为x千焦.根据题意列方程0.15%=785计算,

即得.

本题主要考查了乘方的应用.熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键.

【详解】设需要/提供的能量约为x千焦.

根据题意得：。.#工=785,

，10-5%=785,

解得，x=7.05x107,

••・需要为提供的能量约为7.85XIO,干焦.

故选:B.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.(3分)(2024,江西南昌•中考真题)分解因式：2a2-4a+2=.

【答案】2(a-I)2

【详解】解：先提取公因式2后维续应用完全平方公式分解即

原式=2(a2-2a+1)=2(a-l)2,

故答案为:2(a-l)2.

12.(3分)(2024•四川内江•中考真题)已知实数〃，〃满足研=1,那么号+号的值为.

【答案】1

【分析】先根据异分母的分式相加减的法则把原式化简，再把必=1代入进行计算即可.

【详解】解：言+志

产+1+/+1

(a2+l)(b2+1)

a2+b2+2

-a2b2+a2+b2+1

_a2+b2+2

~(ab)2+a2+d2+1

ab=1

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•库式一(/+*+2_<产+*+2_

••尔八一}2+a2+b2+1-混+川+2-1

【点睛】本题考查/分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入

求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值.

13.(3分)(2024•四川内江•中考真题)一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9,百位与个

位上的数字之和也为9,则称该数为“极数〃.若偶数m为“极数〃，且詈是完全平方数，则机=；

【答案】1188或4752

【分析】此题考查列代数式解决问题，设出小的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，

根据取值范围确定可能的值即可解答问题.设四位数m的个位数字为x,十位数字为八将机表示出来，根

据於是完全平方数，得到可能的值即可得出结论.

JJ

【详解】解：设四位数〃?的个位数字为X,十位数字为y,(x是。到9的整数，y是0到8的整数)，

Am=1000(9一y)十100(9-x)+y+x=99(100-10y-x),

・・5是四位数,

.*.99(100-10y-乃是四位数,

即1000<99(100-10y一幻V10000,

=3(100-10y-x),

A30^<3(100-10y-x)<303专，

•・W是完全平方数，

JJ

.*.3(100-10y-%)既是3的倍数也是完全平方数，

.*.3(100-10y-x)RW36,81,144,225这四种可能,

••噌是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425,

又掰是偶数，

：.m=1188或4752

故答案为：1188或4752.

14.(3分)(2024•广东广州•中考真题)如图，把Ri，&，附三个电阻串联起来，线路AB上的电流为/,

电压为U,则〃=//?[+/$+/%•当8=20.3,/?2=31.9,/?3=47.8,/=2.2时，U的值为.

凡

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【答案】220

【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键.根据(/=/&+

/R2+/R3,将数值代入计算即可.

【详解】解：•••(/=//?,+IR2+IR3,

当场=20.3,R2=31.9,/?3=47.8,/=2.2时，

U=20.3X2.2+31.9X2.2+47.8X2.2=(20.3+31.9+47.8)x2.2=220,

故答案为：220.

15.(3分)(2024•重庆•中考真题)一个各数位均不为0的四位自然数M=abed,若满足a+d=b+c=9,

则称这个四位数为“友谊数".例如：四位数1278,・.・1+8=2+7=9,，1278是“友谊数”.若赤^是一

个，友谊数"，且b-a=c-b=l,则这个数为；若时=旃是一个“友谊数”，设"(⑷=*且

型喑包是整数，则满足条件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到Q+d=b+c=9,再由b—Q=c—b=l可求出a、b、

c、d的值，进而可得答案；先求出M=999a+90b+99,进而得到型噜且=9a+8+半匕根据

131，

冬喑包是整数，得到9Q+8+”生是整数，即四詈是整数，则3a+b+6是13的倍数，求出QW8,

再按照。从大到小的范围讨论求解即可.

【详解】解：•・•旃是一个"友谊数〃，

，a+d=b+c=9,

又,：b-a=c-b=l,

，七=4,c=5,

Ja=3,d=6,

,这个数为3456；

=赤2是一个“友谊数〃，

：,M=1000a+100b+10c+d

=1000a+100b+10(9-b)+9-a

=999a+90b+99,

・・・F(M)=5=Illa+10/7+11,

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.F(M)+指+下

13

Illa+10b+11+10a+/?+10c4-d

二13

Illa+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-Q

二13

120a4-6+110

二13

117a+3a+b+104十6

13

=9a+8+陪

..F(M)+ab+cd

是整数,

3a+8+6

，9a+8+是整数，即生普是整数,

131J

，3a+b+6是13的倍数,

:a、b>c、d都是不为0的正整数，且a+d=b+c=9,

：,a<8,

・•・当Q=8时，31<3a+/）+6<38,此时不满足3Q+b+6是13的倍数，不符合题意;

当a=7时，28W3a+b+6435,此时不满足3Q+b+6是13的倍数，不符合题意；

当a=6时，2543Q+b+6<32,此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b=2,则此时d=3,c=

7.

二•要使M最大，则一定要满足。最大，

・•・满足题意的M的最大值即为6273；

故答案为:3456；6273.

16.（3分）（2024•北京・中考真题）联欢会有儿见C,。四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开

始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：

芍目ABCD

演员人数102101

彩排时长30102010

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一人彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节

目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。

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若节目按幺-B-C-ZT的先后麒序彩排，则节目。的演员的候场时间为min；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排

【答案】60C-A-B-D

【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键.

①节目。的演员的候场时间为30+10+20=60min；②先确定。在力的前面，月在。前面，然后分类

讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可.

【详解】解：①节目。的演员的候场时间为30+10+20=60min,

故答案为：60；

②由题意得节目力和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么。在4

的前面，8和。彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短-,些，那么8

在D前面,

・•・①按照3-A—。顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(10+1)x10+1x30=400分钟;

②按照，一8-。一4顺序,则候场时间为：(10+2+1)x20+(10+1)x10+10x10=470分钟;

③按照。一4一8-。顺序，则候场时间为：(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360分钟；

④按照8一力一。顺序，则候场时间为：(10+104-1)X10+(10+1)X20+1X30=450分钟;

⑤按照B-C-D-4顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+1)x20+10x10=530分钟；

⑥按照B-D-C-4顺序，则候场时间为：(10+10+1)x10+(10+10)x10+10x20=610分钟.

・•・按照。一4一B-。顺序彩排，候场时间之和最小,

故答案为：C—A—B—D.

三.解答题(共9小题，满分72分)

2

17.(6分)(2024•山西•中考真题)(1)计算：(―6)x[—G)+[(-3)+(―1)]；

⑵化简：(£+击)+若

【答案】(1)-10；(2)个

x+2

【分析】本题考杳的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幕，熟知运算法则是解题的关键.

(1)先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幕，最后算加减即可：

(2)先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.

【详解】解：(1)(一6)'5-6)-2+[(-3)+(-1)]

1/1\-2

=(-6)x--(^-J+(-3-1)

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=-2—4—4

=-10；

⑵(E+击)+罟

r+1+x-1(%+l)(x-1)

—(%+l)(x-1)x+2

2x(%+1)(%-1)

(x+1)(%—1)x+2

2x

~x+2'

18.(6分)(2024•福建•中考真题)已知实数a,瓦c,m,"满足3m+九=±,皿1=;

aa

⑴求证:按一12四为非负数；

⑵若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由.

【答案】⑴证明见解析：

(2)m,几不可能都为整数，理由见解析.

【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意

识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力.

(1)根据题意得出b=a(3m+m，c=G7m,进而计算〃一12ac,根据非负数的性质，即可求解；

(2)分情况讨论，①m,九都为奇数；②九为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已

知条件分析即可.

【详解】(1)解：因为3m+九==上，

aa

所以匕=a(3zn+n),c=amn.

则严—12ac=[a(3m+n)]2—12a.2mn

=a2(9zn2+677m+n2)-12a2mn

=G2(9m2-6mn+n2)

=a2(3m—n)2.

因为a,zn,八是实数，所以。2(3小一7。2N0,

所以反一12呢为非负数.

(2)皿几不可能都为整数.

理由如下：若mm都为整数，其可能情况有：①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数.

①当m,n都为奇数时，则37n+几必为偶数.

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又3m+九=2,所以a(3m+n).

a=

因为a为奇数，所以a（3m+n）必为偶数，这与b为奇数矛盾.

②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则nm必为偶数.

又因为nm=£,所以c=amn.

a

因为a为奇数，所以anm必为偶数，这与c为奇数矛盾.

综上所述，不可能都为整数.

19.（6分）（2024•河北•中考真题）如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点/,B,C所对应的数依次

为-4,2,32,乙数轴上的三点O,E,厂所对应的数依次为0,-12.

⑴计算力，B,。三点所对应的数的和，并求笠的值：

AC

⑵当点力与点力上下对齐时，点、B,C恰好分别与点E,尸上下对齐，求x的值.

【答案】（1）30,1

O

（2）x=2

【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键:

（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算AB,AC,从而可得答案；

（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可.

【详解】（1）解：•・•甲数轴上的三点4B,C所对应的数依次为一4,2,32,

.,.-4+2+32=30,AB=2-（-4）=2+4=6,AC=32-（-4）=32+4=36,

.AB61

**4C-36-6：

（2）解：•••点/与点。上下对齐时，点&C恰好分别与点E,/上下对齐，

•竺_竺

•,布一就‘

.x_12

**6-36*

解得：X=2.

20.（8分）（2024•山东威海•中考真题）定义

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我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数〃的绝对值.数轴上表示数a，b的点4B之间的距离48=

a-b(a>b).特别的，当aNO时，表示数〃的点与原点的距离等于0.当a<0时，表示数。的点与

原点的距离等于0-a.

应用

如图，在数轴上，动点4从表示-3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点8

从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

―।------1-------------------------1——>

一3O12

⑴经过多长时间，点46之间的距离等于3个单位长度？

⑵求点48到原点距离之和的最小值.

【答案】⑴过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝而值的意义等知识，解题的关键是：

(1)设经过x秒，则力表示的数为-3+%,〃表示的数为12-2无，根据“点儿〃之间的距离等于3个单

位长度〃列方程求解即可；

(2)先求出点46到原点距离之和为|-3+%|+|12-2川，然后分XV3,3<x<6,%>6三种情况讨

论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可.

【详解】(1)解：设经过x秒，则4表示的数为-3+%,8表示的数为12-2%,

根据题意，得|12-2%-(-3+幻|=3,

解得％=4或6,

答，经过4秒或6秒，点48之间的距离等于3个单位长度；

(2)解：由(1)知：点A,8到原点距离之和为3+%|+|12—2%],

当x<3时、|-34-x|+|12-2%|=3-x+12-2x=15-3x,

■V3,

/.15-3x>6,即|-3+刁+|12—2川>6,

当3WxW6时，|-3+%|+|12-2%|=x-3+12—2x=9—x,

V3<x<6,

A3<9-x<6,即3W|-3++|12-2x|<6,

当力>6时。，|-3+x|+|12-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

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•・4>6,

.\3x-15>3,即|-3+川+|12-2%|>3,

综二，|-3+x|+|12-2x|>3,

・••点4,B到原点距离之和的最小值为3.

21.（8分）（2024,四川凉山,中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：

下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点......第九行有几个点…

容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.

⑴探索：三角点阵中前8行的点数之和为,前15行的点数之和为,那么，前n行的点数之和为

（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和（填"能"或"不能"；为500.

⑶运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆......第九排2九盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

【答案】（1）36：120：1n（n+1）

（2）不能

（3）一共能摆放20排.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；

（2）根据前〃行的点数和是500,即可得出关于〃的一元二次方程，解之即可判断；

（2）先得到前〃行的点数和是几3+1）,再根据题意得出关于〃的一元二次方程，解之即可得出〃的值.

【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为1+2+3+4+5+6+7+8=T（1+8）X8=36,

前15行的点数之和为1+2+3+…+14+15="1+15）X15=120,

那么，前几行的点数之和为1+2+3+…+=1（14-n）xn=^n（n+1）；

故答案为：36：120：^n（?i4-1）；

（2）解：不能,

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理由如下:

由题意得］（九+1）=500,

得M+n—1000=0,

21=l2-4x（-1000）=4001,

・••此方程无正整数解，

所以三角点阵中前〃行的点数和不能是500:

故答案为：不能；

（3）解：同理，前n行的点数之和为2+4+6+…+2九=2xg（l+九）X九=九（九+1）,

由题意得n（n4-1）=420,

得九2+〃-420=0,即（几+21）（几一20）=0,

解得n=20或n=-21（舍去），

・•・一共能摆放20排.

22.（9分）（2024,江苏无锡•一模）阅读下面材料：

一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式.例

如：a+b+c,abc»a2+b2,...

含有两个字母a,b的对称式的基本对称式是a+b和ab,像a?+匕2,（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b,

222

ab表示，例如：a+b=（a+b）-2ab.请根据以上材料•解决下列问题：

（1）式子①a2b2②a2-b?③:+：中，属于对称式的是（填序号）；

（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n.

①若=求对称式2+的值：

Lab

②若n=-4,直接写出对称式字+字的最小值.

【答案】（1）①③；（2）①£+,=6：+5尹的最小值为

【分析】（1）根据对称式的定义进行判断：

（2）①先得到a+b=-2,ab=；,再变形得到2+?=邛=利牛弛，然后利用整体代入的方法计算；

2ababah

②根据分式的性质变形得到罢+器+/+〃+/,再利用完全平方公式变形得到（a+b）2-

2ab伫黯叱所以原式4m2§然后根据非负数的性质可确定察+器1的最小值.

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【详解】解：⑴式子①a2b2②a?-b2③十+抻，属于对称式的是①③.

故答案为①③；

⑵*.*x2+（a+b）x+ab=x2+mx+r

/.a+b=m,ab=n.

(T)a+b--2,ab=—,

b.a_a2+b2_(a+b)2-2ab_(-2)Z-2x1__

；+；=-=--=-1-=6;

2

②拶+华=次+»扶+/

=(a+b)2・2ab+("+*2ab

17..17

Rk

V-^m2>0.

16

・•・梨+整的最小值为弓.

【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可.

23.（9分）（2024・江苏盐城•中考真题）发现问题

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图I

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体枳和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成

点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有〃个籽，每列有上个籽，

行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（〃，左均为正整数，n>k>3,d>0）,如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

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方案1:图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为,共铲行，则铲除全部籽的路径总长

为;

方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为:

方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.

三三山【山川…NNX

后三声i中刖L.

图1图2图3

【答案】分析问题：方案1：(n-l)d：2k：2(〃-l)dk：方案2：2(k-l)dn：方案3：yX(2/c-l)nd：

解决问题：方案3路径最短，理由见解析

【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案

3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为亚咨=苧，根据眶意得一共有2孔列，2而斜着铲相当于

有〃条线段长，同时有2k-1个：即可得出总路径长：

解决问题：利用作差法比较三种方案即可.

题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键.

【详解】解：方案1：根据题意每行有〃个籽，行上相邻两籽的间距为d，

・•・每行铲的路径长为(n-l)d,

•・•每列有k个籽，呈交错规律排列，

・•・相当于有2k行，

•••铲除全部籽的路径总长为2(n-l)dk,

故答案为：(n-l)d；2k；2(n-l)d/c；

方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d,

・•・每列铲的路径长为(k-l)d,

•・•每行有〃个籽，呈交错规律排列，，

・•・相当于有2n列,

・•・俨除全部籽的路径总长为2(〃l)dn,

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故答案为：2(/c-l)dn；

方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为近乎=当，

根据题意得一共有2九列，2k行,

斜着铲相当于有。条线段长，同时有2k-1个，

・•・铲除全部籽的路径总长为：yX(2/c-l)nd；

解决问题

由上得：2(九—l)dk—2(k—l)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n—k)>0,

・•・方案1的路径总长大于方案2的路径总长；

2(〃-l)dn-yx(2/c-l)dn=[(2-V2)/c-2+y]dn,

*：n>k>3,

当A=3时，

(2-V2)x3-2+y=4-^>0,

2(&-l)dn-yx(2/c-l)dn>0,

・•・方案3铲籽路径总长最短，销他:员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗.

24.(10分)(2024•广东肇庆•一模)【发现问题】

由(a-b)220得，M+£)2之2ab：如果两个正数a.b,即a>0.b>0.则有下面的不等式：

Q+8N2而，当且仅当a=8时取到等号.

【提出问题】若Q>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析问题】例如：已知%>0,求式子”+冷勺最小值.

X

解：令。=》,8=±,则由。+匕22\^,得4+」之2=4,当且仅当％=±时，即x=2时，式子有最

xxyjxx

小值，最小值为4.

【解决问题】

请根据上面材料回答下列问题：

(1)2+32^2x3(用“二〃”>〃"<”填空)；当无>0,式子％+1的最小值为；

X

【能力提升】

(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙(墙长20米)，问这个

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长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（3）如图，四边形A8CD的对角线AC、BD相交于点0,△A0B.△C0D的面积分别是8和14,求四边形力BCD

面积的最小值.

【答案】（1）>,2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（3）

四边形4BCD面积的最小值为22+8V7

【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用.

（1）当%>0时，按照公式a+bN2而（当且仅当。=匕时取等号）来计算即可：当XV0时，一4%>0,

-->0,则也可以按公式Q+Z?2（当且仅当a=b时取等号）来计算；

（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为x米，另一边为y米，则xy=32,可得y=,，推出篱笆长=—十居

利用题中结论解决问题即可

（3）设SaBOC=%,已知S&40B=8,=14,则由等局二角形可知:S^goc,.S^cOD=^^AOB-^^AODr用

含X的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可.

【详解】解：（1）V2>0,3>0,且2H3,

A2+3>2V2T3；

当4>0时，x+->2lxX-=2,

XyjX

故答案为：>，2；

（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为工米，另一边为y米，

则xy=32,

32

•••尸丁，

二这个篱笆长=.X2+X=（当+无）米，

根据材料可得，丝+XN2旧工，当竺=%时，丝+%的值最小，

xyjxxx

x=8或一8（舍弃），

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3232.

•••y=—=—=4,

zx8

・•・当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是竺+%=8+8=16米.