2024年高中物理 专项强化4 带电粒子在组合场中的运动

专题强化4带电粒子在组合场中的运动

［学习目标］1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法（重点）。2.掌握带

电粒子在组合场中运动问题的分析方法（重点）。3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子

在组合场中的运动规律（难点）.

一、带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析

（1）洛伦兹力只改变带电粒子速度方向，不改变带电粒子速度大小。（J）

（2）静电力只改变带电粒子速度大小，不改变带电粒子速度方向。（X）

（3）带电粒子垂直匀强磁场入射，一定做匀速圆周运动。（V）

（4）带电粒子垂直匀强电场入射，也可能做匀速圆周运动。（X）

二、带电粒子在组合场中的运动

1.从电场进入磁场

【例11（2023・湖南长沙雅礼中学高二联考期末）在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的

离子P'和W一，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为4、方向垂直纸面

向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P'在磁场中转过。=30。后从磁

场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P+和尸一（）

A.在磁场中运动的半径之比为3：1

B.在电场中的加速度之比为1：1

C.在磁场中转过的角度之比为I:2

D.离开磁场区域时的动能之比为1：小

答案C

解析两个离子的质量相同，其带电荷量之比是1：3的关系，所以由牛顿第二定律有婚=

ma,得。=喘，可知二者在也场中的加速度之比是1：3,故选项B错误；

离子在离开电场时有Uq=^inv2,即。可知其速度之比为1:小，又由qvB="”,

知「=簿，所以其半径之比为短：1,故选项A错误；

由选项A分析可知，离子在磁场中运动的半径之比为市：1,设磁场宽度为，离子通过磁

场转过的角度等于其圆心角，所以有sinJ=5，则可知转过角度的正弦值之比为1：#,又

P+转过的角度为30。，可知A+转过的角度为60。，即在磁场中转过的角度之比为1：2,故

选项C正确：

由电场加速后有（7〃=3，加'\在磁场中洛伦效力不做功，可知，两离子离开磁场的动能之比

为1：3,故选项D错误。

【例2】如图所示,平面直角坐标系xQy中.第I象限存在沿y轴仇方向的匀强电场,第IV

象限在x轴与y=-d之间的区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为加、电荷量

为式#>0）的带电粒子以初速度如从），轴上P（0,力）点沿/轴正方向开始运动，经过电场后从

工轴上的点。（¥〃,0）进入磁场，粒子恰能从磁场的下边界离开磁场。不计粒子重力，求：

⑴粒子在Q点速度的大小和与x轴正方向的夹角0；

（2）匀强磁场磁感应强度大小&

（3）粒子在电场、磁场中运动总时间。

答案（1）2如60。（2喏（3陪嚼

解析（1）设粒子从。到。的过程中，沿y轴方向，加速度大小为。，运动时间为/,在。点

进入磁场时速度OQ沿），轴方向的分速度大小为Vyf且在Q点速度方向与X轴正方向夹角为

仇则

芈。=如

/i=^at2

vy=at

狈=、加+马,2

（an

vo

联立解得％=2g，。=60）

2

（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R,则打簧，得〃=翳

粒子运动软迹如图所示:

又由几何关系可得4=/?+5?，联立解得8=济2

(3)由(1)可知粒子在电场中运动的时间1=冷静。

根据几何关系，粒子在磁场中转过的圆心角为a=120。

在磁场中运动的周期：丁=黑=蚪

qtSJ。。

在磁场中运动的时间：t'=喘诃7=蜉

粒子运动总的时间：y=r+〃=今鲁+^。

带电粒子从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小

和方向，这是正确求解的关键。

【例3】(2023•广东佛山市月考)如图，在空间直角坐标系。一冷2中，界面I与。yz平面重

叠，界面I、H、III相互平行，且相邻界面的间距均为乙与x轴的交点分别为。、5、。2：

在界面【、II间有沿1y轴负方向的匀强电场，在界面1【、H【间有沿z轴正方向的匀强磁场。

一质量为〃?、电荷量为+«的粒子，从)，轴上距。点亨处的尸点，以速度加沿x轴正方向射

入电场区域，该粒子刚好从点。।进入磁场区域。粒子重力不计。求:

⑴匀强电场的电场强度的大小E；

(2)要让粒子刚好不从界面山飞出，匀强磁场的磁感应强度8应多大。

答案(1贵⑵皿产

解析画出平面图如图所示：

(1)粒子在电场区域内做类平抛运动，设电场中粒子加速度大小为a,沿z轴正方向看，如图

所示

粒子从a点进入右边磁场，则

由几何关系可知r+zros600=L

解得r=jL

v2

又因为qv(yB=ni-r

3〃秋）

解得B=

2qL

(2)带电粒子在电场中运动时，沿x轴有2L=O("2

沿y轴有L=^at21

又因为c/E=ma

解得e=貌

⑶带电粒子在磁场中运动时间为『揣武镁4x等X^=既

带电粒子在电场中运动时间为/2=非，

所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比然奇。

3.多次进出电场和磁场

【例5】(2022・乌苏市高二开学考试)如图所示，在第H象限内有水平向右的匀强电场，在第

I、第N象限内分别存在方向如图所示的匀强磁场，磁感应强度大小相等。有•个质量为"人

电荷量为q的带正电的粒子以垂直于x轴的初速度如从x轴上的P点进入匀强电场，并且

恰好与)，轴正方向成60。进入磁场，再经过一段时间乂恰好垂直于x轴进入第IV象限的磁场。

已知0尸之间的距离为"，不计粒子重力，求：

(I)电场强度石的大小：

⑵带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间。

答案(1)2qd(2)3%+9%

解析(1)粒子以垂直于八•轴的初速度进入水平方向的匀强电场，

则粒子做类平抛运动，由进入磁场时的速度与)，轴正方向成60。，

则有tan600=?

at\

qE

in

.12

d=W广

联立解得:“鬻

（2）定性地画出粒子在电场和磁场中的运动轨迹，如图所示：

由（1）可知，粒子在电场中的运动时间为：九=3引

粒子进入磁场的速度为：==2v

vVW?）\z\z（）

由Vot\=OM

/•sin60°=OM

41

解得粒子在磁场中做圆周运动的半径为：r=y

则粒子在磁场中的运动时间为：

Jx2兀/zX2nr，八,

_3______2________107td

VV~9次）

因此带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为，=人+々=斐^+等,

专题强化练

训练1带电粒子在组合场中的运动

I基础强化练

1.（多选）如图所示的坐标系中，），轴左侧存在电场强度为E的匀强电场，电场方向平行

于x轴，y轴右侧存在垂直坐标系所在平面向外的匀强磁场。•个比荷为火的带正电的粒子

从r轴上的M点以某一初速度平行于y轴向上运动，经电场偏转后从＞，轴上的P点进入磁

场，进入磁场时速度方向与'轴正方向成8=60。角，粒子经磁场偏转后打到坐标原点。上。

已知M点到。点的距离为L,不计粒子的重力，下列说法正确的是（）

A.P与。的距离为坐L

B.粒子轨迹半径为坐L

J

C.粒子初速度大小为亚鲁

D.磁场的磁感应强度大小为

答案CD

解析粒子的运动就迹如图所示，根据类平抛运动推论有§=1tan6（）。，解得户与0的距离s

=斗入，A错误；由s=2Rsin60。解得B错误；根据£=＞尸，a[=0（）tan60°,Eq=

ma,*]=k,联立解得的=1\后Z=1\/正Z,C正确；粒子在P点的合速度0=co：,0o=2的,

2.质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具。图中的铅盒A中的放射源放出

大量的带正电粒子（可认为初速度为零），从狭缝Si进入电压为U的加速电场区域加速后，

再通过狭缝S2从小孔G垂直于MN射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN为切线、磁感

应强度为8、方向垂直于泯面向外、半径为R的圆形匀强磁场。现在MN上的点尸（图中未

画出）接收到该粒子，且Gb=4R,则该粒子的比荷为（粒子的重力忽略不计）（）

A.cqB.cqC.cqD.cq

答案C

解析设粒子在加速电场被加速后获得的速度大小为v,由动能定理有qU=\nnr,粒子在

磁场中的运动轨迹如图所示，由几何知识知，粒子在磁场中做勺速圆周运动的轨道半密r=

^3°入Bqv=*:,则2=%与，故C正确。

3.如图所示，在平面直角坐标系x0v内，第1【、HI象限内存在沿〉，轴正方向的匀强电场，第

I、N象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M（L,0）点，磁场方向垂直于坐标

平面向外。一带正电粒子从第IH象限中的Q（—2L—乙）点以速度uo沿x轴正方向射入电场,

恰好从坐标原点O进入磁场，从P（2L,0）点射出磁场，不计粒子重力，求：

（1）电场强度与磁感应强度大小的比值；

⑵粒子在磁场与电场中运动时间的比值。

答案唠（2方

解析（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子的质量和所带电荷量分别为/〃和q,粒子在匀

强电场中运动，由类平抛运动规律及牛顿运动定律得，2L=Wi,L=1r/n2,qE=ma

联立解得E=*

乙qL

粒子到达。点时沿+），方向的分速度为2V=M=%tana=^=l,故a=45。。粒子在磁场

中的速度为v=yj2v（）o

粒子所受洛伦兹力提供向心力，

则Bqv=*,由几何关系得r=y[2L

o

联立解得B=

nIEVo

则广~2;

2TT?'1TIL

（2）粒子在磁场中运动的周期为丁=下，粒子在磁场中运动的时间为介=不7=元,

粒子在电场中运动的时间为八段,

解得，=：。

能力综合练

4.（多选）如图所示，虚线MN上方为匀强电场，下方为匀强磁场，匀强电场的电场强度大小

为E,方向竖直向下且与边界MN成。=45。角，匀强磁场的磁感应强度大小为以方向垂直

纸面向外，在电场中有一点P,尸点到边界MN的竖直距离为d。现将一质量为加、电荷量

为夕的带正电粒子从P处由静止释放（不计粒子所受重力，电场和磁场范围足够大）。则下列

说法正确的是（）

A.粒子第一次进入磁场时的速度大小

B.粒子第一次进入磁场到第一次离开磁场的时间，=我

c.粒子第一次离开磁场到第二次进入磁场的时间力=心铲

D.粒子第一次在磁场中运动的半径

答案AB

解析设粒子第一次进入磁场时的速度大小为v,由动能定理可得qEd=gmv2—(),解得v

故A正确；

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=平=鬻,由几何关系可得，粒子第一次进磁场

到第一次出磁场用时/=器，故B正确；

电场中由类平抛运动规律X=W|,)，=:，〃/,qE=ma,由几何知识可得x=y,解得八=｛那设，

故C错误；

由qvB=，点,缥解得故D错误。

5.如图所示的直角坐标系中，第一象限内存在与x轴成30。角斜向右下方的匀强电场，电

场强度E=400N/C；第网象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，其沿x轴方向的宽

度。4=2即cm,沿)，轴负方向无限大，磁感应强度8=1X10—4。现有一比荷为*=

2X10"C/kg的正离子(不计重力)，以某一速度即从。点射入磁场，其方向与x轴正方向的

夹角a=60。，离子通过磁场后刚好从A点射出，之后进入电场。

⑴求离子进入磁场的速度%的大小;

⑵离子进入电场后，经过多长时间再次到达x轴上。

答案(l)4X106m/s(2)A/3X10-7S

nA

解析(1)如图所示，由几何关系得离子在磁场中的轨迹半径­=0.2m,离子在磁场

zsina

中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力，由Bq0o="r^",

解得Vo=4X106m/So

(2)设离子进入电场后，经过时间，再次到达x轴上，由几何知识可知，离子从A点垂直电场

方向射入电场，则离子在电场中做类平抛运动，离子沿垂直电场方向做速度为g的匀速直

线运动，设位移为则八=Oof,离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，设加速

度为明位移为6,则Eij=nia,上二口々2,

由几何关系可知tana=7,

/i

代入数据解得—木又1()-7S。

尖子生选练

6.如图甲所示，直角坐标系宜为中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象

限内有垂直坐标系平面的匀强交变磁场，以磁场方向垂直纸面向外为正方向。第三象限内有

一发射装置(图中没有画出)沿)，轴正方向射出一个比荷2=100C/kg的带正电的粒子(可视为

质点且不计重力)，该粒子以的=20m/s的速度从x轴上的点A(—2m,0)进入第二象限，从

)，轴上的点C(0.4m)(C点未画出)进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，

第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。

⑴求第二象限内电场的电场强度大小；

(2)求粒子第一次经过x轴时的位置坐标。

答案见解析

解析(1)带电粒子在第二象限的电场中只受电场力，且电场力方向与初速度方向垂直，所

以，粒子做类平抛运动；

拉子从A点到C点用时s;

VQZUJ

粒子在水平方向上有。=(,

OA=%产，

m20A2X2

则有E=?N/C=1N/C;

100X(1)2

(2)设粒子进入磁场时的速度为v,

则其竖直分量vy=vo=20m/s,

=J

水平分量vx=at^t=2Qm/s：

所以，v=yj苏+口==2闪2m/s,。与y轴正方向的夹角为45°;

2

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得4%=等，粒子在磁场中做

圆周运动的半径

mv20\/2_V2

100X0.4m-2m：

粒子做圆周运动的周期7=邛=为s,

所以由题图乙可知，粒子每运动半个圆周，偏转方向改变一次，则粒子在磁场中的运动轨迹

如图所示

因为4、nm=8R,所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由几何关系可知,

粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为，1m：

所以OO=3m,

则粒子第一次经过x轴时妁位置坐标为（3m,0）o

训练2带电粒子在立体空间中的运动（选练）

1.（2022・广东卷）如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布

有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场.一质子以某一速度从立方体左

侧垂直0户平面进入磁场，并穿过两个磁场区域.下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面

的投影中，可能正确的是［）

答案A

解析由题意知当质子垂直0户平面进入磁场后先在MN左侧运动，刚进入时根据左手定

则可知受到y轴正方向的咨伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方向偏移，y轴坐

标增大，在MN右侧磁场方向反向，由对称性可知，A可能正确，B错误；根据左手定则可

知质子在整个运动过程中都只受到平行于大0），平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，

z轴坐标不变，故C、D错误.

2.（2023•广东广雅中学高二期末）如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与

N间的电势差为U；底面半径为L的圆柱体区域内有竖直向上的匀强磁场，一质量为〃人电

荷量为+q的粒子，从圆筒M右侧由静止释放，粒子在两筒间做匀加速直线运动，在N筒

内做匀速直线运动，粒了刍圆筒NH；来后，正对着磁场区域的中心轴线垂直进入磁场区域,

在磁场中偏转了60。后射巴磁场区域，忽略粒子受到的重力。求:

(1)粒子进入磁场区域时的速率;

(2)磁感应强度的大小。

答案⑴展Q)%

解析(1)粒子在电场中加速，由动能定理可知

解得

(2)根据题意以及“径向进，径向出”的规律，就迹如图所示(俯视图)

分析可得粒子在磁场中运动的软迹半径

/?=Ltan60°=小£

粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力，则有c]vB=nr^

解得B=峰强

3.利用电磁场控制带电粒子的运动路径，在现代科学实验和技术设备中有着广泛应用，如

图所示，一粒子源不断释放质量为〃八带电荷量为+小初速度为。o的带电粒子，经可调电

压U加速后，从O点沿刃方向射入长方体OMPQ-OMPQ空间区域。已知长方体