2024北师大版八年级数学上册 第1章《勾股定理》单元检测卷（含答案解析）

北师大版（2024）八年级上册数学第1章《勾股定理》单元检测卷

一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）

1.下列各组数据中，是勾股数的是（）

A.1B.051.2,1.3C.3\4152D.6,8,10

2.已知一直角三角形的三边的平方和为200,则斜边长为（）

A.20B.15C.10D.400

3.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两

隅相去适一丈.问户高、广各儿何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线

的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，若设门的高为“

尺，则根据题意可列方程为（）

A.X2+(X+6.8)2=1O2B.X2+(X-6.8)2=102

C.(X+6.8)2-X2=1O2D.(X-6.8)2-X2=IO2

4.公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿

道端点力和〃的笔直小径，则小径A8的长可能为（）

A.15米B.110米C.72米D.120米

5.如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为20cm,杯子底部直

径为8cm,杯子高为15cm,则筷子露出杯口部分长度的最小值为（）

第1页共27页

B.5cmC.4cmD.3cm

6.观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：

3,4,5）.现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的

面积为（）

（22-1）2+42=（22+1）2（32-1）2+62=（32+1）2

（42-1）2+82=（42+1广

（52-1）2+102=（52+1）2

A.245B.259C.336D.350

7.松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE,测得如下数据：①

测得8。的长度为12m；（8DLCE）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为15m；③

松松身高4△为1.6m,若松松同学想使风筝沿。。方向下降4m,则他应该往回收线（）

米.

_豆一

8.如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱

表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点力到点G2为AC的中点），每根石柱刻有雕龙的

部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（）

第2页共27页

c

B.12米C.16米D.20米

9.如图，在直角AABC中，ZC=9O°,AC=8,BC=6,按图中所示方法，将△BC。沿班）折叠,

使点。落在边A8上的点C处，则的面积为（)

A.6B.9C.10D.12

10.如图①，直角三角形的两个锐角分别是40。和50。，其三边上分别有一个正方形.执行下面

的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角

三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得

到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作

后图形中所有正方形的面积和为（）.

二、填空题

11.若一组勾股数的其中两个为5和12,则第三个勾股数是.

12.满足〃+82=02的三个正整数G匕，c称为一组勾股数，如3,4,5,就是一组勾股数.请

你再写出一组勾股数.

第3页共27页

18.在RtAABC中,ZC=90°,a,b,c分别是-A、/B、/C所对应的边.

⑴已知a=16,8=12,求c的长;

⑵已知c=13,(=12,求a的长;

19.如图，一艘轮船从A出发，自西向东航行，开往距它21海里的3处，海中有一个小岛C,

该岛周围10海里内有暗礁，已知A、C相距20海里，B、C相距13海里，你认为轮船在持续向东

航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由.

20.如图，在四边形A8C。中，ZDAB=ZBCD=90,分别以四边形A8CD的四条边为边向外作

四个正方形，面积分别为ab,c,d.若々+"=12,求"c的值.

第5页共27页

2L阅读与理解阅读下面材料，在理解的基础上解决下列问题.

勾股数，也称为毕达哥拉斯数，是指满足勾股定理/+从=,2的三个正整数a,b,c.其中a

和b是直角三角形的两条直角边长，。是斜边长.

勾股数可以通过以下公式生成:a=〃H=2〃m,c=〃/+〃2,其中/〃和〃都是正整数，且〃?>〃.

例如，当，〃=2,〃=1时，«=22-12=3,〃=2x2xl=4,c=22+12=5.因此，（3,4,5）是•一组勾股

数.

⑴使用勾股数生成公式，当加=4,〃=1时，求对应的勾股数（，也c）.

⑵若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数⑸12,13）,请你计算他代入的正整数力和

〃（小>〃）的值.

22.下图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口A的正北方向，入口A

和出口A在同一条直线上，DALAB,测得=>40=135m,/?C=100m.

第6页共27页

。(淘气堡)

(1)求摩天轮c到淘气堡D的距离;

(2)现要在距离摩天轮451n的E处修建游乐项目旋转木马(CE=45m),点8,C,E在同一条直

线上，此时恰好/汨_LEC,求淘气堡。到旋转木马E的距离.

23.综合与实践课上，老师给出定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形

为“垂美四边形”.同学们以此开展了探究活动:

图1图2

【概念理解】

(1)如图1,在四边形A3C。中，AB=ADfCB=CD,判断四边形A8CD________"垂美四边

形”(填“是"或“否”);

【问题应用】

第7页共27页

(2)如图2,四边形/WCO的对角线AC、4。交于点0,ACJ.BD.若04=1,0B=5,0C=7,

0D=2,则四边形A8C。的面积是

【性质探究】

(3)小明结合勾股定理的知识探究猜想：垂美四边形A8C。中，两组对边A3、CD与BC、AJ)这

四条边具有一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并给出证明.

24.“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90。，且三组

边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存

在全等三角形.

【模型呈现】

(1)如图1,在等腰直角AXBC中，ZACfi=90%AC=6C,过点C作直线DE,此>>1。上丁点。，

BEJ.DE于点、E,请直接写出40、%与力E之间的数量关系；

【模型应用】

(2)如图2,在等腰直角AABC中，48=90。，AC=BCt过点C作直线CQ,过点A作AO_LCO

于点。，过点"作3E1CQ于点E,AD=5,BE=12.

①求DE的长；

第8页共27页

②如图3,延长M,交4C于点?，求以7的长度.

图1

25.【问题初探】（1）数学课上，李老师给出在AABC中，已知N8=NC,求证：AH=AC.

证明：作的平分线交BC于点〃.

:./BAD=NCAD.

在△A8Z）和56中,

第9页共27页

V^BAD=^CAD,/B=NC,AD=AD,

：.,.48*AACD（AAS）,

:.AB=AC.

结论：有两个角相等的三角形是等腰三角形

接着出示了这样一个问题：

如图1,在库BC中，A6=AC,点6是AC_L一点，点£是A8延长线上的一点，连接石尸，交BC

于点〃，若ED=DF,求证：BE=CF.

①如图2,小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段。C上截取OM,使=

连蚤BW,利用两个三角形全等和已知条件，并应用了李老师前面证明的结论得出此题结论;

②如图3,小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点月作交CB的延长线

于点M利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；

请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；

【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的

思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答.

如图4,在&BC中，点后在线段A3上，〃是4c的中点，连接CEAD,CE与AO相交于点A；

第10页共27页

若/E4O+ZANC=180。，求证：AB=CN；

【学以致用】（3）如图5,在RlAABC中，ZBAC=90°,AF平分/明C,点〃在线段朋的延长

1741

线上，过点£作即〃心，交AC于点M交8C于点〃且即=8,AE=—,CN=—求8c

oot

的长.

第II页共27页

参考答案

一、选择题

1.D

【分析】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义.

根据勾股数的定义，逐项判断，即可求解.

【详解】解：A、%：不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；

B、05121.3不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意；

C、3、42=52,无法构成三角形，故本选项不符合题意；

D、・・・6,8,10是正整数,且满足6+82=102,・・.6,8,10是勾股数，故本选项符合题意;

故选：D

2.C

【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,利用勾股定理得/+从=02,再

由三边的平方和为200,得/+斤+02=200,根据两式即可求出斜边的长.

【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a,斜边为c,

22

根据勾股定理得：a+b=c\

9222

：a+b+c=2OOt

2c2=200,

/.c2=100,

Ac=10（舍去负值）

故选：C.

3.B

【分析】本题考查勾股定理的应用.高是K尺，则宽为（%-6.8）尺，根据矩形门的高、宽、对角

线因成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程.

【洋解】解：设门的高为x尺，则宽为6.8）尺，根据勾股定理得，

X24-（X-6.8）2=I02,

故选:B.

4.C

【分析】本题考查了三角形三边关系及勾股定理的实际应用，解题的关键是根据“近似垂直”

确定A及长度的合理范围，并结合直角三角形斜边的近似值筛选选项.

第12页共27页

【详解】解：两条绿道近似垂直，构成直角三角形，两直角边为45米、60米，根据勾股定理,

斜边48="？诙=75米(理论值).因为是近似垂直，AB长度接近75米，选项中72米符合.

故选：C.

5.D

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得

出结论.

【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小，

由题意得：AC,二8cm,BC=15cm,

\AB=V82+152=17cm，

则筷子露出।杯口部分长度的最小值为20-17=女01,

故选：D.

6.C

【分析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为14时，可设另一条直角边为〃2-1,斜边为〃2+],

其中2〃=14,解得〃=7,进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理是解题关键

222

【详解】解：根据题意得：|V-l)+(2,0=(^+l),其中2〃为一条直角边，〃2_I为另一条直

角边,夷+i为斜边,

・・•已知一条直角边为14,对应知=14,解得〃=7,

・•・另一条直角边：〃、1=72-1=48,

J斜边：〃'十1=7,十1=50,

482+142=2304+196=2500=5O2,

・••三角形为直角三角形，

A1x14x48=336,

故选：C

7.A

第13页共27页

【分析】本题先在直角三角形8CQ中利用勾股定理求出C。的长度，再求出风筝下降4m后新的

直角三角形的斜边长度，最后通过两者的差值得到应回收线的长度.本题主要考查了勾股定理

的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】解：在RJ8CD中，

=15m,3£>=12m

/.CD-JBC?-BD?-7152-122-J225-144

风筝下降4m后，新的CD长度为9-4=5(m)

此时在新的直角三角形中，斜边长度为川22+52=J144+25=VF而=13(m)

应回收线的长度为15-13=2(m)

故选：A.

8.I)

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据题意把

圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果.

•底面周长约为8米，柱身高约12米，

・・・AE=8米，BE=BD=；ED=6(米)，\

AAB=y/BE2+AE2=>/82+62=10(米)，

则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少10x2=20(米)，

故选:D.

9.A

【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理

求出48的长，然后利用折叠的性质求出AC的长，在V47O中，设"=x,则">=8-x,根据

勾股定理求出X的值即可，即可求解.

第14页共27页

【详解】解：•・NC=90°，4C=8,BC=6,

48=10,

根据折叠的性质，BC=BC,CD=DCfNC=ZAC'O=90。

AC=10-6=4

在VACO中，设DC=x,则4)=8-x,根据勾股定理得(87)2=/+42

角军用x=3

,\CD=3,

.•.△4DC的面积=gxAC=；x4x3=6,

故选：A.

10.C

【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点.根据勾股定理得到以直角三角形

各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键.

根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8,那么经过一次操作后增加的4个小正方形

的面积的和为4,那么经过一次操作后所有正方形的面积和8+4=12,同理可得经过2次操作

后增加的8个小正方形的面积的和也为4,那么经过2次操作后所有正方形的面积和

=12+2x4=20,所以每增加一次操作，面积就增加4,所以n次操作后，图中所有正方

形的面积和为8+4”，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于=8+4x10=48.

【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形力的边长为必正方形〃的边长为y,

②

・・・正方形力的面积为正方形〃的面积为V.

由题意得：正方形。的边长为2,并且是直角三角形的斜边.则正方形C的面积为4.

根据勾股定理可得：x2+y2=22=4.

.♦.正方形力的面积、正方形£的面积和为4；

・・・图①中所有正方形的面积和=4+4=8.

同理可得：正方形£的面积+正方形尸的面积;正方形力的面积，正方形G的面积+正方形〃的

第15页共27页

面积二正方形夕的面积，

・・・正方形月的面积+正方形尸的面积+正方形G的面积+正方形〃的面积二正方形A的面积+正方

形月的面积二4.

・••图2中所有正方形的面积利二图1中所有正方形的面积和加4为12.

即一次操作后所有正方形的面积和二图1中所有正方形的面积和加4为12.

同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4.

・・・2次操作后所有正方形的面积和二图1中所有正方形的面积和加2x4=8+2x4=8+8=16.

同理：3次操作后所有正方形的面积和二图1中所有正方形的面积和加=8+3x4=16：

4次操作后所有正方形的面积和二图1中所有正方形的面积和加=8+4x4=20；

・・・每增加一次操作，面积就增加4,

An次操作后，图中所有正方形的面积和为8+4〃

当〃=10时，图中所有正方形的面积和为=8+4x10=48.

故选C.

二、填空题

11.13

【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键.

设第三个数为x,分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】解：设第三个数为X,

分两种情况：

①12为最大数时，X2+52=122,

解得：x=VH9（不是整数，舍去）；

②'为最大数时，52+122=X2,

解玛：A=13（负值已舍去）；

综上所述，第三个勾股数是13.

故答案为：13.

12.6,8,10（答案不唯一）

【分析】本题考查勾股数问题.根据题意写出符合的式子即可.

【详解】解：・・・62+82=10。

第16页共27页

・,•勾股数可以是：6,8,10（答案不唯一）,

故答案为：6,8,10（答案不唯一）.

13.—km

O

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理..

用勾股定理可得附的长，根据线段之间的数量关系，结合勾股定理计算即可得NP的长.

【洋解】解：根据题意可知，在@一M47V中，MA=3切?，MN=5km,

：.=正4=4（h〃）,

设NP=xhn,则MP=xkin,AP=（4-x）加7,

在RjM4P中，（4-X）2+32=X2,X>0

25

解得，X=

【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于X的方

程是解题的关键.

由勾股定理求出AC=8,设CE=x,则4E=3£=8-x,然后在Rt-CE中由勾股定理列方程求解

即可.

【详解】解：〈把A\BC沿直线。后折叠，

AD=BD=5,AE=BE,

VZC=90°,BC=6,

AC=y]AB2-BC2=V102-62=8,

设CE=x,贝ljAE=8E=8-x,

在Rt*CE中，CE?+BC2=BE?,BPx2+62=（8-x）2,

第17页共27页

解得：X

4

•・・端.

故答案为：：.

4

15.10

【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定

理.

设AO=/15=x,表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可.

【详解】解：设=

CD=CE-DE=3-1=2,

:.AC=AE-CD=x-2,

由勾股定理得AR2=AC2+RC2

即X2/—2)2+36,

解得X=1O,

AD=IOm,

故答案为：10.

16.Q或6

【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理.利用勾股定理求出A8的长，然后分两

种情况：当点尸在线段0A上时，当点Q在线段AO的延长线上时，即可求解.

【详解】解：・.・AO=4,80=3,Z4OB=90°,

AB=>)0^+OB2=>/32+42=5，

如图，当点〃在线段Q4上时，

:.OC=BC-OB=2,

第18页共27页

设。P=x,则力尸=。=4一；r,

在中，OC'OP'CP；

：.22+X2=（4-X）2,

解得：x\3，

即8=5；

如图，当点U在线段A。的延长线上时,

0C=BC+如=8,

设。P=X,则力。=0=4+JT,

在Rt二COP中，OC2+OP2=CP2,

82+x2=（4+x）2,

解得：x=6,

即0P=6；

综上所述，OP的长为:或6.

故答案为：7或6.

三、解答题

17.解：（1）A的边长为直角三角形的斜边，则A的边长的平方等于两直角边边长的平方和,

两条直角边的平方分别为：36和64,

A的面积36+64=100；

（2）由直角三角形可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边边长的平方和，

:・S3=sz,则昆=另一5=11.

18.（1）解：•.zc=9（r,a=i6,〃=12,

第19页共27页

.\C=V162+12F=20；

(2)解：vZC=90°,c=13,/?=12,

.•.fi=V132-122=5.

19.解：如图所示，过点C作CO_LAA于点。,

根据题意可知，AB=21海里，AC=20海里，以7=13海里,

・,•设AO=x,则即=AB-AD=（21T）海里,

•；CD上AB,

/.在RtA/ACD中，CD2=AC2-AD2=202-x2,

在RtAfiCD中，CD2=BC2-BD2=132-(21-X)2,

202-X2=132-(2I-A)2,

解得，x=16,

CD=y1202-x2=A/202-162=12,

・.・C岛周围10海里内有暗礁,CD=12>10,

・•・轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险.

20.解：如图,连接

由题意可知：a=A3?,b=Bd,c=CD2,d=AD2.

在直角△A4O和△48中，Hiy=Alf+Alt:=CDi+BC2,

即a+4=〃+c,

,*'a4-J=12,

第20页共27页

/.b+c=12.

21.(1)解：当〃?=4,〃=1时，代入勾股数生成公式，

22

得°=-r=15,Z?=2x4x1=8,c=4+1=17.

对应的勾股数是(6817).

22

(2)解：根据题意得加一〃2=5,2mn=\2t/w+n=13.

/.mn=6.

又•・・，〃>〃，m,〃都是正整数，

/.w=6,〃=I或，〃=3,n=2.

当用=6,〃=1时，加2_〃2工5,不符合题意;

当用=3,〃=2时，m2-n2=5,m2+n2=13,符合题意.

rn=3,n=2.

22.(1)\DA±AB,

."BAC=90°.

AB=80m,BC=100m,

AC=dBC?-AB，=V1002-802=60(m).

・.・M>=135m,点C,。均在点A的正北方向，即点A,C,。在同一条直线上,

CD=135-60=75(m).

答:摩天轮。到淘气堡。的距离为75m

(2)-DELEC；

ZDEC=90°,

•»,CD=75m,CE=45m,

DE=y]CD2-CE2=J75、452=60(m),

答：淘气堡。到旋转木马E的距离为60nl.

23.(1)解：VAB=AD,CD=CB,AC=ACt

：.ADC^ABC(SSS),

第21页共27页

/DAC=ZBAG/DCA=ZBCA,

,:AD=AB,NDAO=NBA。,AO=AOf

：.ADO^.ABO(SAS),

:、公OD=ZAOB,

*：ZAOD+ZAO5=180°,

/.ZAOD=ZAO5=90°,

:.AC±BD,

・・・四边形A&7)是“垂美四边形”，

故答案为：是；

(2)解：,・•四边形ABC。的面积=S®+S、8+Scg+S®),

=-OAOB+-OBOC4--OCOD+-OD-OA

2222

=-(OAOB+OBOC+OCOD+OD-OA)

=；[08(OA+OC)+OD(OC+CM)]

=；[(OA+OC}(OB+OD)\

=-ACBD

2

=2X[(1+7)X(5+2)]

乙

=—x8x7

z

=28,

故答案为：28；

2222

(3)解：AB+CD=AD+BC9理由如下,

证明：在&.AQ6中，A6'=OA'+O3',

在Rf_BOC中,BC2=OB2+OC\

222

在R/ACOD中，CD=OC+ODf

在Rt^AOD中，AD2=OA2+OD2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,BC2+AD2=OA2+OB1+OC2+OD2,

:.AB2+CD2=AD2+BC2.

第22页共27页

24.解：（1）AD.跖与。£之间满足的数量关系为：AD+BE=DE；

理由如下：

由题意得：ZACD+ZBCE=Z4CD+ZCAD=90°,

ZBCE=ZGW；

・.・/ADC=NBEC=90。,AC=BC,

:.BCEZCAD,

:•八D=CE,BE=CD,

,:CD+CE=DE,

：.AD+BE=DE；

(2)①在等腰直角ABC中，ZACB=90°,AC=BCt

.-.Zl+Z2=90o,

AO_LCQ于点力，8E_LC£)于点

ND=NBEC=90。,

.\Z2+23=90°,

;.Z3=Z1,

ND=NBEC=90

在.A8和△CBE中，N1=N3

AC=BC

/^ACD0△C4E(AAS),

:.CD=BE=12,CE=AD=5,

:.DE=CD-CE=\2-5=1-

②设律=x,

在Rl/CE中，BC-=CE2+B£：2=52+122=169

在Rt..BCF中，CF2=BF2-BC1=(\2+X)1-\69

第23页共27页

在RtZXCEF中，CF2=CE2+EF2=52+X2

.\52+x2=(12+A)2-169,解得】=称

14

25.(1)①证明：在线段。C上截取ZW,使DM=8O,连接尸”