2024北师大版八年级数学上册 一次函数的应用每课时导学案汇编（含三个导学案）

4.4一次函数函数的图象

第1课时确定一次函数的表达式

01学习目标

1.能根据图象或实际情境确定正比例函数、一次函数的表达式，明确确定两种函数表达式所需的条件.

2.掌握用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤，并能运用表达式解决简单实际问题（如求特定自变量

对应的函数值、特定函数值对应的自变量）.

学习重点：能根据图象或其它实际情景确定一次函数的关系式，并了解确定--次函数关系式的条件.

学习难点：能利用一次函数解决一些简单的实际问题.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新:

函数解析式图象

正比例函数y=kj：（k是常数，攵视）一条过______点的______线

一次函数y=kx+b（k,b是常数，仁（））一条______线

新知自研：自研课本P95-P96页的内容，思考:

【学法指导】

情景引入

上节课我们学习了一次函数的图象与性质，会用“两点法''画一次函数图象，因为“两点确定一条直线

那反过来，如果已知•次函数的图象经过两个点，能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学的内容——确

定一次函数的表达式”

•探究一：确定正比例函数的表达式

町.呈现情境与图象：“某物体沿斜坡下滑，速度v（m/s）与时间心）的关系图象是过原点的射线，且经过点

（2,5）

问题：从图象中你能得到什么条件？

⑴请写出v与I的关系式；

【解答】：由图象可知，v是I的正比例函数，设（k#0）,直线过（2,5）,

则得，

解得：，

v与t之间的关系式为：

⑵卜滑3s时物体的速度是多少？

【解答】

酿.思考：“确定正比例函数表达式需要几个条件？”

•探究二：确定一次函数的表达式（待定系数法）

即.在弹性限度内，弹簧的长度），（单位：cm）是所挂物体质量x（单位：依）的一次函数.一根弹簧不

挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.

（1）请写出y与X之间的关系式，

（2）求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.

【分析】（1）设y与x的y一次函数表达式为,然后代入的值得到关于攵力的方程,

求解即可解答.

（2）当x=4时，代入函数表达式中即可求解.

［解答］（I）设/和）第一步：

由题意得：b.

____________________________________,第二步：____________________________________

解得：;.第三步：

所以在弹性限度内，第四步：

(2)当x=4时，y=故当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度为<

02.思考与交流

用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？

(1)设：设一次函数关系式，如(k#))；

(2)歹U：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的；

(3)解：解,求出k,b的值；

(4)代：将k,b值代回写出表达式.

【例题导析】

自研下面典例的内容，回答问题：

典例分析

例1：已知一次函数y=kx+b的图象经过(0,2),(1,3)两点.

⑴求这个一次函数的表达式；

(2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),求a的值,

例2：如图，直线1是一次函数y=kx+b(k/))的图象。

求：(1)直线1对应的函数表达式；(2)当y=2时，x的值。

第二环节合作探究

小组群学

在〃加长n傩颊F：

A.探讨如何求一次函数的表达式，总结用待定系数法求一次函数表达式的步骤;

B.交流例题的解题思路和易错点.

C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

巩固练习

1.如右图，直线/是某正比例函数的图象，点A(-4,12)、B(3,-9)是否在该函数的图象上？

2.如果一个正比例函数的图象经过点4(2,-1),那么这个正比例函数的解析式为()

A.y=2xB.2rC.卢夫D.y=-^x

3.如图，直线/是一次函数)=履+5的图象，填空:

(l)b=,k=：(2)当x=30时，y=：(3)当)=30时，x=.

4.已知y+2与x成正比例，且当x=5时，y=3.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当x=-l时，y的值是多少？

(3)当y=4时，x的值是多少？

04提升专练

题型一：已知两点确定函数表达式式

L一次函数y=h+〃的图象经过A(l,1),8(2,・1)两点，则这个函数的表达式为

2.已知)，是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则。的值为.

x012

ya\3

3.已知一次函数的图象经过人(2,0),B(0,4)两点.

(1)求此一次函数表达式；

(2)试判断点(-1,6)是否在此一次函数的图象上.

4.已知y是x的一次函数，且当1=0时，了=3；当x=-2时，y=6.

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当x=3时，求出对应)，的值.

5.已知一次函数)，=h+7的图象经过点A(2,3).

(I)求女的值；

(2)判断点8(-1,8),C(3,I)是否在这个函数的图象上，并说明理由;

(3)当-3VxV-1时，求y的取值范围.

题型二：由函数图象确定函数函数表达式式

6直线产依+。在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为（）

A.y=2x+4B.y=-2r+4C.y=4x+2D.y=-4A--2

7.如图，一次函数），=依+8（原0）的图象经过点4、B.

（1）根据图象，求一次函数的解析式；

（2）将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m,-5）,求〃?的值.

8.一次函数丫=心+〃的图象如图所示:

（I）求出该一次函数的表达式：

（2）当x=10时，），的值是多少？

9.如图，直线/是一次函数)，=4+方的图象.

(1)求直线/的解析式；

(2)如果直线/向上平移3个单位后，经过点A(3,〃])，求〃?的值.

10.已知正比例函数与一次函数的图象交广点人(1,3)；

(I)求这两个函数的解析式；

(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；

题型三利用已知函数关系式，再求函数关系式

11.已知y+4与x-3成正比例，且x=5时y=4,则当x=2时，y的值为

12.已知_v+2与x+1成正比，且x=2时y=7.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当y=4时，求x的值.

13.已知），与x-I成正比例，且当x=3H寸，y=4.

（1）求出），与x之间的函数解析式；

（2）当工=1时，求y的值.

14.已知>=户+",且）“-3与工成正比例，），2与x-2成正比例，当x=2时，y=7,当x=1时，y=0.

（1）求出），与x之间的函数关系式；

（2）计算x=4时，y的值.

15.已知y+2与4-x成正比例，且x=3时，y=1.

（I）求y与r之间的函数表达式：

（2）当-2V）Y1时，求x的取值范围.

题型四由三角形的面积确定一次函数表达式

16.已知某直线经过点A（0,2）,且与两坐标轴围成的三角形面积为2.则该直线的一次函数表达式

是.

17.已知一次函数的图象经过点尸（0,-2）,且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3,则此一次函

数的解析式为.

18.已知一次函数3，=&+%（原0）的图象经过点A（3,0）,与｝，轴交于点8,。为坐标原点.若AAOB的

面积为6,则该一次函数的解析式为.

19.已知一次函数y=-2i+方的图象与x轴交于点4,与y轴交于点8,0为坐标原点.若Sz\on=6,求一

次函数解析式.

20.如图，在中，以0为原点构建直角坐标系，点8在五轴上，A8与），轴交于点。（33）,已知

08=4,S^AOB=8.

（1）求直线A4的解析式：

（2）求点A的坐标.

05随堂笔记

▲1.用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？

（1）设：设一次函数关系式，如（k#））；

（2）歹I」：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的

（3）解：解,求出k,b的值；

（4）代：将k,b值代回写出表达式.

参考答案与试题解析

4.4一次函数函数的图象

第1课时确定一次函数的表达式

01学习目标

1.能根据图象或实际情境确定正比例函数、一次函数的表达式，明确确定两种函数表达式所需的条件.

2.掌握用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤，并能运用表达式解决简单实际问题(如求特定自变量

对应的函数值、特定函数值对应的自变量).

学习重点：能根据图象或其它实际情景确定一次函数的关系式，并了解确定--次函数关系式的条件.

学习难点：能利用一次函数解决一些简单的实际问题.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新:

函数解析式图象

正比例函数y=kj：(k是常数，攵视)一条过原点的亘线

一次函数y=kx+b(k,b是常数，仁())一条工线

新知自研：自研课本P95-P96页的内容，思考:

【学法指导】

情景引入

上节课我们学习了一次函数的图象与性质，会用“两点法''画一次函数图象，因为“两点确定一条直线

那反过来，如果已知•次函数的图象经过两个点，能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学的内容——确

定一次函数的表达式”

•探究一：确定正比例函数的表达式

即.呈现情境与图象：“某物体沿斜坡下滑，速度v(m/s)与时间t(s)的关系图象是过原点的射线，且经过点

(2,5)

问题：从图象中你能得到什么条件？

过原点的射线T正比例函数的表达式V=kt

⑴请写出v与t的关系式；

【解答】：由图象可知，v是t的正比例函数，设良（厚0）,直线过（2,5）,

则得5=2k,

解得：k=2.5,

v与［之间的关系式为：v=2.51.

⑵下滑3s时物体的速度是多少？

【解答】:当1=3时,v=2.5x3=7.5（m/s）.

所以下滑3s时物体的速度是7.5m/s.

国2.思考：“确定正比例函数表达式需要几个条件？

I个，除原点外的一组对应值或一个图象上的点.

•探究二：确定一次函数的表达式（待定系数法）

01.在弹性限度内，弹簧的长度），（单位：cm）是所挂物体质量x（单位：依）的一次函数。一根弹簧不

挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.

（1）请写出y与X之间的关系式，

（2）求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.

【分析】（1）设v与x的v一次函数表达式为丫=心+〃，然后代入乂），的值得到关于攵力的方程，求解

即可解答.

（2）当x=4时，代入函数表达式中即可求解.

【解答】（1）设y=kx+b（k,O）第一步：设•次函数表达式

由题意得：14.5=由

_____16=3k+b,第二步：列方程

解得：b=14.5；k=0.5.第三步：解方程

所以在弹性限度内，y=05r+145第四步：代回表达式

(2)当x=4H寸，y=0.5x4+4.5=16.5.

改当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度

m2.思考与交流

用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？

(1)设：设一次函数关系式，如产kx+b(k¥O)；

(2)歹U：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的方程;

(3)解：解两个方程,求出k,b的值；

(4)代：将k,b值代回写出表达式.

【例题导析】

自研下面典例的内容，回答问题：

典例分析

例1：已知一次函数y=kx+b的图象经过(0,2),(1,3)两点.

(I)求这个一次函数的表达式；

解：由题意得：b=2,k+b=3,

故k=l；

那么一次函数的表达式为y=x+2o

(2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a,0),求a的值。

解：(2)由题可知，点A(a,0)在一次函数y=x+2的图象上，

所以0=a+2,

那么得出a=-2o

例2：如图，直线1是一次函数y=kx+b(k,0)的图象。

求：(1)直线I对应的函数表达式：(2)当y=2时，x的值。

(1)由图可知,直线1经过点(一2,0)和点(0,3),

将其坐标代入一次函数表达5Cy=kx+b,得到-2k+b=0,b=3.

解得k=3/2,则直线1对应的函数表达式为y=3/2x+3.

(2)当y=2时，有2=3/2x+3.解得x=-3/2。

第二环节合作探究

小组群学

在〃组长的带领下:

A.探讨如何求一次函数的表达式，总结用待定系数法求一次函数表达式的步骤;

B.交流例题的解题思路和易错点.

C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

口巩固练习

1.如右图，直线/是某正比例函数的图象，点A(・4,12)、B(3,-9)是否在该函数的图象上？

解：设直线/的解析式为(/0),

由于直线过点(-1»3),故3=-k,解得r-3,

那么直线/的解析式为尸-3x.

当x=-4时,y=-3x(-4)=12；当x=3时,>'=-3x3=-9；

所以点A(-4,12),B(3,-9)都在该函数的图象上.

2.如果一个正比例函数的图象经过点A(2,-1),那么这个正比例函数的解析式为(D)

A.y=?.xB.>=_2rC.)=枭D-y=—

3.如图，直线/是一次函数产依+b的图象，填空：

(l)b=2,k;彳：⑵当x=30时，v=-18；⑶当尸30时，x=-42.

4.已知y+2与x成正比例，且当x=5时，y=3.

(1)求y与x之间的函数关系式；

解：根据题意，设y+2=米.

把x=5,y=3代入，得3+2=5鼠解得：k=\.

所以y+2=x,

即y与x之间的函数关系式为y=x-2.

(2)当x=-l时，y的值是多少？

把x=-1代入y=x-2,得y=-3.

(3)当y=4时，x的值是多少?

把>'=4代入y=x-2,得4=x—2,解得x=6.

提升专练

题型一：已知两点确定函数表达式式

1.一次函数y=H+〃的图象经过A(l，1),B(2,7)两点，则这个函数的表达式为.

【分析】用待定系数法，把A(1,1),B(2,-1)两点代入)，=辰+4得到关于女，人的方程组，解方程

组即可得到一次函数的解析式.

【解答】解：•••一次函数y=H+〃的图像经过A(1,I),B(2,-I)两点，

(k+b=1

"tz/c+/)=-r

解得：忆二

二该一次函数的解析式为：y=-2x+3.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握特定系数法是解题的关键.

2.已知)，是关于x的一次函数，下表列出了部分对应值，则。的值为.

ya\3

【分析】根据给定数据，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征,

即可求出a的值.

【解答】解：设一次函数的解析式为〉，=衣+〃(原0).

将(1,I),(2,3)代入)，=丘+人得：4广上二匕，

十。一3

解得Y

，一次函数的解析式为y=2x-1.

当x=0时，y=-1,

=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据给定数据，利

用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.

3.己知i次函数的图象经过A（2,0）,B（0,4）两点.

（1）求此一次函数表达式；

（2）试判断点（-1,6）是否在此一次函数的图象上.

【分析】（1）设一次函数的解析式为＞=履+%（原0）,再把A（2,0）,B（0,4）代入求出上的值即可；

（2）把x=-I代入（1）中函数解析式进行检验即可.

【解答】解：（1）设一次函数的解析式为丁=h+力（后0）,

•M（2,0）,B（0,4）在函数图象上，

/V4b=。，解得忆”

・••一次函数的解析式为：y=・2计4；

（2）由（1）知，函数解析式为：y=-2计4,

二当尸-1时，y=6,

••・点（-I,6）在一次函数的图象上.

【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数

的解析式是解题的关键.

4.已知y是x的一次函数，且当工=0时，），=3；当x=-2时，y=6.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）当工=3时，求出对应），的值.

【分析】（I）设一次函数解析式为），=心+4然后把两组对应值分别代入得到A〃的方程组，解方程组求

出鼠〃即可求解；

（2）把x=3代入一次函数的表达式即可求解.

【解答】解：（1）设一次函数解析式为），=h+4

3

b=3k-

解得-2

6

b3

所以这个一次函数的表达式为）=-|v+3；

（2）当x=30寸，

33

v=-4x3+3=-5.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式y="+b；将自变量x的值及

与它对应的函数值)，的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出

待定系数的值，进而写出函数解析式.

5.己知一次函数)，=履+7的图象经过点A(2,3).

(I)求女的值；

(2)判断点8(-I,8),C(3,I)是否在这个函数的图象上，并说明理由；

(3)当-3<x<-1时，求y的取值范围.

【分析】(1)将已知点坐标代入一次函数解析式中即可求出k的值.

(2)把8、C点的坐标代入解析式即可判断.

(3)把％=-3和X=・1分别代入解析式，分别求得函数值，根据求得的函数值即可求得.

【解答】解：(1)将x=2,y=3代入一次函数解析式得：3=2女+7,

解得：k=-2.

(2)当尸-I时，尸-2x+7=2+7=9^8,

当x=3时，y=-2,v+7=-6+7=1,

所以，点8(-1,8)不在这个一次函数的图象上；点C(3,1)在这个函数的图象上；

(3)当％=・3时，>'=-2.v+7=6+7=13,当x=-1时，)，=・2x+7=2+7=9,

所以当-3VxV・l时，y的取值范围是9V)，V13.

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数

法是解本题的关键.

题型二：由函数图象确定函数函数表达式式

6.直线在直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为()

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=4x+2D.y=-4x-2

【答案】A.

【分析】根据待定系数法即可求出函数表达式.

【解答】解：设直线的解析式为.y=h+4

由图象可知直线与坐标轴的交点为(-2,0),(0,4),

把点(-2,0),(0,4)代入)，=h+b得

(-2k+b=0

U=4

解%：4-

•,.该直线的函数解析式为y=2x+4,

故选：A.

【点评】本题考查了待定系数法求•次函数的解析式，-次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数

法是解题的关键.

7.如图，一次函数)，="+8(原0)的图象经过点八、B.

(1)根据图象，求一次函数的解析式；

(2)将一次函数图象向下平移5个单位后经过点(加，-5),求〃?的值.

【分析】(1)根据待定系数法求得即可；

(2)求得平移后的直线的解析式，代入点(〃［，-5),即可求得〃?的值.

【解答】解：(1)由图象可知，一次函数丁=依+A(后0)的图象经过点A(2,6)、B(・4,-3),

(2k+/?=6

f—4k+b=—3'

3

k-

解得2

b3

所以一次函数的表达式为：y=2-v+3；

(2)将直线AB向下平移5个单位后得到尸|户3-5,即产lx-2,

,••经过点(m,-5),

-5=乙-2,

解得m=-2.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与

几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

8.•次函数），=h+〃的图象如图所示：

（I）求出该一次函数的表达式；

（2）当x=IO时，1y的值是多少？

【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式；

（2）代入x=10求出与之对应的），值.

【解答】解：（1）观察函数图象，可知：点（2,0）,（6,4）在函数）=履+〃的图象上，

•・•度MU，解得：隹=。「

16k+b=45=-2

・•・该一次函数的表达式为y=r-2.

（2）当x=IO时，y=10-2=8.

【点评】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，

解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）牢记直线上任意一点的

坐标都满足函数关系式）=心十〃.

9.如图，直线/是一次函数,，=心+〃的图象.

（I）求直线/的解析式；

（2）如果直线/向上平移3个单位后，经过点A（3,〃?），求〃?的值.

y

【分析】(i)利用待定系数法求得即可；

(2)利用平移的规律求得平移后的直线解析式，点A(3,〃])代入得到关于机的方程，解方程即可.

【解答】解：⑴把点(-2,0),(0,1)代入产质+。得+b=0,

<0=1

1

k-

解得2

b1

•,・直线I的解析式为y=/+1；

(2)直线/向上平移3个单位后得到产|x+l+3=|x+4,

,:经过点A(3,m),

1,.11

•••/.»?=2x3o+4=7

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几

何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

10.已知正比例函数1y=/址与一次函数y=ar+〃的图象交于点A(1,3)；

(1)求这两个函数的解析式；

(2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；

【分析】(1)把A(1,3)代入)，=〃吠，利用待定系数法求得正比例函数的解析式；把A(1,3),(-

2,0)代入y=or+力，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；

(2)首先求得一次函数与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可求得答案；

【解答】解：(1)把A(1,3)代入y=m,得，〃=3,

则正比例函数的解析式为V=3A-：

把A(1,3),(-2,0)代入

得,解得｛£=；，

<-2cz+b=03=2

则一次函数的解析式为：y=x+2；

(2)•••一次函数的解析式为：)，=x+2,

・••一次函数与y轴的交点坐标为：(0，2),

又一次函数与x轴的交点坐标为：(・2,0),

・•.该一次函数的图象与坐标轴所囹成的三角形的面积为：1x2x2=2：

【点评】此题考查了两条直线的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积.正确求出两

个函数的解析式是解此题的关键.

题型三利用已知函数关系式，再求函数关系式

11.己知y+4与x-3成正比例，且x=5时y=4,则当x=2时，y的值为.

【分析】由尹4与x-3成正比例，设尹4=”(x-3),把工与)，的值代入求出女的值，即可确定出y与x

函数关系，把工=2代入计算即可求出)，的值.

【解答】解：••・)，+4与x-3成正比例，

•,•)+4=&(x-3),

,•□=5时，)，=4,

••.8="(5・3),

解得：2=4,

故)4-4=4(x-3),

即y与x之间的函数关系式为尸4「16,

当x=2时，y=4x2-16=-8,

故答案为：-8.

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握特定系数法是解本题的关键.

12.已知y+2与x+1成正比，且x=2时y=7.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当y=4时，求x的值.

【分析】(I)根据题意可设y+2=&(.1+1),然后把x=2,y=7代入进行计算求出女的值即可解答；

(2)把y=4代入(I)所求的函数表达式，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）设），+2=%（A+1）,

把％=2,），=7代入y+2=A（x+l）中可得：

7+2=4（2+1）,

解得：k=3,

.,­）+2=3（x+1）»

•\y=3x+l,

.\y与x之间的函数关系式为：y=3x+l；

（2）当y=4时，3x+l=4,

解得：x=\,

的值为1.

【点评】本题考杳了一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数解

析式是解颍的关键.

13.已知y与x-I成正比例，且当x=3时，y=4.

（1）求出y与x之间的函数解析式；

（2）当％=1时，求y的值.

【分析】（1）利用正比例函数的定义，设），=A（x・l）,然后把己知的一组对应值代入求出k即可得到），

与工的关系式；

（2）利用（1）中关系式求出自变量为1时对应的函数值即可.

【解答】解：（1）设），=%（x-I）,

把x=3,），=4代入得（3-1）k=4,解得&=2,

所以y=2（x-1）,

即y=2x-2；

（2）当x=1时，y=2xl-2=0.

【点评】本题考查考查了待定系数法求次函数解析式：先设出函数的般形式，如求次函数的解析式

时，先设），=履+力；再将自变量x的值及与它时应的函数值），的值代入所设的解析式，得到关于待定系数

的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

14.已知），=户+”，且产-3与x成正比例，”与x-2成正比例，当x=2时，y=7,当x=l时，），=（）.

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）计算x=4时，y的值.

【分析】（1）设yi-3=Aix,yi=ki（x-2）,可得y=hr+3+&2（x-2）,把x=2,y=7和x=1,y=0

代人求解即可.

（2）由（1）可直接把x=4代入求解.

【解答】解：（I）设>1-3=匕心yi=ki（x-2）,

•.?=）,]+j2，

'-y=k\x+3+ki（x-2）,

把x=2,y=7和x=1,y=0代入得，

（7=2自+3

%=自+3-上2’

解哦;二，

.,.y=2x+3+5（x-2）=7x-7,

・•.丁与x之间的函数关系式为：y=7x-7.

（2）把x=4代入y=7x-7得：

>=7x4-7=21.

【点评】本题主要考查正比例函数的定义及求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义及求函数解析式的

方法是解题的关键.

15.已知y+2与47成正比例，且x=3时,y=\.

（I）求y与x之间的函数表达式；

（2）当-2V），V1时，求x的取值范围.

【分析】（1）根据题意设），+2=%（4・幻（必0）,把尸3,），=1代入求出k的值，即可确定出y与x的

函数关系式；

（2）求出），=・2、），=1时的自变量％的值，然后根据一次函数的增减性写出工的取值范围即可.

【解答】解：（1）设），+2=2（4-工）（原0）,

把x=3,），=1代入得：1+2=&,

解得：k=3,

则该函数关系式为：y=-3x+IO；

（2）把y=-2代入y=-3x+l。，得x=4,

把）=1代入y=-3x+10,得X=3,

.•.当-2V），V1时，3<x<4.

题型四由三角形的面积确定一次函数表达式

16已知某直线经过点A（0,2）,且与两坐标轴围成的三角形面积为2.则该直线的一次函数表达式

是.

【分析】设直线解析式为产h+b,先把（0,2）代入得h=2,再确定直线与x轴的交点坐标为（-p0）,

然后根据三角形的面积公式得到:x2x|-3=2,解方程得女的值，可得所求的直线解析式.

【解答】解：设直线解析式为），=履+4

把（0,2）代入得1=2,

所以y=^+2,

把y=0代入得x=

12

所以3x2x|一力=2,

解得；A—I或-I,

所以所求的直线解析式为y=x+2或），=-x+2.

故答案为：y=x+2或），=-X+2.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数），=h+仇（后0,且k,）为常数）的图象是

一条直线.它与入轴的交点坐标是（-必，0）；与），轴的交点坐标是（0,b）.直线上任意一点的坐标都

满足函数关系式），=履+氏

17.己知一次函数的图象经过点尸（0,-2）,且与两条坐标轴截得的直角三角形的面枳为3,则此一次函

数的解析式为.

【分析】由题意可设函数解析式为1y=3-2,求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积=聂耳卜|可得出关于火

的方程，解出即可得出A的值，进而可以求出函数解析式.

【解答】解：设一次函数的解析式为〉，=依-2,

72

令）=0,得x=3则一次函数的图象与x轴交点坐标为（丁，0）,

Kk

122

.••面积=2X2X%|=3,解得：％=专.

•••一次函数解析式为：尸3-2,或产一杀-2.

故答案为：y=杀-2,或y=-jr-2.

【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长

度的转化.

18.已知一次函数)，=入+/?(存0)的图象经过点A(3,0),与y轴交于点8,。为坐标原点.若MOB的

面积为6,则该一次函数的解析式为.

【分析】分两种情况：当点8在y轴正半轴时，当点8在)，轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即

可解答.

【解答】解：•••点A(3,0),

••・04=3,

•.•”O月的面积为6,

1

•••一0小08=6,

2

1

•••-x3・OB=6,

2

.••。8=4,

(0,4)或(0,-4),

将A(3,0),B(0,4)代入)，=履+力(原0)得：

(3/c4-b=0

U=4，

解得：卜=-*

3=4

.L次函数的解析式为：产一上+4,

将A(3,0),B(0,-4)代入丁=日+力(原0)得：

・••一次函数的解析式为：＞'=4,

综上所述：一次函数的解析式为：尸-$+4或尸氏-4,

故答案为：y=-*+4或y=*-4.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分

两种情况讨论是解题的关键.

19.已知一次函数-2r+〃的图象与x轴交于点A,与y轴交于点从0为坐标原点.若SMOB=6,求一

次函数解析式.

【分析】先根据一次函数的性质求出。A，CM的长，再根据SmO8=6建立方程，解方程可得〃的值，由

此即可得.

【解答】解：对于一次函数y=-2x+4

则力&

当y=0时,x=1,0),OA=|||,

当x=O时，y=b,则8(0,b),OB=\b\,

-A轴ly轴，S“OB=6,

OA•OB=-x|—|x|/?|=6»即力2=24,

解得b=±2n，

则一次函数解析式为y=-2x+2遍或y=-2x-2遍.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的解析式，正确表示04,OB

的长是解题关键.

20.如图，在△ABO中，以0为原点构建直角坐标系，点B在x轴上，与)，轴交于点C(0,3),已知

08=4,&AOB=8.

(1)求直线AB的解析式；

(2)求点A的坐标.

【分析】(1)利用点8与点C的坐标，结合待定系数法可得直线的解析式；

(2)利用三角形面积公式求出人点纵坐标，继而求出横坐标，从而可知A点坐标.

【解答】解：•••根据图形，点8在x轴上，0B=4,

:.B(4,0),

设直线48的解析式为：y=区+儿

将点8,C代入得：片/=°,

3=3

解得：卜=_=，

.£>=3

•,・直线AB的解析式为：y=-^x4-3；

(2)设点A(/%,〃)，

,:S&AOB=1x05xn=^x4xn=2n=8»

令y=-：x+3=4,解得％=一

•••m=—

.,•点A的坐标为(一，4).

【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，几何面积与一次函数综合，牢记待定

系数法和三角形面积公式是解题的关键.

随堂笔记

▲1.用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？

(1)设：设一次函数关系式，如产kx+b(k¥O)；

(2)歹U：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的方程;

(3)解：解两个方程,求出k,b的值；

(4)代：将k,b值代回写出表达式.

4.4一次函数的应用

第2课时一次函数图象的应用

1.能借助单个一次函数图象，准确提取信息并解决实际问题；

2.理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用这种关系求解一元一次方程的解.

学习重点：借助单个一次函数图象提取信息，解决实际问题；

学习难点：理解•次函数与••元一次方程的关系，能利用这种关系求解•元•次方程的解.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新：

1.“确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？”

2.“我们常用什么方法求一次函数的解析式？“此方法的步骤是什么？

3.看图思考：从一次函数图象可获得哪些信息?

（1）由一次函数的图象：；

（2）可直接观察出：：

（3）由一次函数的图象：；

（4）由一次函数的图象与），轴的交点的坐标,可确定一次函

数的图象的表达式.

新知自研：自研课本P96-P97页的内容，思考:

【学法指导】

•探究一：利用一次函数图象解决实际问题

某种摩托车油箱加满油后，剩余油量（L）与行驶路程x（km）的关系如图所示，回答下列问题:

问越（1）：油箱最多可储油多少开？

问题（2）：一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？

问题（3）：摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？

问题（4）：剩余油量小于I升时自动报警，行驶多少千米后报警?

•探究二：一兀一次方程与一次困数的联系

回1.水库蓄水量V（万〃/）与干旱持续时间/（天）的关系如图所示，回答下列问题:

问题（】）：干旱开始时蓄水量是多少？

问题（2）：干旱10天、23天的蓄水量是多少？

用待定系数法代入（0,1200）和（40,400）,得V=

当仁10时，V=；

当尼23时，V=.

问题（3）：蓄水量小于400万m3时报警，干旱多少天后报警？水库干涸时持续多少天？

问题（4）：按照例2呈现的规律，预计干旱持续多少天水库将干涸?你是怎么做的?

目2.归纳总结：

一元一次方程与一次函数的联系：

从“数”的角度，函数值为时的值就是方程的解•；

从“形'’的角度，函数图象与x轴交点的就是方程的解，并用表格清晰呈现.

【例题导析】

自研下面典例的内容，回答问题：

典例分析

例1：工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数图象如图所示，求电价为

60C元/千度时的利润.卜:m

【分析】由图象知点（0,300）,满足解析式），=代+匕，代入计算可求得

左和〃的值，从而求得函数解析式，再当_________________时，求出y的值即可解答.—L_1一不虐、

『千度）

【解答】设工厂每千度电产生利涧），与电价X解析式为：y=H+b.1

找已知点：图象过（0,300）和.

求系数：代入得,500-300=200,解得人,解析式为：.

计算利润：当x=6O0时，y==

.•.电价为600元/千度时的利润为千元.

例2：A公司无纺布价格），（万元）与质量x（吨）的函数图象过（0,0.8）和（10,20.3）；B公司不超过

30吨时每吨2万元，超过30吨时超过部分每吨1.9万元.购买40吨时，选哪家公司费用少?

【分析】先用求出A公式价格y与质量x的函数解析式，然后表示出B公司的费用，再当购买

吨数为40吨时，分别求出每家公司所需的费用，最后进行即可.

【解答】求A公司解析式:

y=kx+b,代入得。=>=20.3,

解得：k=,

•••解析式为：:

计算A公司费用：尸40时，y==万元；

计算B公司费用：30吨以内费用=万元，超过3（）吨的10吨费用：:

万元，总费用=万元.

比较选择：・.•<,

二选A公司费用少.

第二环节合作探究

小组群学

在〃幽氏斛领下：

A.探讨如何利用一次函数图象解决实际问题，并总结一元一次方程与一次函数的联系；

B.交流例题的解题思路和易错点.

C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

R1巩固练习

2.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营

销人员没有销售量时的收入（最低工资）是（）

A.3100元B.3000元C.2900元D.2800元

3.如图，从A地向B地打长途电话，设通话时间x（分）需付话费y（元），请根据图象反映的y随x的变化规

律，找出通话2分钟要付元，通话5分钟要付元.

4.一次函数丫=1<乂+6（匕b为常数，且k/））的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=

0的解为.

5.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张,某电力公司特制定了新的用电收费

标注，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.

（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当gxW50和x>50时，y与x的函数表达式；

（2）当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？

提升专练

题型一利用一次函数解一元一次方程

I.如图，已知直线y=6+。（k、。为常数，原0），则关于x的方程履+方=1的解是x=（

A.-4B.-1C.0D.-2

2.如图，己知一次函数了=依十4（后0）的图象分别与X、y轴交于A、8两点，若04=2,08=1,则关

于工的方程"+〃=0的解为（）

A.x=-1B.x=IC.x=-2D.x=2

3.关于"勺方程心"=3的解为x=7,则直线），=心叶。的图象一定过点（）

A.（3,0）B.（7,0）C.（3,7）D.（7,3）

4.根据一次函数丫=h+〃的图象，写出下列问题的答案：

（1）关于工的方程h+2=0的解是：

（2）关于x的方程kx+b=-3的解是：

5.根据一次函数），=履+。的图象，直接写出下列问题的答案:

（1）关丁人的方程七什）=0的解；

（2）代数式k+b的值；

（3）关于x的方程心好=-3的解.

)'

题型二利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标

6.已知方程心+》=。的解是k|,则函数尸质的图象可能是（）

7.关于x的一元一次方程日+力=0的解是x=l,则直线y=/c^b的图象与x轴的交点坐标是（）

A.（1,0）B.（0,I）C.（0,0）D.（-I,0）

8.一次函数y=履+〃的x