2024人教版八年级数学上册《用提公因式法分解因式》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

17.1用提公因式法分解因式（第1课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学生学习了整式奏法的基础上，研究对整式的一种变形即因式分解，是把一个多项式转化

成儿个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。

2.内容分析

本节课是整式乘法的逆向学习，核心是将多项式转化为几人整式乘积的形式，即因式分解。这种互逆

关系是理解因式分解意义的关键。提公因式法作为因式分解的基础方法，其本质是运用乘法分配律的逆运

算，提取多项式各项中含有的公共因式，从而简化多项式结构。本节课既是对整式运算的深化，也为后续

学习分式化简、解一元二次方程等内容奠定基础，在代数变形体系中具有承上启下的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解因式分解的概念；能用提公因式法分解因式。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系。

（2）了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）。

（3）在探究提公因式法的过程中.体会逆向思维与转化思想，发展代数推理能力，培养运算素养和严

谨的数学思维习惯。

2.目标解析

（1）学生需明确因式分解是“和差化积”的变形，能准确判断一个变形是否为因式分解；通过对比实

例，清晰区分整式乘法与因式分解的.互逆关系，理解二者在变形方向上的本质区别。

（2）学生需掌握公因式的定义，能从多项式各项中识别出系数的最大公约数与相同字母的最低次幕的

乘积；井能运用提公因式法将多项式分解因式，做到提取彻底、结果正确。

（3）学生在经历“观察多项式结构一寻找公因式一提取公因式”的过程中，体会将复杂多项式转化为简

单整式乘积的“转化思想”，以及从整式乘法逆向思考因式分解的“逆向思维”;通过规范的因式分解步骤训练,

提升代数运算的准确性与逻辑性，发展运算素养，同时培养严谨的思维习惯。

三、教学问题诊断分析

1.混淆因式分解与整式乘法的概念

我们先来看整式的乘法:

(1)x(x+l)/+x:(2)(x+\)(x-\)=x2-\；(3)(A+1)2『+2.计1

反过来，即可得到【探究】的答案.

X2+X=X(X4-1)33=3X11

W+x的因式33花函数

多项式等工整式相乘数字篝…

整式乘法

概念（多项式的）因式分解

把一个老邈式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这

个多项式分解因式.因式分解与整式乘法是方向相反的变形.

一分解因式、,一、

pa+pb+pc＜一二-pm+b+c）

整式乘法

观察多项式〃。+/力+”的各项有什么共同特征?

答它的各项都有一个公共的因式p.

我们把因式“叫作这个多项式各项的公因式.

例如pa+pb+pc=p(a+b+c).

〃是各项的公因式，〃+匕+。是pa+/力+pc除以〃所得的商.

概念提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因

式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.

设计意图：直观呈现因式分解与整式乘法的反向变形关系，帮助学生理解因式分解的概念，实现新旧

知识的自然过渡。以pa+p/?+pc为例，引导学生观察多项式各项妁公共因式，提炼“公因式”概念，让学生掌

握提公因式法的关键——找公因式。基于公因式的概念，明确提公因式法的操作步骤，让学生学会用提公

因式法分解因式，掌握因式分解的基本技能。

（三）典例分析

例1下列从左到右的变形中是因式分解的有（B）

①f-y2T=(x+>')(-v-v)-l；®x^+x=x(x2+1)；

③(x-y)2=f—2o+V；④x2-9)2=Q+3)，)(x-3y).

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2分解因式：

(1)tTLT+my2；(2)3f-4。2+工.

解⑴原式二川仔+狗：

(2)原式=”3广K4)2+0二43k4声1).

注意将工提出后，括号内的第三项为1.

设计意图：通过判断变形是否为因式分解的题目，强化学”对因式分解概念的理解。设置用提公因式

法分解因式的实例，让学生运用已学知识，实践提公因式法的操作流程。同时，强调提出公因式后括号内

的第三项为I,及时提醒学生注意易错点，实现知识从概念到应用的转化。

(四)巩固练习

1.下列由左边到右边的式子变形,哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)4a(a+2b)=4a2+Sab:不是，是整式乘法.

(2)cr-4=(a+2)(a-2)；足.

(3)A2-3A+2=X(X-3)+2.不是，等式右边不是整式乘积的形式.

2.分解因式：

(1)ax-ay；(2)a2-2a；(3)a2+ab；(4)xy-y^+yz.

解(1)原式=a(/Ly).(2)原式=〃3-2).

(3)原式=。伍+6).(4)原式=)(尸)叶2).

3.利用因式分解计算：

(1)1.992+1.99x0.01；(2)49x20.22+52x20.22-20.22:

(3)5X34+4X34+9X32.

解(1)原式=1.99x(1.99+0.01)=1.99x2=3.98.

(2)原式=20.22x(49+52-1尸20.22x100=2022.

(3)原式=5X3'+4X34+3‘=34X(5+4+1)=34X10=810.

4.已知4+8=7,ab=4,求/b+R?的值：

解a+b=l»ab=4,

原式=a》(a+〃)=4x7=28.

方法总结含〃土乩H的求值题，通常要将所求代数式进行为式分解，将其变形为能用。切和必表示

的式子，然后将〃土乩油的值整体代入即可.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

(五)归纳总结

因式分解一提公因式法

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.这样的式子变形

因式

叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.因

分解

式分解与整式乘法是方向相反的变形.

公因式多项式中各项都含有的相同因式,叫作这个多项式的公因式.

一般地，如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取

提公因

出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种

式法

分解因式的方法叫作提公因式法.

(六)感受中考

1.(2022•山东济宁)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是(C)

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-I)2

C.x2-x-6=(x-3)(x4-2)D.x(x-1)=x2-x

2.(2020•河北)对于①％-3xy=x(l-3y),②(x+3)(x-1)=/+2x-3,从左到右的变形,表

述正确的是(C)

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

3.(2025•江西)因式分解：a?一Q=_矶。-1)_.

4.(2025・四川达州)因式分解：m2+2m=_m(m+2)_.

5.(2025・湖南长沙)分解因式：mx-2my=_m(x-2y)_.

6.(2024•江苏徐州)若nrn=2,m-n=1,则代数式m2n-的值是?.

解：Vmn=2,m—n=1,

m2n—mn2=mn(m—n)=2x1=2,

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，

检脸学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。

(七)小结梳理

提公因式法

（A）布置作业

1.必做题：习题17.1第1,2,3题.

2.探究性作业：习题17.1第7题.

五、教学反思

17.1用提公因式法分解因式（第2课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课主要学习用提公因式法分解较复杂的因式：公因式为较复杂的单项式,或多项式的因式。通过实

例分析如何识别、确定这些复杂的公因式，并运用提公因式法完成因式分解。

2.内容分析

本节课是第一课时的延伸，为后续学习复杂多项式的因式分解奠定基础；复杂公因式的确定是提公因

式法的核心难点，掌握这部分内容能帮助学生全面理解因式分解的木质，同时为解决更复杂的弋数问题（如

分式化简、方程求解）提供工具。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：熟练运用提公因式法解决较复杂的因式分解问题。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）熟练运用提公因式法解决较复杂的因式分解问题。

（2）在提取复杂公因式的过程中，体会转化思想和整体思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。

2.目标解析

（1）学生需突破第一课时单个字母公因式的局限，掌握系数需提取最大公约数、同底数察取最低次数

的单项式公因式提取方法，问时掌握多项式作为公因式时的识别与提取，最终能将这些复杂公因式准确应

用「因式分解，是对提公因式法的深化与拓展。

（2）学生在处理如公因式含多项式、需变形构造公因式等狂杂情况时，要把陌生、复杂的问题转化

为熟悉的提公因式流程：遇到把多项式某部分看成整体找公因式，则需运用整体思想。在这一过程中，通

过知识应用深化思想方法，提升数学核心素养。

三、教学问题诊断分析

学生可能出现的问题：难以识别多项式型公因式，尤其是当多项式公因式符号不同时(如(。-8)与S-〃))

的转化。应对策略：针对多项式型公因式，先通过实例让学生发现式子中重复出现的多项式结构，再讲解

符号转化技巧(如3-〃)=-(〃-力)，并结合具体题目进行专项训练。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：确定复杂多项式的公因式。

四、教学过程设计

(一)复习引入

问题1什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？

答把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解.

因式分解与整式乘法是方向相反的变形，在运算上是互逆的关系.

问题2我们学习了哪些分解因式的方法？

答提公因式法：•般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公

因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.

问题3用提公因式法分解因式：

(1)am+bm=m(a+b)；

(2)f-x=,v(A-l)；

(3)x1y+xy-yz=ytf+x-z).

设计意图：通过复习因式分解的定义、与整式乘法的关系，以及提公因式法的概念，再搭配简单的提

公因式法分解因式练习，唤醒学生已有的知识储备，为第二课时学习复杂的提公因式法分解因式做好基础

铺垫。

(二)合作探究

探究1把Sa3b2+\2ab3c分解因式：

追问如何找出8“%2和12"3c的公因式？

系数：最大公因数为4.同底数塞：次数最低为。和尻.公因式为：4帅2.

解原式=4。户加2+44匕2.3枚,

=4ab2(2a2+3bc).

方法总结

正确找出多项式的公因式的步骤：

(1)定系数：公因式的系数取多项式各项系数的最大公约数；

(2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母；

(3)定指数：相同字母的指数取各项中的最低指数.

探究2分解因式：

(1)2a(b+c)-3(b+c)；(2)4(a-b)3-S(b-a)2.

解(1)原式=(。+。)・24+(力+。＞(-3)

=(b+c)(2a-3).

(2)原式=4(a-/?F(“T?)+4(aT，F2

=4(a-b)2(a-b+2).

方法总结

公因式可以是单项式，也可以是多项式.

设计意图：通过追问“如何找公因式”，细化定系数、定字母、定指数的步骤，让学生掌握我公因式

的系统方法，突破提公因式法中“找公因式”这一关键难点。设置含多项式型公因式的因式分解题目，引

导学生运用整体思想，深化提公因式法的应用场景，提升学生分析和解决笑杂困式分解问题的施力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(I)Sm2n+2mn；(2)4a2b+\Oab-ab2；

(3)〃(/+护)一虱^+炉)；(4)2a(y-z)3-4%(Z-)，)3.

解(1)原式=2/%〃(4m+l)；

(2)原式=而(4〃+10-b).

(3)原式=(/+从)(/尸夕)；

(4)原式=2a(y-z)x+4b(y-z)3=(y-z)3(2a+4b).

例2先分解因式，再求值：

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

解原式=。+7)(4.-3).

当a=-5,x=3时，

原式=(3+7)[4X(-5)2-3]=10x97=970.

设计意图：通过多样题型，让学生巩固找公因式的方法，提升因式分解技能的熟练度与灵活性。设计”先

分解因式，再求值”的题目，将因式分解与代数式求值结合，既沐现因式分解在简化运算中的作用，又让学

生感受到知识的实际应用价值。

(四)巩固练习

1.多项式15〃件/+5加2〃-20/RP的公因式是（c）

A.5mnB.5m2n2C.SnvnD.5mn2

2.把多项式（x+2）（尸2）+（尸2）卷取公因式（x-2）后，余下的部分是（D）

A.x+1B.2xC.x+2D.x+3

3.下列多项式的分解因式，正确的是（B）

A.12冷?一9A2v2-3AVZ（4-3A3?Z）

B.3a2y-34y+6.y=3y（a2-a+2）

C.-j^+xy-xz=-x（x+5^z）

D.a2h+5alf-b=h（a2+5a）

4.把下列各式分解因式：

（1）］与吆-9/9=3xv（4z-3xy）；

（2）-j^y^-^y^-xy=+4+1）；

（3）（x-），）2+y（）r）二（r）⑵r）.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情以，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（六）归纳总结

因式分解一提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取

提公因

出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种

式法

分解因式的方法叫作提公因式法.

确定公（1）定系数：公因式的系数取多项式各项系系的最大公约数；

因式的（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母;

步骤（3）定指数：相同字母的指数取各项中的最低指数.

（六）感受中考

1.（2020・广西贺州）多项式2a2/+8/力2因式分解为（c）

A.a2b2(2b+Sa2>)