2024人教版八年级数学上册第十七章《因式分解》每课时教学设计汇编（含五个教学设计）

17.1用提公因式法分解因式（第1课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学生学习了整式奏法的基础上，研究对整式的一种变形即因式分解，是把一个多项式转化

成儿个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。

2.内容分析

本节课是整式乘法的逆向学习，核心是将多项式转化为几人整式乘积的形式，即因式分解。这种互逆

关系是理解因式分解意义的关键。提公因式法作为因式分解的基础方法，其本质是运用乘法分配律的逆运

算，提取多项式各项中含有的公共因式，从而简化多项式结构。本节课既是对整式运算的深化，也为后续

学习分式化简、解一元二次方程等内容奠定基础，在代数变形体系中具有承上启下的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解因式分解的概念；能用提公因式法分解因式。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系。

（2）了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解（指数为正整数）。

（3）在探究提公因式法的过程中.体会逆向思维与转化思想，发展代数推理能力，培养运算素养和严

谨的数学思维习惯。

2.目标解析

（1）学生需明确因式分解是“和差化积”的变形，能准确判断一个变形是否为因式分解；通过对比实

例，清晰区分整式乘法与因式分解的.互逆关系，理解二者在变形方向上的本质区别。

（2）学生需掌握公因式的定义，能从多项式各项中识别出系数的最大公约数与相同字母的最低次幕的

乘积；井能运用提公因式法将多项式分解因式，做到提取彻底、结果正确。

（3）学生在经历“观察多项式结构一寻找公因式一提取公因式”的过程中，体会将复杂多项式转化为简

单整式乘积的“转化思想”，以及从整式乘法逆向思考因式分解的“逆向思维”;通过规范的因式分解步骤训练,

提升代数运算的准确性与逻辑性，发展运算素养，同时培养严谨的思维习惯。

三、教学问题诊断分析

1.混淆因式分解与整式乘法的概念

我们先来看整式的乘法:

(1)x(x+l)/+x:(2)(x+\)(x-\)=x2-\；(3)(A+1)2『+2.计1

反过来，即可得到【探究】的答案.

X2+X=X(X4-1)33=3X11

W+x的因式33花函数

多项式等工整式相乘数字篝…

整式乘法

概念（多项式的）因式分解

把一个老邈式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这

个多项式分解因式.因式分解与整式乘法是方向相反的变形.

一分解因式、,一、

pa+pb+pc＜一二-pm+b+c）

整式乘法

观察多项式〃。+/力+”的各项有什么共同特征?

答它的各项都有一个公共的因式p.

我们把因式“叫作这个多项式各项的公因式.

例如pa+pb+pc=p(a+b+c).

〃是各项的公因式，〃+匕+。是pa+/力+pc除以〃所得的商.

概念提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因

式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.

设计意图：直观呈现因式分解与整式乘法的反向变形关系，帮助学生理解因式分解的概念，实现新旧

知识的自然过渡。以pa+p/?+pc为例，引导学生观察多项式各项妁公共因式，提炼“公因式”概念，让学生掌

握提公因式法的关键——找公因式。基于公因式的概念，明确提公因式法的操作步骤，让学生学会用提公

因式法分解因式，掌握因式分解的基本技能。

（三）典例分析

例1下列从左到右的变形中是因式分解的有（B）

①f-y2T=(x+>')(-v-v)-l；®x^+x=x(x2+1)；

③(x-y)2=f—2o+V；④x2-9)2=Q+3)，)(x-3y).

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2分解因式：

(1)tTLT+my2；(2)3f-4。2+工.

解⑴原式二川仔+狗：

(2)原式=”3广K4)2+0二43k4声1).

注意将工提出后，括号内的第三项为1.

设计意图：通过判断变形是否为因式分解的题目，强化学”对因式分解概念的理解。设置用提公因式

法分解因式的实例，让学生运用已学知识，实践提公因式法的操作流程。同时，强调提出公因式后括号内

的第三项为I,及时提醒学生注意易错点，实现知识从概念到应用的转化。

(四)巩固练习

1.下列由左边到右边的式子变形,哪些是因式分解？哪些不是？为什么？

(1)4a(a+2b)=4a2+Sab:不是，是整式乘法.

(2)cr-4=(a+2)(a-2)；足.

(3)A2-3A+2=X(X-3)+2.不是，等式右边不是整式乘积的形式.

2.分解因式：

(1)ax-ay；(2)a2-2a；(3)a2+ab；(4)xy-y^+yz.

解(1)原式=a(/Ly).(2)原式=〃3-2).

(3)原式=。伍+6).(4)原式=)(尸)叶2).

3.利用因式分解计算：

(1)1.992+1.99x0.01；(2)49x20.22+52x20.22-20.22:

(3)5X34+4X34+9X32.

解(1)原式=1.99x(1.99+0.01)=1.99x2=3.98.

(2)原式=20.22x(49+52-1尸20.22x100=2022.

(3)原式=5X3'+4X34+3‘=34X(5+4+1)=34X10=810.

4.已知4+8=7,ab=4,求/b+R?的值：

解a+b=l»ab=4,

原式=a》(a+〃)=4x7=28.

方法总结含〃土乩H的求值题，通常要将所求代数式进行为式分解，将其变形为能用。切和必表示

的式子，然后将〃土乩油的值整体代入即可.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

(五)归纳总结

因式分解一提公因式法

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.这样的式子变形

因式

叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.因

分解

式分解与整式乘法是方向相反的变形.

公因式多项式中各项都含有的相同因式,叫作这个多项式的公因式.

一般地，如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取

提公因

出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种

式法

分解因式的方法叫作提公因式法.

(六)感受中考

1.(2022•山东济宁)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是(C)

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-I)2

C.x2-x-6=(x-3)(x4-2)D.x(x-1)=x2-x

2.(2020•河北)对于①％-3xy=x(l-3y),②(x+3)(x-1)=/+2x-3,从左到右的变形,表

述正确的是(C)

A.都是因式分解B.都是乘法运算

C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解

3.(2025•江西)因式分解：a?一Q=_矶。-1)_.

4.(2025・四川达州)因式分解：m2+2m=_m(m+2)_.

5.(2025・湖南长沙)分解因式：mx-2my=_m(x-2y)_.

6.(2024•江苏徐州)若nrn=2,m-n=1,则代数式m2n-的值是?.

解：Vmn=2,m—n=1,

m2n—mn2=mn(m—n)=2x1=2,

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，

检脸学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。

(七)小结梳理

提公因式法

（A）布置作业

1.必做题：习题17.1第1,2,3题.

2.探究性作业：习题17.1第7题.

五、教学反思

17.1用提公因式法分解因式（第2课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课主要学习用提公因式法分解较复杂的因式：公因式为较复杂的单项式,或多项式的因式。通过实

例分析如何识别、确定这些复杂的公因式，并运用提公因式法完成因式分解。

2.内容分析

本节课是第一课时的延伸，为后续学习复杂多项式的因式分解奠定基础；复杂公因式的确定是提公因

式法的核心难点，掌握这部分内容能帮助学生全面理解因式分解的木质，同时为解决更复杂的弋数问题（如

分式化简、方程求解）提供工具。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：熟练运用提公因式法解决较复杂的因式分解问题。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）熟练运用提公因式法解决较复杂的因式分解问题。

（2）在提取复杂公因式的过程中，体会转化思想和整体思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。

2.目标解析

（1）学生需突破第一课时单个字母公因式的局限，掌握系数需提取最大公约数、同底数察取最低次数

的单项式公因式提取方法，问时掌握多项式作为公因式时的识别与提取，最终能将这些复杂公因式准确应

用「因式分解，是对提公因式法的深化与拓展。

（2）学生在处理如公因式含多项式、需变形构造公因式等狂杂情况时，要把陌生、复杂的问题转化

为熟悉的提公因式流程：遇到把多项式某部分看成整体找公因式，则需运用整体思想。在这一过程中，通

过知识应用深化思想方法，提升数学核心素养。

三、教学问题诊断分析

学生可能出现的问题：难以识别多项式型公因式，尤其是当多项式公因式符号不同时(如(。-8)与S-〃))

的转化。应对策略：针对多项式型公因式，先通过实例让学生发现式子中重复出现的多项式结构，再讲解

符号转化技巧(如3-〃)=-(〃-力)，并结合具体题目进行专项训练。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：确定复杂多项式的公因式。

四、教学过程设计

(一)复习引入

问题1什么是因式分解？它与整式乘法有什么关系？

答把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解.

因式分解与整式乘法是方向相反的变形，在运算上是互逆的关系.

问题2我们学习了哪些分解因式的方法？

答提公因式法：•般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公

因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.

问题3用提公因式法分解因式：

(1)am+bm=m(a+b)；

(2)f-x=,v(A-l)；

(3)x1y+xy-yz=ytf+x-z).

设计意图：通过复习因式分解的定义、与整式乘法的关系，以及提公因式法的概念，再搭配简单的提

公因式法分解因式练习，唤醒学生已有的知识储备，为第二课时学习复杂的提公因式法分解因式做好基础

铺垫。

(二)合作探究

探究1把Sa3b2+\2ab3c分解因式：

追问如何找出8“%2和12"3c的公因式？

系数：最大公因数为4.同底数塞：次数最低为。和尻.公因式为：4帅2.

解原式=4。户加2+44匕2.3枚,

=4ab2(2a2+3bc).

方法总结

正确找出多项式的公因式的步骤：

(1)定系数：公因式的系数取多项式各项系数的最大公约数；

(2)定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母；

(3)定指数：相同字母的指数取各项中的最低指数.

探究2分解因式：

(1)2a(b+c)-3(b+c)；(2)4(a-b)3-S(b-a)2.

解(1)原式=(。+。)・24+(力+。＞(-3)

=(b+c)(2a-3).

(2)原式=4(a-/?F(“T?)+4(aT，F2

=4(a-b)2(a-b+2).

方法总结

公因式可以是单项式，也可以是多项式.

设计意图：通过追问“如何找公因式”，细化定系数、定字母、定指数的步骤，让学生掌握我公因式

的系统方法，突破提公因式法中“找公因式”这一关键难点。设置含多项式型公因式的因式分解题目，引

导学生运用整体思想，深化提公因式法的应用场景，提升学生分析和解决笑杂困式分解问题的施力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(I)Sm2n+2mn；(2)4a2b+\Oab-ab2；

(3)〃(/+护)一虱^+炉)；(4)2a(y-z)3-4%(Z-)，)3.

解(1)原式=2/%〃(4m+l)；

(2)原式=而(4〃+10-b).

(3)原式=(/+从)(/尸夕)；

(4)原式=2a(y-z)x+4b(y-z)3=(y-z)3(2a+4b).

例2先分解因式，再求值：

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

解原式=。+7)(4.-3).

当a=-5,x=3时，

原式=(3+7)[4X(-5)2-3]=10x97=970.

设计意图：通过多样题型，让学生巩固找公因式的方法，提升因式分解技能的熟练度与灵活性。设计”先

分解因式，再求值”的题目，将因式分解与代数式求值结合，既沐现因式分解在简化运算中的作用，又让学

生感受到知识的实际应用价值。

(四)巩固练习

1.多项式15〃件/+5加2〃-20/RP的公因式是（c）

A.5mnB.5m2n2C.SnvnD.5mn2

2.把多项式（x+2）（尸2）+（尸2）卷取公因式（x-2）后，余下的部分是（D）

A.x+1B.2xC.x+2D.x+3

3.下列多项式的分解因式，正确的是（B）

A.12冷?一9A2v2-3AVZ（4-3A3?Z）

B.3a2y-34y+6.y=3y（a2-a+2）

C.-j^+xy-xz=-x（x+5^z）

D.a2h+5alf-b=h（a2+5a）

4.把下列各式分解因式：

（1）］与吆-9/9=3xv（4z-3xy）；

（2）-j^y^-^y^-xy=+4+1）；

（3）（x-），）2+y（）r）二（r）⑵r）.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情以，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（六）归纳总结

因式分解一提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取

提公因

出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种

式法

分解因式的方法叫作提公因式法.

确定公（1）定系数：公因式的系数取多项式各项系系的最大公约数；

因式的（2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同字母;

步骤（3）定指数：相同字母的指数取各项中的最低指数.

（六）感受中考

1.（2020・广西贺州）多项式2a2/+8/力2因式分解为（c）

A.a2b2(2b+Sa2>)B.2ab2(ab+4a-')

C.2〃2〃3+4标)D.2a2b(b2+4a2b)

2.（2024•山东枣庄）因式分解：xyfx+2).

3.（2020・山东聊城）因式分解：x(x-2}-x+2=(.Y-2)(X-1)

4.（2023•湖北黄石）因式分解：x伊1-4八-y?=（n-1Mx-4）.

5.（2023,山东济宁）已知实数加满足1=0,则2"/-3〃?2_加+9=8.

解：Vm2-m-l=0,

.*.2m3-3m2-m+9

=2m（ni2-/〃）-〃/“〃+9

=2m-nr-m+9

=m-m2+9

=-（/M2-W）+9.

当〃儿/”=I时,原式=-1+9=8.

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，

检验学习成果，提升应考能力，还可以提汗学生的学习兴趣和动力。

（七）小结梳理

相反变形

整式的乘法因式分解

具体j方法

、，

提公因式法

公因式：单项式或多项式

（八）布置作业

1.必做题：习题17.1第4,5,6题.

2.探究性作业：习题17.1第8题.

五、教学反思

17.2用公式法分解因式（第1课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学生学习了整式夷法公式的基础上，研究具有特殊形式的多项式分解因式的方法一一公式

法；学习运用平方差公式来分解因式。

2.内容分析

本节课是在学生已掌握整式乘法公式的基础上，逆向研究如何将符合〃形式的多项式，转化为

m+b）m-6）的整式乘积形式，即运用平方差公式进行因式分解。它是因式分解方法的拓展，也为后续学习完

全平方公式等因式分解方法、分式化简等内容奠定基础，是代数运算体系中“逆向思维”应用的关键环节。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并运用平方差公式进行因式分解。

二、目标和目标解析

i.目标

（1）探索并运用平方差公式进行因式分解。

（2）体会逆向思维，转化思想和整体思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯。

2.目标解析

（1）学生需先回顾整式乘法中的平方差公式，理解其“从整式乘积到多项式”的正向运算逻辑，再逆

向推导“从多项式到整式乘积”的因式分解形式，明确。2一尻=（〃+与缶-加中。、b可代表单项式、多项式等

形式。通过实例练习，能准确识别多项式是否符合平方差公式的特征，并熟练运用公式将其分解为两个整

式的乘积，掌握公式法分解因式的基本操作流程。

（2）从乘法的平方差公式到因式分解的平方差公式，引导学生突破“正向运算惯性”，理解数学运算

的双向性，培养思维的灵活性。将阴生的因式分解问题，转化为已熟悉的平方差公式形式，把复杂问题简

单化，建立新旧知识的关联转化，提升问题转化与解决能力。用整体思想识别平方差结构，拓展对公式中

“字母”含义的理解。在探索公式应用、分析多项式特征、严谨推导分解过程中，锻炼代数推理能力；通

过规范书写分解步骤、细致检查符号等，培养运算素养和严谨的数学思维习惯。

三、教学问题诊断分析

1.对平方差公式的结构特征理解不深，忽略两项符号需相反、均为平方形式等条件。应对策略：通过对

比练习，分析是否满足“两项、异号、平方项''特征，结合整式乘法验证，加深对公式结构的精准识别。

2.当〃、b为多项式时，难以用整体思想识别平方差结构，不知如何下手。应对策略：先从简单的“整

体代换”例子入手，让学生理解整体思想的应用；再逐步过渡到直接分析多项式，引导学生观察式子是否具

备”两个整体的平方差”形式，多进行此类变式练习，强化整体思想的运用，突破思维障碍。

基r以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用平方差公式对多项式进行因式分解。

四、教学过程设计

（一）复习引入

原题重现计算红色区域的面积：

左图：W—b?右图：3+与3T7)

因为两个图中红色区域的面积相等，所以a2~b2=(a+b)(a~b).

设计意图：借助几何图形面积计算，唤醒学生对整式乘法中图形面积计算的知识储备，以直观的方式

呈现因式分解的平方差公式a2T?2=5+份(〃_/力将代数公式与几何意义关联，降低公式的理解难度。

(-)合作探究

a2-b2=(a+b)(a-b).

追问1这个等式的左边有什么特点？

答这个等式的左边是两个数的平方差的形式.

追问2这个等式的右边有什么特点？

答这个等式的右边是形如a+b的多项式与形如a-b的多项式相乘.

追问3你能用文字语言描述这个规律吗？

答两个数(式子)的平方差，等于这两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积.

归纳(因式分解的)平方差公式

符号语言a2-b2=(a+h)(a-b).

文字语言两个数(式子)的平方差，等于这两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积.

设计意图：引导学生从式子左右两边的形式特点，逐步抽象出平方差公式的本质规律，并用文字语言

精准描述，帮助学生深度理解公式结构，为后续运用公式分解因式筑牢认知基础，同时培养学生观察、分

析、归纳的数学思维能力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(1)4.C-9；(2)/-25扭.

解⑴原式二(2A)2-32=(2K+3)(2L3)；

⑵原式二/一(5与2=(a+5b)(〃一5b).

例2分解困式:

(1)X2-/:(2)(x+p)2—(x+q)2.

解⑴原式才-3y小+川口一出：

(2)原式=[(x+〃)+Q+q)(x+M-(x+如=(2t+〃+g)(p-q).

温馨提示1.看成整体的部分需要添括号；

2.去括号时要注意是否需要变号.

设计意图：通过例1让学生初步熟悉平方差公式的应用；例2则进阶到含多项式，需运用整体思想的

情况，拓宽公式的应用场景。强调添括号、去括号等细节，帮助学生规范解题步骤，逐步提升运用平方差

公式分解因式的熟练度与灵活度。

(四)巩固练习

1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？

(1)f+y2；不能.

(2)/一/；能，原式=Cvty)(x-y).

(3)-?+/；能，原式=y2r^(尹水厂外.

(4)-AT-y2.不能.

2.因式分解：a2-4(a+b)2=(D)

A.(3a+2b)(a-2b)B.(5a+4b)(-3a-4b)

C.-(5a+4b)(3a+4b)D.-(3a+2b)(a+2b)

3.已知m+〃=4,W2-/72=-8,则〃卜〃的值为(B)

A.-4B.-2C.2D.4

4.分解因式：

■>1,

(1)36-m2；(2)49zr-l；(3)a2--b2；

(4)81/_]6/；(5)4/—S+c)?；(6)(m-2n)2-(iTi-2n)2.

解(1)原式=62rn2=(6+"?)(6-/??).

(2)原式=(7〃)2T2=(7〃+1)(7n-1).

(3)原式=〃2-(工〃)2=(〃+").

555

(4)原式二(9a产一(4〃)2=(9。+4〃)(9a-4b2).

(5)^A=(2b)2-(b+c)2=[2b+(/n-c)][2b-(b+c)]=(3b+c)(b-c'i.

(6)原式=[(〃?+2〃)+(加-2〃)][("?+2〃)一(〃?-2〃)]=2〃?4?=8〃?几

5.计算下列各题:

（1）101*12-3456992；(2)53.52X4-46.52X4.

解(1)原式=(101+99)(101-99)=200x2=400；

⑵原式二4(53.52-46.52)=4(53.5+46.5)(53.5-46.5)=4x100x7=2800.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（七）归纳总结

因式分解一平方差公式法

符号语言a2-b2=(a-b)(a-b).

两个数（式子）的平方差，等于这两个数（式子）的电与这

文字语言

两个数（式子）的差的积.

1.看成整体的部分需要添括号；

注意事项

2.去括号时要注意是否需要速生.

（A）感受中考

1.(2023•浙江杭州)分解因式:4a2/=(A)

A.（2a-l）（2〃+l）B.（。-2）Q+2）C.（a-4）（a+l）D.（4t/-l）（tz+l）

2.（2025•山西）因式分解：z/r-16=（"什4）（〃2-4）.

3.（2025•江苏扬州）分解因式：“2.4=Z+2）江⑵.

4.（2025•江苏连云港）分解因式：/_9=G-3）（x+3）.

5.（2023•河北）若k为任意整数，贝1」（2什3y-4产的值总能（B）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

解：（2〃+3尸-4好

=（2什3+2攵）（2什3-24）

=3（44+3）,

-3（4A+3）能被3整除,

・・・（2什3）2-4然的值总能被3整除，

6.（2025•四川内江）已知实数a,〃满足a+b=2,则『./AM/产4

解：,:a+b=2，

22

a-b+4b=(<a+b')(a-b')+4b=2(a-b')+4b=2(a+b')=4

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型,

检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。

(七)小结梳理

特殊舫式1

提公因式法

▼

平方奉公式.相反变形.平方差公式法

(a^h)(a-h)=a1—b1a2—A2=(tf4-A)(fl-A)

设计意图：借助思维导图，济晰呈现整式乘法与因式分解的互逆关系，以及平方差公式在两者间的反

向变形联系。梳理提公因式法、平方差公式法等因式分解方法，帮助学生构建系统的知识框架，理解知识

间的逻辑关联，强化对因式分解与整式乘法体系的整体认知。

(八)布置作业

1.必做题：习题17.2第1,4(2)题.

2.探究性作业：习题17.2第7题.

五、教学反思

17.2用公式法分解因式(第2课时)

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学生学习了因式分解的平方差公式的基础上，研究第二个公式一一完全平方公式，学习运

用完全平方公式来分解形式为完全平方式的多项式。

2.内容分析

本节课的核心是引导学生从整式乘法的完全平方公式逆向思考，将完全平方式分解为整式乘积的形式。

这既是对因式分解方法的补充与完善，也深化了“整式乘法与因式分解互逆”的逻辑关系，为后续更复杂

的代数式变形、分式运算等内容提供重要工具，是代数运算体系中逆向思维应用的延续与拓展。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并运用完全平方公式进行因式分解。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解。

（2）体会逆向思维与转化思想，发展代数推理能力和运算素养，培养严谨的数学思维习惯。

2.目标解析

（1）学生需明确完全平方式的特征——由三项组成，其中两项为平方项（符号相同），第三项为这两

项底数乘积的2倍（符号可正可负）；同时理解完全平方公式因式分解的形式：片±2必+庐=（〃坊）2,理解“完

全平方式”与“完全平方公式''的联系与区别。通过实例练习，能准确识别多项式是否为完全平方式，熟练运

用完全平方公式将其分解为整式平方的形式。

（2）从整式乘法中“和（差）的平方展开为完全平方式”到因式分解中“完全平方式还原为和（差）

的平方”，进•步强化对数学运算双向性的理解，感受逆向思维和转化思想。在分析多项式是否为完全平

方式、推导分解的过程中，锻炼代数推理能力；通过规范书写步骤、检查符号与系数的准确性，提升运算

素养，培养严谨细致的数学思维习惯。

三、教学问题诊断分析

学生可能存在的问题：对完全平方式的结构特征把握不清，易忽略”两项为平方项且符号相同”“第三项

为两底数乘积的2倍”等关键条件；分解时易混淆符号（如/_4曲+4〃错解为3+2%）2）。应对策略：通过对

比练习强化结构辨析，总结“找平方项―验中间项一定符号”的判断流程，结合整式乘法验证分解结果的正确

性，通过错题展示引导学生反思，总结解题技巧。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用完全平方公式对多项式进行因式分解。

四、教学过程设计

（一）复习引入

原题重现用两种方法表示图中图形的面积：

第一种算法：a2+2ab+b2,第二种算法：(a+b)2,JJf1i(a2-^2ab+b2=(a+h)2.

第一种算法：cr-2ab+b2,第二种算法：（CL。）—所以后菖必+从=5-方产

设计意图：借助几何图形面积计算，唤醒学生对整式乘法口图形面积计算的知识储备，以直观的方式

呈现因式分解的完全平方公式/+2"+〃=m±»2,将代数公式与几何意义关联，降低公式的理解难度。

（二）合作探究

a2±2ab^-b2=（a±b）2.

追问1这个等式的左边有什么特点？

答等式的左边是两项的平方和（序+后）加上（或减去）两项乘积的二倍（2岫）.

追问2这个等式的右边有什么特点？

答等式的右边是形如（。±勿2的多项式相乘.

追问3你能用文字语言描述这个规律吗？

答两个数（式子）的平方和加上（或减去）这两个数（式子）的积的2倍，等于这两个数（式子）的和（或差）的

平方.

归纳（因式分解的）完全平方公式

符号语言a2+2ab+b2=（a+h）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

文字语言两个数（式子）的平方和加上（或减去）这两个数（式子）的积的2倍,等于这两个数（式子）的和（或

差）的平方.

概念完全平方式

我们把序+2"+〃和片_2而+/这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式

的多项式分解因式.

设计意图：引导学生从式子左右两边的形式特点，逐步抽象出完全平方公式的本质规律，并用文字语

言精准描述，帮助学生深度理解公式结构，为后续运用公式分解因式筑牢认知基础，同时培养学生观察、

分析、归纳的数学思维能力。

（三）典例分析

例3分解因式：

（1）—4x14；(2)16A2-24XI9.

解(1)原式=.F+2・X・2+22=(X+2)2；

⑵原式=(4x户24K3+32=(4L3)2.

例4分解因式：

（1）（。+〃）2-12（4+。）+36；（2）一炉+4冷）4y.

解（1）原式二（。+）尸一2・（。+力）・6+62=（。+〃一6尸.

温馨提示公式中的〃和人可以是数字，也可以是单项式或多项式.

解（2）原式=一，一4盯+4产）=-[/-2*2），+（2），）2]=-（广2），）2.

温馨提示添括号时要注意是否需要变号.

概念把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把

多项式分解因式的方法叫作公式法.

设计意图：通过例3让学生初步熟悉完全平方公式的应用；例4则进阶到含多项式，需运用整体思想

或提取负号的情况，拓宽公式的应用场景。强调添括号的细节，帮助学生规范解题步骤，逐步提升运用完

全平方公式分解因式的熟练度与灵活度。

（四）巩固练习

1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？

（1）a1-4a+4；是，原式=（°-2>.

（2）1+4-2；不是，修改：l+4a+4/.

（3）4b2+4b-1：不是，修改：4加+4/？+1.

（4）〃2+岫+/.不是，修改：a2+2ab+b2.

2.如果f-6x+N是一个完全平方式，那么'是(B)

A.11B.9C.-11D.-9

3.如果X2-AZLV+16是一个完全平方式，那么m的值为_±8_

4.分解因式：

(1)a2+2a+\；(2).¥2-IZr+36；(3)4A2-4X+1；

222-+

(4)4p+12pq+9q；(5)(x+y)10(x+y)25；(6)-2A)-X2-/.

解(1)原式=«2+231+12=(a+1)2.

(2)原式-2X6+6J(.L6)2.

(3)原式=(2X)2—22Y4+12=(2X-1)2.

(4)原式=(2py+2.(2〃).3q+(3g)2=(2〃+3q)2.

(5)原式二(x+)，)2-2.(x+))5+52=(x+y-5)2.3456

(6)原式=-(./+21尹)2尸-(x+)，)2.

5.利用完全平方公式计算：

（1）1002-2X100x99+992；（2）342+34x32+l62.

解⑴原式=（100-99）2=1.

⑵原式=342+2x34xl6+16?=（34+16）2=2500.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（九）归纳总结

因式分解一完全平方公式法

符号

a*1±2ab+b2=(a±by.

语言

文字两个数（式子）的平方和加上（或减去）这两个数（式子）的积的2倍,

语言等于这两个数（式子）的和（或差）的平方.

完全我们把〃2+2〃/>+力2和岸-2ab+b?这样的式子叫作完全平方式,

平方式利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.

（十）感受中考

1.（2022•湖南永州）下列因式分解正确的是（)

A.ax+ay=a(x+y1B.3“+3/>=33+〃)

C."+4〃+4=(。+4)2D.a2+b=a(a+b)

2.（2024•江苏常州）分解因式：》2-4肛+4y2=__（.r-2j,）2

3.（2025•甘肃兰州）因式分解：2f+4x+2=—2（x+l）2.

4.（2025•四川成都）多项式4占1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式

可以是—4x—（填一个即可）.

5.（2024•山东淄博）若多项式4戈2加孙+9必能用完全平方公式因式分解，则〃?的值是—±12_.

6.（2024•山东威海）因式分解：（x+2）（x+4）+l=—（x+3）2—.

解：（x+2）（x+4）+1=X2+4.¥+2X+8+1=/+6工+9=（"3）2.

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型,

检险学习成果，提升应考能力，迂可以提升学生的学习兴趣和动力。

（七）小结梳理

相反变脑

■♦■的乘法r31因式分解

具体方法

特制形式

口公因式法二

相反变形

乘法公式•*公式法

(a+b)(a-h)=ii2-h2«2-A2=(tf+A)(tf-A)

(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a±h)2

设计意图：借助思维导图，清晰呈现整式乘法与因式分解的互逆关系，以及平方差公式和完全平方公

式在两者间的反向变形联系。梳理提公因式法、公式法等因式分解方法，帮助学生构建系统的知识框架，

理解知识间的逻辑关联，强化对因式分解与整式乘法体系的整体认知。

（八）布置作业

1.必做题：习题17.2第2,4（1）题.

2.探究性作业：习题17.2第8题.

五、教学反思

17.2用公式法分解因式（第3课时）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是因式分解的深入学习，主要涵盖多次分解（包括综合运用提公因式法与公式法、多次运用公

式法）、分组因式分解以及借助整式乘法化简后再进行的因式分解，旨在帮助学生掌握更复杂的因式分解

技巧，提升对不同多项式结构的处理能力。

2.内容分析

多次分解体现了因式分解方法的综合与递进，需根据多项式特点分步选择提公因式法或公式法，直至

每一个因式无法再分解；分组因式分解通过合理拆分组合多项式，将复杂整体转化为可分别分解的部分；

借助整式乘法化简后再分解则是通过先展开、合并同类项等操作，将非标准形式的多项式转亿为便「运用

已有方法分解的形式，三类内容均是对基础因式分解方法的灵活延伸与深化。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项

式进行因式分解。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）能综合运用提公因式法与公式法、多次运用公式法对多项式进行因式分解。

（2）在因式分解的过程中，体会转化思想和整体思想，提升数学运算素养和逻辑推理素养。

2.目标解析

（1）学生能回忆起提公因式法和公式法的基本操作，能在复杂多项式中判断何时综合运用提公因式法

与公式法、何时多次运用公式法，对分解方法的适用场景有清晰认知，确保分解过程规范、结果彻底，形

成对因式分解完整知识体系的掌握。

（2）学生在分解因式的过程中主动运用转化、整体等数学思想（如将多项式的某一部分视为整体代入

公式），同时，通过反复练习提升运算的准确性和逻辑性，培养从多项式结构中提炼分解思路的推理能力，

实现知识与素养的协同发展。

三、教学问题诊断分析

学生可能出现的问题：多次分解时步骤混乱或分解不彻底；分组因式分解时不知如何合理拆分组合多

项式；借助整式乘法化简时出现符号错误或漏项。应对策略：通过对比错误与正确的分解结果，强化“分解

到每一个因式不能再分解”的意识；引导学生观察多项式中可组成公式的部分，掌握分组拆分组合的技巧；

结合典型错误案例进行针对性练习，减少整式乘法化简的失误；通过归类练习，总结不同结枸多项式对应

的优先分解方法，帮助学生形成清晰的解题思路。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：灵活运用提公因式法和公式法分解复杂多项式。

四、教学过程设计

（一）复习引入

问题我们学习了哪些分解因式的方法？

答1.提公因式法.

2.公式法：平方差公式和完全平方公式.

对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.

（二）合作探究

探究1分解因式：

（1）.?-/；（2）a3b-ab.

解（1）原式二（±）2-02）2=廿+）,2）（/一,,2）=（$+）2）（工+）,）口_）,）.

（连续使用两次平方差公式）

（2）原式二附征一11）（（7-1）.

(先提取公因式，再使用平方差公式)

温馨提示L•般情况下，有公因式要先提取公因式.

2.分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

探究2分解因式：

(1)3加+65+34；(2)-加+2。2k症

解⑴原式=3a(f+2A：V+)，2)=3mx+v)2.

(先提取公因式，再使用完全平方公式)

(2)原式=一〃(420¥+。2)=-。(厂〃)2.

(先提取公因式，再使用完全平方公式)

设计意图：因式分解过程中，从观察多项式特征(是否有公因式、符合哪种公式形式)，到选择对应

方法(提公因式法、平方差公式按或完全平方公式法)，再到逐步分解验证是否彻底，能俄炼学生的逻辑

推理和问题解决能力，帮助学生学会有序分析、分步处理教学问题。

(三)典例分析

例1分解因式：

(l)fy-4)，；(2)/-2/+〃；(3)加+2/什/；

(4)一/+16；(5)3。-6ax+3加；(6)-4〃/+8/状厂4〃)2.

解⑴原式=)，(/-4)=><x+2)(.v-2).

(2)原式=4(/-2"+1)=<?(«-1)2.

⑶原式二a(x2+2ax+a2)=a(x+〃)2.

(4)原式=42-(/)2=(4+。2)(4-〃2)=(4+。2)(2+。)(2-a).

(5)原式=3a(l-2x+f)=3«X-1)2.

(6)原式=-4双f-2X>+)2)-4伙尸)，)2.

例2分解因式：

(1)(a-b)2+4ab；(2)(p-4)(p+1)+3p.

解(1)原式二(/-2"+82)+4，必="+2"+力

(先借助乘法公式化简，再分解因式)

⑵原式=(p2+p-4〃-4)+3p=p2_4=(p+2)(/T-2).

设计意图：题目涵盖多种分解类型，能让学生熟练掌握并综合运用各种因式分解的基础方法，让学生

学会灵活识别、处理不同形式的多项式，提升应对复杂问题时的分析、转化能力，让学生学会拆解难题，

逐步解决。

(四)巩固练习

1.把多项式4f广4町2r3分解因式的结果是(B)

A.4x><x-y)-?B.-x(x-2y)2

C.^xy^y^-x1)D.一4(一4人7+4炉+小)

2.因式分解：

(1)-342f+24*48/；⑵(4+4)2-16〃.

解(1)原式=-3a2(x2-8.v+16)