21.8 图形中的动点问题-二次函数的应用（压轴题专项讲练）（教师版）

专题21.8图形中的动点问题——二次函数的应用典例分析典例分析【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN【思路点拨】（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，当R落在BC边上时，因为（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，BN=n，在【解题过程】解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△∴AB即2=9-6-t解得t=1∴t=1时，△PQR的边QR点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，∵△PQR∴PQ即9-t解得t=∴t=53时，点故答案为：1，53（2）①当0≤t≤1时，如图设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=∴S②当1<t≤5设PR交BC于点C，RQ交BC、AB于点S、T，过点P作PH⊥BC于点则CH=OP=2t，GH=∴BT∴S③当53<t设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=9-6-∴PR∴S综上，S与t的函数关系式为S=10-4（3）∵E∴AE∴四边形ABFE是正方形，如图4，将△AME绕A顺时针旋转90°，得到△ABM'，其中∵∠MAN∴∠EAM∴∠BA∴∠MAN连接MN，在△MAN和△AM=∴△MAN∴MN∴MN设EM=m，则FM=2-m，在Rt△FMN中，由勾股定理得：即(2-m整理得，mn+2(m延长NR交x轴于点S，则m=∵QS=1∴n∴m代入①式，化简得：3n解得n=-4+2∴BN解得t=故答案为：17-47学霸必刷学霸必刷1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cms的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点BA．19cm2 B．16cm2 C．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ是解题的关键．在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC，设运动时间为t(0≤t≤4)，则PC【解题过程】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB设运动时间为t(0≤t≤4)，则PC∴S===∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15故答案为：C．2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线y=12x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在线段AB上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段AB上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接OC，OE．若点C的横坐标为-2，A．S△OEF>S△OCD B．S【思路点拨】本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出S△OCD，设点E的坐标为m,12m+2，用关于m【解题过程】解：∵点C在线段AB上，横坐标为-2∴点C的纵坐标为12∴OD=2，CD∴S△设点E的坐标为m,则OF=m=-∴S△∵-1∴当m=-2时，S△OEF取最大值，最大值为1，此时点E∴S△故选C．3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为ts.连接PC，以PCA．32 B．34 C．45【思路点拨】设△PCD的面积为y，根据面积公式求出y=5-t，根据勾股定理求出PC2【解题过程】解：设△PCD的面积为y由题意得：AP=t，∴y∵四边形EFPC是正方形，∴S∵P∴P∴S当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为3故选：A．4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点F是边AB上的动点，连接FE并延长交DC的延长线于点G,点H在五边形ADCEF中，连接HG,HF,A．413 B．412 C．41 D【思路点拨】先证明△EFB≌△EGCASA，再证明四边形BERQ为正方形和四边形AQHT为矩形，利用已知条件从而可推出HT【解题过程】解：过点H作HQ⊥AB于点Q，过点E作ER⊥HQ于点R，过点H作HT⊥AD于点∵E为BC的中点，∴BE在△EFB和△∠∴△∴EF∴△FHG∴HE=EF∵ER⊥QR,四边形∴∠∴四边形BERQ是矩形，∵∠∴∠∴∠∵∠∴△BEF∴BE∵BE∴ER∵四边形BQRE为矩形，∴四边形BQRE为正方形，∴BQ∵AB∴AQ∵HQ∴四边形HQAT是矩形，∴HT∴S设BF∴QH=∴S△∵-∴当x=1时，△AFH的面积最大，最大值为所以，四边形ADHF面积的最大值为S故选：B5．（2023·广东广州·一模）如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD=时，△CEF【思路点拨】设BD=x，CD=4-x，根据勾股定理用含x代数式表示出正方形ADEF的面积，利用面积关系S△【解题过程】解：如图，过点A作AH⊥BC垂足为点∵△ABC是等边三角形，AB∴BH=HC设BD=x，则DH=2-S正方形S△如图，在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，过点C作AF的垂线，交AF于点∵AF∥DE∴MN∴四边形ADNM为矩形，MN=∴S∴SS△当x=2-3时，S△故答案为：2-3，96．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B【思路点拨】根据运动过程可分三种情况讨论：当0<x≤2时，两个三角形重叠部分为△BC'D的面积，当2<x【解题过程】解：①当0<x≤2时，如图1所示，两个三角形重叠部分为由题意得，BC∵△ABC和△A'B'∴△BC'过点D作DE⊥BC于点∴BE∴DE∴S即y=②当2<x≤5时，如图2所示，两个三角形重叠部分为由题意得，B'过点A'作A'E∴A∴S即y=③当5<x≤7时，如图3所示，两个三角形重叠部分为由题意得，BC∵△ABC和△A'B'∴△B'CD过点D作DE⊥BC于点∴DE∴S即y=综上，写出y与x之间的函数关系式为y=故答案为：y7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点【思路点拨】证明△BEF是等边三角形，求出△BEF的面积y与【解题过程】解：连接BD，如图所示：∵菱形ABCD的边长为1，∠DAB∴△ABD和△∴∠BDE=∠BCF∵AE+DE=∴DE=在△BDE和△DE=∴△BDE∴∠DBE=∠CBF∵∠DBC∴∠DBF∴∠EBF∴△BEF∴BE=∴△BEF的面积y作BE'⊥AD于∵AE=∴EE∴BE∴y=∴y与x的函数关系式为：y=故答案为：y8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→

【思路点拨】先证明△ABC，△ACD均为等边三角形，再分0≤x≤1、1<x≤2、2<x【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=2cm，∴AD=CD=∴△ABC，△∴∠CAD=∠ACD∴运动时间为xs最大为2cm×3当0≤x≤1时，点P在AC，点Q在AB上，如图，过P作PE⊥

由题意，AP=xcm，AQ=2x∴AE=则PE=∴y=当1<x≤2时，点P在AC上，点Q在AB上，如图，过Q作QF⊥

由题意，AP=xcm在Rt△CQF中，∴CF=则QF=∴y=当2<x≤3时，点P、Q均在CD上，如图，过

由题意，CP=x-∴PQ=在Rt△ADG中，∴DG=则AG=∴y=综上，当0≤x≤1时，y=32x2；当1<故答案为：当0≤x≤1时，y=32x2；当1<9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s（1）几秒时，PQ的长度为42（2）几秒时，△PBQ的面积为8（3）当t0<t<5【思路点拨】本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用t代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．（1）设运动时间为t秒，分别用t的代数式表示出线段PB,（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；（3）利用（1）中的方法求得四边形APQC的面积，利用二次函数的性质即可求解．【解题过程】（1）解：设运动时间为t秒时，PQ的长度为42依题意得：AP=tcm,BQ∴PB∴∠B∴P∴6-解得：t=2或2∴2秒或25秒时，PQ的长度为4（2）解：设运动时间为t秒时，△PBQ的面积为8依题意得：AP=∴PB∵△PBQ的面积为8∴1解得：t=2或4∴2秒或4秒时，△PBQ的面积为8（3）解：四边形APQC的面积=S====t∵1>0，∴当t=3时，四边形APQC的面积最小，最小值为2110．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿

（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x（3）求出y的最大值．【思路点拨】（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的长度，又两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿（2）有两种情况：①当Q在AB上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当Q在BC上，利用（1）的结论求出BQ，CQ的长度，也就可以求出Q到AB的距离，再利用三角形的面积公式即可求解；（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠∴BC=2，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C，∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷（2）解：∵设AP=x，△APQ①当Q在AB上，

即0<x≤3②当Q在BC上，过Q作QE⊥AC于∵CQ=AB+∴QE=

∴当33<x即：y=-综上所述：y关于x的函数关系式为y=（3）解：对于y当x=33对于y=-3当x=32∵33∴当x=3211．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角△ABC的直角边AB=BC=20cm,AC=202cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段【思路点拨】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/秒，求出QC、PB与t的关系式就可得出（2）求出△ABC的面积，结合S△PCQ=S△ABC，设P运动的时间为t（3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，连接EQ、PM，易证△APE【解题过程】（1）解：当t≤20秒时，P在线段AB上，此时CQ=t∴S当t>20秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t∴S综上所述S=（2）解：S△当0<t<20秒时，方程无解；当t>20秒时，1解得x1∴当点P运动10+105秒时，S（3）解：线段DE的长度不会改变，理由如下：如图，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点∵AB∴∠∵AP=∴△APE∴AE∵EP∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半，∴EM∴ED同理，当点P在点B右侧时，DE=10综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变，为12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，点D为BC边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）当线段QE被边AC平分时，求t的值；（3）设▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t【思路点拨】（1）分0<t<2和（2）设AC与QE相交于点F，求出QF=2AQ=2t，由平行四边形的性质得到QE（3）过点Q作QH⊥BC于点H，分0<t<2和2<t<4此题考查了列函数关系式、等腰直角三角形的性质、二次根式运算等知识，数形结合和分类讨论是是解题的关键.【解题过程】（1）解：∵点D为BC边的中点，∴BD=当0<t<2时，当2<t<4时，（2）如图1，设AC与QE相交于点F，在Rt△AQF中，∴QF=∵以PQ、PD为邻边作∴QE=又∵QE=2∴4-2t解得t=（3）如图，过点Q作QH⊥BC于点∵∠BAC∴AB=在Rt△BQH中，BQ∴QH=当0<t<2时，∴S=当2<t<4时，∴S=∴S=当S=6时，若2t2当S=6时，若-∴t13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．动点P，Q从A同时出发，且速度均为3cm/s，点P，Q分别沿折线AB-BC，AD-DC向终点C

（1）当点P与点B重合时，x的值为______．（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．【思路点拨】（1）当点P与点B重合时，即AP=AB=3（2）分类讨论：当0<x≤1时、当1<x≤2时和当（3）由题意可知当点P在AB上运动或点Q在CD上运动时PQ长度一定发生变化，即讨论1<x≤2即可，此时点P在BC上运动，点Q在AD上运动，过点P作PE⊥【解题过程】（1）解：当点P与点B重合时，AP=∴x故答案为：1；（2）解：分类讨论，当0<x

∴AP∴y当1<x

∴AQ∴y当2<x

∴DQ=3x-6∴=3×6-=-9综上可知：y=（3）解：由题意知，当点P在AB上运动或点Q在CD上运动时PQ长度一定发生变化，∴讨论1≤x≤2即可，此时点P在BC上运动，点Q在AD上运动，如图，作PE⊥

∴AE=BP=3x-∴EQ=∴PQ=∴当PQ长度不变时，1≤x≤2，PQ长度为14．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为（单位：（1）正方形的边长为______，点P的运动速度为______；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）若P在AB上运动时，点P，Q的位置记为P1，Q1，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为P2，Q2，且点P从【思路点拨】（1）根据正方形的性质及三角形的面积公式即可求得正方形的边长，从而求得速度；（2）根据动点的运用，分类讨论，①当0≤x<4时，AP=AQ=x；（3）设点P运动到点P1处时，x=m(0<m<4)，则点设六边形P1BP2Q2D【解题过程】（1）解：由题意可得△ABD的面积为8∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=∴12解得AB=4cm，(负值舍去∴正方形的边长为4cm∴点P的运动速度为4÷4=1cm/s故答案为：4cm，1（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=∴BD=∵点P、Q的速度为1cm/s，设运动时间为x∴点P从A→B的时间为4÷1=4(s)，从点Q从A→D的时间为4÷1=4(s)，从①当0≤x<4时，∴S△ABD=∴S四边形∴y与x之间的函数关系式为y=-②当4≤x

∴CQ=∴S△ABD=12∴S四边形∴y与x之间的函数关系式为y=-综上所述，y与x之间的函数关系式为y=（3）解：设点P运动到点P1处时，x=m(0<m<4)，则点设六边形P1BP则S=-=-=-m∴当m=2时，六边形P1B15．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=6cm，动点P以2cm/s的速度从点B出发，沿BC边向终点C运动，过P作PQ⊥AB于点Q，以BP（1）当点M落在AC边上时，求t的值；（2）求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围．【思路点拨】（1）由题意可得BP=2tcm，根据勾股定理求得BQ=PQ=tcm，根据平行四边形的性质可得PB∥QM（2）分两种情况：①当0<t≤2时，S=S▱BPMQ；②当2<t≤3时，MQ,【解题过程】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，AC∴∠A∵PQ∴∠PQB∴∠BPQ∴PQ∵BP∴B∴BQ∵四边形PBQM为平行四边形，∴PB当点M在AC边上时，如图，∵PB∴∠AMQ∵∠A∴△AQM∴A∴AQ∵AQ∴t∴t（2）解：①当0<t∴S②∵在Rt△ABC中，∵AB∴2∴AC∴当2<t≤3时，如图，MQ,MP分别交AC于点∵BO∴AQ∵△AQG∴A∴QG∵QM∴GM∵∠M∴△GHM∴GM∴S综上所述，S=16．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A-D-C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P（1）写出线段PD的长（用含t的式子表示）．（2）当PQ平分菱形面积时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【思路点拨】（1）分两种情况：①当0<t≤2时，②当（2）连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DPQM为矩形，证明△DPO（3）分三种情况：①当0<t≤2时，点P在边AD上，如图2；②当2<t≤3时，当点P在边CD上，点Q在线段AB上，如图3；③当3<t≤4时，当点P在边CD上，点【解题过程】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB当0<t≤2时，当2<t≤4时，（2）解：连接BD，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形∴DP∵AD=AB∴AM∵PQ∴PQ经过BD的中点O∴OB∵四边形ABCD是菱形，∴DC∴∠PDO=∠OBQ∴△DPO≌△∴DP∴2+2t∴t（3）解：分三种情况：①当0<t≤2时，点P在边AD上，如图∵AP=2t∴AQ=1∴S∴S②当2<t≤3时，当点P在边CD上，点Q在线段AB上，如图由（2）可知，∵DP∴AQ∴SS=③当3<t≤4时，当点P在边CD上，点Q在线段AB的延长线上，如图∵AQ=2∴BQ∵∠QBN∴QN∴S=-23综上所述，S与t的函数关系式为S=17．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，点E是AB的中点．动点P从点E出发，沿折线EA-AD-DC以2cm/s的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边DC或边CB于点Q，连接PQ．当点Q与点B（1）当x=1.5时，△PQE的形状是（2）当点Q与点B重合时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【思路点拨】（1）由题意得出当x=1.5时，点P在AD上，如图，作QF⊥AB于F，则∠QFA=∠（2）求出当点Q与点B重合时，此时点P的运动的距离为6cm（3）分三个阶段：当0<x≤1时，点P在EA上运动；当1<x≤2时，点P在AD上运动，作QF⊥AB于F；当2<x≤3时，点【解题过程】（1）解：当x=1.5时，点P运动的距离为：2×1.5=3∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C∵点E是AB的中点．∴AE=∴当x=1.5时，点P在AD如图，作QF⊥AB于F，则∴四边形CBFQ为矩形，∴QF=∵∠PEQ∴∠PEA∵∠PEA∴∠QEF∴△EAP∴PE=∴△PQE（2）如图，当点Q与点B重合时，∵∠PEQ∴四边形CBEP是矩形，∴PC=∴DP=∴此时点P的运动的距离为AE+∴x=6÷2=3（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C∵点E是AB的中点．∴AE=如图，当0<x≤1时，点P在，此时PE=2∵∠PEQ∴四边形ADQE是矩形，∴QE=∴y=如图，当1<x≤2时，点P在AD上运动，作QF⊥AB于∴四边形CBFQ为矩形，∴QF=同（1）可得，△EAP∴PE=∴△PQE由题意得：AP+∴AP=2∴PE∴y=如图，当2<x≤3时，点P在DC上运动，作PH⊥同理可得：四边形DAHP为矩形，△EHP∴HP=AD=2cm，∵AD+∴DP=2∴AH=∴HE=∴PE∴y=综上所述，y=18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，∠A=60°．点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作PQ⊥AB，交折线AD-DB于点Q，以PQ、PB为边作矩形PQEB，设矩形PQEB与△（1）用含t的代数式表示PB的长；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）作射线CE，当CE截矩形PQEB所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值．【思路点拨】（1）根据菱形性质结合∠A=60°得到△ABD是等腰三角形，得到BD=6，根据含30°的直角三角形性质结合AP=t，即得BP=6-t；（2）分类讨论：当0<t≤3时，点Q在AD上运动，设EQ交BD于点F，证明△AQP≅△FBEASA，PQ=3t，得到EF=AP=（3）分类讨论：设射线CE交AB于点G，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，根据含30°的直角三角形性质得到BH=3，CH=33，当0<t≤3时，若△EBG是等腰直角三角形，推出BH=33-3t，得到33-3t【解题过程】（1）∵在菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD∴AB=∵AP=∴PB=6-（2）当0<t≤3时，如图1，点Q在AD上运动，设EQ交BD于点∵矩形PQEB中，PQ=BE，∴∠APQ∵∠ABD∴∠AQP∴△AQP≅△FBE∴EF=AP=∴S===-3当3<t<6时，如图2，点Q在∵∠BQP∴PQ=∴S=S=（3）设射线CE交AB于点G，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点则∠CHB∵AD∥∴∠CBH∴∠BCH∴BH=∴CH=当0<t≤3时，如图若△EBG则BG=∵BE∥∴∠GCH∵∠CGH∴GH=∴BH=∴33解得t=3-当3<t<6时，设CG交PQ于点K，如图若△EQK则∠QEK∴∠BEG∴∠BGE∵BP=6-t，∴PQ=∴BG=∴BH=3∴3t解得t=3+故t=3-3或19．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cms的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BA方向以1cms的速度向终点A运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC（1）当点D落在QF上时，x的值为______．（2）当点D落在BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【思路点拨】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问