成考（专升本）高数（一）函数的单调性、极值、凹凸性

成考（专升本）高数（一）函数的单调性、极值、凹凸性函数的单调性01函数的极值02函数的凹凸性03目录CONTENTS函数的单调性0101单调递增：若对于区间内任意两点，当自变量增加时，函数值也随之增加。单调递减：若对于区间内任意两点，当自变量增加时，函数值反而减少。定义区分：通过比较区间内任意两点函数值的大小来判断。单调递增与单调递减02利用导数：若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。利用差分：若差分大于零，则函数单调递增；若差分小于零，则函数单调递减。利用函数性质：某些特殊函数，如指数函数、对数函数，其单调性可以根据函数的定义直接判断。单调性的判断方法03中值定理：若函数在区间上连续，在区间内可导，则至少存在一点，使得导数等于区间端点连线的斜率。罗尔定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点函数值相等，则至少存在一点，导数为零。拉格朗日定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得导数等于区间平均变化率。单调性定理04上升区间：图形从左到右上升，对应函数单调递增。下降区间：图形从左到右下降，对应函数单调递减。水平区间：图形平行于x轴，对应导数为零或函数无定义。单调性在图形上的表现单调性的概念函数单调性的反证法特殊函数单调性的证明假设反命题：假设函数不单调，即存在某区间内函数值不按单调性规律变化。引出矛盾：通过导数或差分的性质，引出与假设矛盾的结论。得出结论：由于假设导致矛盾，故原命题成立，函数在该区间单调。基本函数：如幂函数、指数函数、对数函数的单调性可以通过其定义和性质证明。复合函数：利用复合函数的单调性定理，结合基本函数的单调性进行证明。构造函数：通过构造辅助函数，利用已知单调性的函数来证明待证函数的单调性。导数正：若某区间内导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增。导数负：若某区间内导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。导数零点：导数等于零的点可能是单调性的分界点。利用导数证明单调性利用函数差分证明单调性差分正：若某区间内函数差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增。差分负：若某区间内函数差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。差分符号：通过差分符号的变化判断函数的单调性。单调性证明01导数与函数单调性的关系导数正负：导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减。导数符号：导数的符号变化对应着函数单调性的变化。导数存在性：若导数在某区间存在，则该区间内函数的单调性可通过导数判断。02导数为零点与单调性的关系驻点：导数为零的点称为驻点，可能是函数单调性的分界点。极值点：驻点也可能是函数的极值点，需进一步判断。单调性判断：驻点前后导数符号变化，表明单调性发生变化。03导数的符号变化与单调区间符号变化：导数从正变负，函数从递增变为递减；从负变正，函数从递减变为递增。单调区间：通过导数的符号变化确定函数的单调区间。区间划分：根据导数的符号变化将定义域划分为若干单调区间。04导数不存在点对单调性的影响1.3.4单调性与导数的关系函数的极值02极值点的分类驻点是导数为零的点间断点是函数不连续的点导数不存在的点也可能为极值点极值点的判定方法第一导数符号变化法第二导数判别法高阶导数检验法极大值与极小值极大值是指函数在某一点的值大于其附近点的值极小值是指函数在某一点的值小于其附近点的值这两种值是相对于局部范围内的其他点而言的局部极值与全局极值局部极值是指函数在某个邻域内的极值全局极值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值全局极值是局部极值的一个特殊情况极值的定义找出函数的导数求导数为零的点检验这些点的二阶导数或导数符号变化利用导数求极值计算函数的二阶导数在驻点处判断二阶导数的正负如果二阶导数大于零，则为极小值；小于零，则为极大值利用二阶导数判别极值通过微分方程求解利用微分近似值判断极值分析函数的增减性确定极值利用微分法求极值对幂函数、指数函数、对数函数等特殊函数求极值分析特殊函数的性质确定极值类型应用特殊函数的已知极值特性特殊函数极值的求解极值的计算极值在实际问题中的应用在物理学中，利用极值求解最短路径问题在经济学中，利用极值分析成本和收益的最大化或最小化在工程学中，利用极值优化设计方案极值与最值问题的转换将最值问题转化为极值问题来求解通过比较各极值点的大小确定最值运用极值性质简化最值问题的求解极值与函数图像的关系函数的极值点对应图像的局部最高点或最低点函数图像的拐点可能与极值点相关极值可以帮助我们了解函数图像的形态极值在优化问题中的应用在工程优化中，利用极值提高效率在生产优化中，利用极值降低成本在资源优化中，利用极值实现最大利用效率极值的应用函数的凹凸性03凹函数：函数图形像拱桥一样向上弯曲凸函数：函数图形像山谷一样向下弯曲区分方法：通过函数图像或利用切线判定凹函数与凸函数判定方法一：利用切线与割线的位置关系判定方法二：通过函数的一阶导数和二阶导数判定方法三：根据函数的泰勒展开式凹凸性的判定方法一阶导数：单调性与凹凸性无直接关系二阶导数：二阶导数大于零时函数为凹，小于零时函数为凸特殊情况：二阶导数为零的点可能是拐点凹凸性与导数的关系凹函数：任意两点间的弦在函数图形下方凸函数：任意两点间的弦在函数图形上方拐点：凹凸性发生变化的点凹凸性在图形上的特征凹凸性的概念04基本函数：指数函数、对数函数等复合函数：利用链式法则及基本函数凹凸性特定条件：给定条件下的函数凹凸性02基本原理：二阶导数符号与凹凸性的关系特例分析：二阶导数为零时的处理综合应用：多变量函数的凹凸性利用二阶导数证明凹凸性特殊函数凹凸性的证明03假设法：假设函数不凹凸，导出矛盾反证步骤：构造特定点，利用导数性质反证结论：推翻假设，证明函数凹凸01方法一：利用一阶导数的增减性方法二：利用二阶导数的正负性方法三：利用导数的组合判定利用导数证明凹凸性函数凹凸性的反证法凹凸性的证明凹凸性与函数极值的关系凹函数：局部极小值点也是全局最小值点凸函数：局部极大值点也是全局最大值点无关性：极值存在与否与凹凸性无必然联系凹凸性对极值点的影响凹凸性：影响极值点的唯一性和稳定性极值点：凹凸性变化点可能是极值点影响因素