专升本高等数学课件-第二章

第一节导数与微分一、问题的提出二、导数的定义三、导数的几何意义与物理意义四、可导与连续的关系五、小结思考题一元函数微积分学一、问题的提出1.【自由落体运动的瞬时速度问题】如图,取极限得切线的一般定义:如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN2.【切线问题】割线的极限位置——切线位置LMxyoTN在点求曲线L：处切线的斜率。割线

MN

的斜率为：

2.【切线问题】割线的极限位置——切线位置切线MT

的斜率为：【两个问题的共性】瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.则称函数二、导数的定义——“点导数”定义1.【定义】设函数在点存在,并称此极限是函数记作:即若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.“点导数”定义式常见形式【注】函数在处可导，也说在具有导数或导数存在.若上述极限不存在，则说此点不可导或导数不存在.①“点导数”是因变量在x0处的变化率,它反映了x0处因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.【关于导数的说明】③如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数在开区间I

内可导.为方便见,往往说函数f(x)在点x0处的导数为

,即具有无穷导数.②若在不可导是由于时所至;④f(x)的导函数记作⑤【注意】导函数定义式【步骤】【例1】【解】即2.【求导举例】【例2】【解】更一般地［例如］常用公式即【例3】【解】即类似可得正减余在先【例4】【解】【例5】【解】即【例6

】证明函数在x=0不可导.【证】不存在,由本例引出以下概念(2)右导数:3.

【单侧导数】(1)左导数:(3)可导的充要条件【定理】【注】分段函数在分界点处的导数一般要用该定理判定.【例如】例6中在

x=0处有(4)闭区间可导(5)分段函数可导性

(重点

难点)试求f

(x).步骤：1.先在开区间内求导.2.再用导数定义求分界点的导数.【补例】【解】三、导数的几何意义1.【几何意义】曲线在点的切线斜率为若切线与x轴平行,称为驻点;处的曲线在点切线方程:法线方程:【注】若即此示:曲线在该点有垂直于x轴的切线【例7】【解】由导数的几何意义,得切线斜率为切线方程为法线方程为四、可导与连续的关系【定理】凡可导函数都是连续函数.【证Ⅰ】即：可导必连续.【证Ⅱ】【注意】

逆命题不成立，即连续不一定可导.【反例】在

x=0处连续,

但不可导.5.

求导数最基本的方法:由定义求导数.五、小结1.

导数的实质:增量比的极限;（三种定义形式）3.

几何意义:导数—切线的斜率;4.

可导一定连续，但连续不一定可导（两者关系）（可导充要条件）已学求导公式第二节函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、例题分析三、反函数的求导法则四、复合函数的求导法则五、基本求导法则与导数公式六、小结本节内容【思路】(构造性定义

)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题一、和、差、积、商的求导法则【定理】【证】略【推论】有限项有限项二、例题分析【例1】【解】【例2】【解】［注意］【例3】【解】同理可得即【例4】【解】同理可得即【注意】[练习]——四则运算求导法则的练习三、反函数的求导法则【定理】【结论】(直接)反函数的导数等于直接函数导数的倒数.【证】(自阅)【例1】【解】1)∵则类似可求得利用,则【例2】【解】特别地即小结:四、复合函数的求导法则对于等复合函数，存在两个问题：(1)它们是否可导？(2)若可导，如何求导？以下法则回答了这两个问题.【定理】即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)[例如]【推广】此法则可推广到多个中间变量的情形.【例3】【解】【关键】

搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.【例4】【解】【例5】【解】【例6】【解】【例7】【解】【例8】设求【解】【证】(1)【例9】求下列导数(设x>0):五、基本求导法则与导数公式1.【常数和基本初等函数的导数公式】2.【函数的和、差、积、商的求导法则】设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu

¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)3.【反函数的求导法则】4.【复合函数的求导法则】—充分性利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.【补例】【解】求先化简再求导六、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.【关键】正确分解初等函数的复合结构.至此，初等函数的求导问题全部解决.第三节高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例三、小结思考题一、高阶导数的定义【问题】变速直线运动的加速度.【定义】或记作或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n

阶导数,或依次类推,分别记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导函数:二、高阶导数求法举例【例1】【解】1.【直接法】由高阶导数的定义逐步求高阶导数.——又称逐阶求导法证明【例2】【解】2.【利用归纳法】特别有:设求【解】【例3】设求一般地,类似可证:利用归纳法求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明,可省略)【注意】【解】规定0!=1【例4】

设求【例5】【解】设求依次类推,［思考］设问可得三、内容小结(1)直接法(又称逐阶求导法)(2)利用归纳法高阶导数的求法第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数四、小结一、隐函数的导数【定义】隐函数的显化【问题】隐函数不易显化或不能显化如何求导?【隐函数求导方法】用复合函数求导法则直接对方程两边求导.如能够显化.确定隐函数，但不能显化.两边对

x

求导(含导数的方程)(注意y=y(x))【例1】【解】解得【注意】求隐函数的导数，结果中允许含有因变量y.【例2】【解】解得【例3】［自己分析解题思路］【解】所求切线斜率解得从而于是切线方程为即二、对数求导法观察函数,如何求导?

【对数】能够化乘、除为加、减(和差)；而和、差的导数等于导数的和、差,使求导运算简单.【方法】先在方程两边取对数,化为由加减项组成的隐函数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.-----对数求导法【适用范围】【例4】设【解】等式两边取对数得【例5】【解】两边取对数,化为隐式两边对x

求导三、由参数方程所确定的函数的导数【例如】消去参数【问题】

消参困难或无法消参如何求导?参数方程求导公式.【例6】【解】【例7】【解】【解】先求切点坐标再求切线的斜率代入点斜式，得切线的方程即参数方程求导法练习习题2-4P111-1125、6、7本节作业题习题2-4P111-1121(2)(4)、

4(1)(3)、

5(1)、

6、

7(1).四、小结【隐函数求导法则】直接对方程两边求导;【对数求导法】【参数方程求导】适用于幂指函数及某些用连乘、连除、乘方、开方表示的函数.参数方程求导公式.第五节函数的微分一、问题的提出二、微分的定义三、可微的条件四、微分的几何意义五、微分公式与微分法则六、小结思考题一、问题的提出【实例】正方形金属薄片受热后面积的改变量.【问题】这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有这个特点?它是什么?如何求?二、微分的定义【定义】(微分的实质)三、可微的条件（充要性）【定理】【证】(1)(2)【例1】【解】四、微分的几何意义MNT）【几何意义】(如图)PQ△y≈dy五、微分公式与微分法则【求法】计算函数的导数,再乘以自变量的微分.1.【基本初等函数的微分公式】2.【函数和、差、积、商的微分法则】【例2】【解】【结论】微分形式的不变性3.【复合函数的微分法则】（微分形式的不变性）对谁求导乘以谁的微分【例3】【解】【解】【例4】在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.六、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★第六节洛必达法则三、小结思考题二、0·∞,∞-∞,00,1∞,∞0型未定式解法—洛必达法则

存在(或为)[定理](洛必达法则)[推论1]定理1中换为下列过程之一:[推论2]

若必达法则条件,则条件2)作相应的修改,定理仍然成立.洛必达法则[注]（证明略）[例1][解][例2][解]例题部分[注意]

1.

不是未定式不能用洛必达法则!2.

由此可见，在使用洛必达法则时应步步整理、步步判别。如果不是未定式就坚决不能用洛必达法则。[例3][解][例4][解]或等价无穷小代换更简单[例5][解][例6][解](1)

相继应用洛必达法则n次，得(2)两例实际为无穷大的比较，高阶无穷大,……[说明](1)

上两例表明时,后者比前者趋于更快.[说明]洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.[课本例10][解]或上式二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0

型未定式解法[补例][解][关键]将以上类型未定式化为洛必达法则可解决的类型[解法]注：以下写法仅是记号1.[0·∞]型转化[课本例8][解][解法]2.

[∞－∞]型转化[补充练习]3.

[00,1∞,∞0]

型——幂指函数类以下举例说明[例9][解]第七节函数的单调性

与曲线的凹凸性一、单调性的判别法二、单调区间求法三、单调性小结四、曲线凹凸的定义五、曲线凹凸的判定六、曲线的拐点及其求法七、凹凸性小结一、单调性的判别法[定理1][证]（1）应用拉氏定理,得(2)同理可证。例题部分——单调性应用[注]定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.应用1:判断函数的单调性(或求函数的单调区间)[例1]判定函数y=x–sinx

在[0,2

]上的单调性.[解]因为

在(0,2

)内.故由定理1立得函数y=x–sinx

在[0,2

]上的单调增加.[例2][解][注意]函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．[说明

]1.单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.［例3］2.如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性

.［例5]

3.熟记单调区间的可能分界点(1)

驻点;(2)不可导点x=0不可导点二、单调区间求法[方法]小结：单调区间的求法步骤①求定义域②求驻点、不可导点(可能的分界点)④确定单调区间③列表考察f

(x)在各个区间内的符号[课本例4]确定函数的单调区间.[解]令得故的单调增区间为的单调减区间为[例6]证明当x>1时,[证]应用2:利用函数的单调性证明不等式三、单调性小结2.可导函数单调性判别(充分性)在I

上单调递增在I

上单调递减1.函数单调区间的可能分界点(1)

驻点;(2)不可导点3.单调性应用:(1)求函数的单调区间;(2)利用单调性证明不等式.四、曲线凹凸的定义[问题]单调性不能反映曲线的弯曲方向；如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方[定义]设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.五、曲线凹凸与拐点的判定【观察】[定理2](凹凸判定法)(1)在

I内则在I

内图形是凹的;(2)在

I内则在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上二阶可导[注]定理中区间I可以为闭区间也可为非闭区间.[例8][解][注意]这样的点称为曲线的拐点，［定义］连续曲线上凹凸的分界点

(x0

，f(x0))称为拐点.内点六、曲线的拐点及其求法1.可能(可疑)拐点的求法[分析]所以要寻求拐点,只要找出使f

(x)正负号发生变化的分界点即可.如果f

(x)连续,则f

(x)的值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即此外,f

(x)不存在的点也可能是拐点（如下图）可能的拐点[总结]①②2.判定拐点的步骤由此可得求拐点的步骤如下:若在其两侧二阶导数变号,则点(x0,f(x0))是拐点；

若在其两侧二阶导数不变号,则点(x0,f(x0))不是拐点；

—可能的拐点[例11]判断曲线的凹凸性及其拐点.[解]故曲线在上是凹的.[结论]由例8和例11可知：二阶导数为零的点可能是拐点,

也可能不是拐点。[课本例12]

求曲线的拐点.[解]不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸[结论]2)此例说明了不存在的点也可能

是曲线的拐点.[课本例10]求曲线的凹凸区间及拐点.[解]1)求2)求可能的拐点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上是凹的,是凸的,点(0,1)

及均为拐点.函数的凹凸性拐点练习题习题3-4P1538(1)(3)、9(1)(2)、12函数的凹凸性拐点作业题习题3-4P1538(1)、9(1)、12七、曲线的凹凸性小结3.拐点的求法：1.找出可能拐点；2.判别.一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸可能拐点——1.

f

(x)=0的点

2.f

(x)不存在的点.1.曲线凹凸的判别2.拐点—连续曲线上的凹凸分界（内点）点第七节函数的极值与最大值最小值一、函数极值的定义二、函数极值的求法三、极值小结思考题四、最值的求法五、应用举例六、最值小结一、函数极值的定义1.[图形分析]2.[定义]在其中当时,(1)则称为的极大点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小点

,称为函数的极小值

.极大点与极小点—极值点

.极大值与极小值—极值.3.[有关极值概念的几点说明](1)极值是一个局部性的概念.且不一定唯一;不一定存在.(2)极大值不一定比极小值大，还可能相等.(3)由极值定义可知：极值只能在区间内部取得—内点，不能在区间的端点处取得—非边界点.(4)对常见连续函数,极值点可能出现在驻点或不可导点.为极大点为极小点不是极值点二、函数极值的求法①[定理1]②

[注意]［例如］（费玛引理）即：可导函数取得极值的必要条件.(ⅰ)可导函数的极值点驻点,1.可导函数取极值的必要条件(ⅱ)驻点极值点［例如］

y=|x|在x=0点.[定理2]

(极值第一判别法)2.判定极值的方法(1)第一充分条件(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(3)“左右不变号”,(自证)(不是极值点情形)(是极值点情形)[总结](1)可导函数的可能(可疑)极值点:①驻点;

(2)连续函数的可能(可疑)极值点:①驻点;②不可导点.

[例1]求函数的极值.[解]1)D=R，2)求极值可疑点令得是不可导点3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其