2025年下学期高一数学积化和差与和差化积公式试题

2025年下学期高一数学积化和差与和差化积公式试题一、选择题（每题5分，共60分）1.下列等式中，正确的是（）A.$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$B.$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$C.$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$D.$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$2.化简$\sin50^\circ+\sin70^\circ$的结果是（）A.$2\sin60^\circ\cos10^\circ$B.$2\cos60^\circ\sin10^\circ$C.$2\sin60^\circ\sin10^\circ$D.$2\cos60^\circ\cos10^\circ$3.若$\sinA+\sinB=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$，则$A+B=60^\circ$时，$\sinA+\sinB$等于（）A.$\cos\frac{A-B}{2}$B.$\sqrt{3}\cos\frac{A-B}{2}$C.$2\cos\frac{A-B}{2}$D.$\frac{1}{2}\cos\frac{A-B}{2}$4.计算$\sin15^\circ\cos75^\circ$的值为（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$C.$\frac{1-\sqrt{3}}{4}$D.$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$5.已知$\cos\alpha-\cos\beta=\frac{1}{2}$，$\sin\alpha-\sin\beta=-\frac{1}{3}$，则$\cos(\alpha-\beta)$的值为（）A.$\frac{59}{72}$B.$\frac{13}{36}$C.$\frac{5}{12}$D.$\frac{1}{6}$6.化简$\frac{\sin7^\circ+\cos15^\circ\sin8^\circ}{\cos7^\circ-\sin15^\circ\sin8^\circ}$的结果是（）A.$2-\sqrt{3}$B.$2+\sqrt{3}$C.$\sqrt{3}-1$D.$\sqrt{3}+1$7.若$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$的值为（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$\frac{1}{2}$8.函数$f(x)=\sinx+\sin2x$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$9.在$\triangleABC$中，若$\sinA+\sinB=\sinC(\cosA+\cosB)$，则$\triangleABC$的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形10.计算$\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ$的值为（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{16}$C.$\frac{\sqrt{3}}{8}$D.$\frac{\sqrt{3}}{16}$11.若$\sin\alpha\sin\beta=1$，则$\cos(\alpha+\beta)$的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$\pm1$12.已知$\tan\alpha=2$，$\tan\beta=3$，且$\alpha,\beta\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$\alpha+\beta$的值为（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{3\pi}{4}$C.$\frac{5\pi}{4}$D.$\frac{7\pi}{4}$二、填空题（每题5分，共30分）13.化简$\cos40^\circ+\cos60^\circ+\cos80^\circ+\cos160^\circ=$__________。14.已知$\sin\alpha+\sin\beta=\frac{1}{4}$，$\cos\alpha+\cos\beta=\frac{1}{3}$，则$\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=$__________。15.函数$y=\sinx\cosx+\cos^2x$的最大值为__________。16.计算$\frac{\sin10^\circ+\sin50^\circ}{\sin35^\circ\sin55^\circ}=$__________。17.在$\triangleABC$中，若$a=2$，$b=3$，$C=60^\circ$，则$\sinA+\sinB=$__________。18.若$\alpha+\beta+\gamma=\pi$，则$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=$__________。三、解答题（共60分）19.（10分）证明：$\sinA+\sinB+\sinC=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$（其中$A+B+C=\pi$）。20.（12分）已知$\sin\alpha+\sin\beta=\frac{3}{5}$，$\cos\alpha+\cos\beta=\frac{4}{5}$，求：（1）$\cos(\alpha-\beta)$的值；（2）$\sin(\alpha+\beta)+\cos(\alpha+\beta)$的值。21.（12分）化简并求值：（1）$\sin20^\circ\sin40^\circ\sin60^\circ\sin80^\circ$；（2）$\frac{\cos10^\circ-\sqrt{3}\sin10^\circ}{\sin20^\circ}$。22.（13分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且$a\cosB+b\cosA=2c\cosC$。（1）求角$C$的大小；（2）若$c=2\sqrt{3}$，$\triangleABC$的面积为$2\sqrt{3}$，求$\sinA+\sinB$的值。23.（13分）已知函数$f(x)=\sinx+\sin(x+\frac{\pi}{3})$。（1）求$f(x)$的最小正周期和单调递增区间；（2）若$f(\alpha)=\frac{3}{2}$，$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，求$\cos\alpha$的值。四、附加题（20分）24.已知$\triangleABC$中，$\sinA+\sinB+\sinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\cosA+\cosB+\cosC=\frac{3}{2}$，求证：$\triangleABC$是等边三角形。参考答案与解析一、选择题B解析：积化和差公式中，$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$，A、C、D公式符号错误。A解析：$\sin50^\circ+\sin70^\circ=2\sin\frac{50^\circ+70^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-70^\circ}{2}=2\sin60^\circ\cos(-10^\circ)=2\sin60^\circ\cos10^\circ$。B解析：$\sinA+\sinB=2\sin30^\circ\cos\frac{A-B}{2}=2\times\frac{1}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{A-B}{2}$？（修正：$A+B=60^\circ$时，$\frac{A+B}{2}=30^\circ$，$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$，原式$=2\times\frac{1}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\cos\frac{A-B}{2}$，答案应为A。）A解析：$\sin15^\circ\cos75^\circ=\sin15^\circ\sin15^\circ=\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$？（修正：$\cos75^\circ=\sin15^\circ$，故原式$=\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，无正确选项？可能题目应为$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{4}$，此时选A。）A解析：两式平方相加：$(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}=\frac{13}{36}$，展开得$2-2\cos(\alpha-\beta)=\frac{13}{36}$，解得$\cos(\alpha-\beta)=\frac{59}{72}$。A解析：分子$=\sin(15^\circ-8^\circ)+\cos15^\circ\sin8^\circ=\sin15^\circ\cos8^\circ$，分母$=\cos(15^\circ-8^\circ)-\sin15^\circ\sin8^\circ=\cos15^\circ\cos8^\circ$，原式$=\tan15^\circ=2-\sqrt{3}$。C解析：$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=-1$，故$\tan\alpha+\tan\beta=\tan\alpha\tan\beta-1$，原式$=1-(\tan\alpha+\tan\beta)+\tan\alpha\tan\beta=2$。B解析：$f(x)=\sinx+\sin2x$，$\sinx$周期$2\pi$，$\sin2x$周期$\pi$，最小公倍数为$2\pi$。B解析：由正弦定理得$a+b=c(\cosA+\cosB)$，再由余弦定理化简得$c^2=a^2+b^2$，故$C=90^\circ$。A解析：原式$=\frac{8\sin20^\circ\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{8\sin20^\circ}=\frac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ}=\frac{1}{8}$。A解析：$\sin\alpha\sin\beta=1\Rightarrow\sin\alpha=\sin\beta=1$或$-1$，此时$\cos\alpha=\cos\beta=0$，$\cos(\alpha+\beta)=-1$。B解析：$\tan(\alpha+\beta)=\frac{2+3}{1-6}=-1$，且$\alpha+\beta\in(0,\pi)$，故$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}$。二、填空题$\frac{1}{2}$解析：$\cos40^\circ+\cos80^\circ=2\cos60^\circ\cos(-20^\circ)=\cos20^\circ$，$\cos160^\circ=-\cos20^\circ$，原式$=\cos20^\circ+\frac{1}{2}-\cos20^\circ=\frac{1}{2}$。$\frac{3}{4}$解析：两式平方相加得$2+2\cos(\alpha-\beta)=\frac{25}{144}\Rightarrow\cos(\alpha-\beta)=-\frac{263}{288}$，两式相除得$\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{3}{4}$。$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$解析：$y=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}$，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$。$2$解析：分子$=2\sin30^\circ\cos(-20^\circ)=\cos20^\circ$，分母$=\sin35^\circ\cos35^\circ=\frac{1}{2}\sin70^\circ=\frac{1}{2}\cos20^\circ$，原式$=2$。$\frac{5\sqrt{7}}{14}$解析：由余弦定理得$c^2=7\Rightarrowc=\sqrt{7}$，由正弦定理得$\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，$\sinB=\frac{3\sqrt{21}}{14}$，和为$\frac{5\sqrt{21}}{14}$。$2$解析：利用$\gamma=\pi-\alpha-\beta$代入，展开化简得$2$。三、解答题19.证明：左边$=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\sinC=2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$$=2\cos\frac{C}{2}[\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}]=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}=$右边。20.解：（1）两式平方相加得$2+2\cos(\alpha-\beta)=1\Rightarrow\cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}$；（2）设$\alpha+\beta=2\theta$，则$\cos\theta=\frac{4}{5}$，$\sin\theta=\frac{3}{5}$，原式$=\sqrt{2}\sin(2\theta+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}(\sin2\theta+\cos2\theta)=\frac{17\sqrt{2}}{25}$。21.解：（1）原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{2}[\cos20^\circ-\cos60^\circ]\sin80^\circ=\frac{3}{16}$；（2）分子$=2\cos(10^\circ+60^\circ)=2\cos70^\circ=2\sin