第1课时基本事实“边角边(SAS)”

第1章三角形1.3全等三角形的判定第1课时基本事实“边角边(SAS)”

基本事实“边角边(SAS)”1.【学科特色·教材变式】如图,a,b,c分别表示△ABC的三边

长,下面三角形中与△ABC一定全等的是()

C

ABCD解析在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=72°,依据SAS可证△ABC与选项C中的三角形全等.故选C.2.(2025江苏南通启东月考)如图,已知AD∥BC,欲用“边角

边”证明△ABC≌△CDA,需补充条件

()A.AB=CD

B.∠B=∠DC.AD=CB

D.∠BAC=∠DCA

C

解析添加的条件是AD=CB,理由:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,在△ABC和△CDA中,

∴△ABC≌△CDA(SAS).3.(2021江苏泰州中考)如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB

为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则

∠AFP为()A.2α

B.90°-αC.45°+α

D.90°-

α

B

解析∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°,∵∠CBE=α,∴∠PBC=90°-α,∵四边形APCD、PBEF是正方形,∴AP=CP,∠APF=∠CPB=90°,PF=PB,在△APF和△CPB中,

∴△APF≌△CPB(SAS),∴∠AFP=∠PBC=90°-α.4.(2025江苏镇江期中)如图,已知∠1=∠2,添加条件________,可

以利用“SAS”证明△ADB≌△ADC.AB=AC解析∵∠1=∠2,AD=AD,∴当添加AB=AC时,△ADB≌△ADC(SAS).5.(2025江苏无锡锡山月考)如图,在△PAB中,∠A=∠B,M,N,K

分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则

∠P的度数为____.100°解析在△MAK和△KBN中,

∴△MAK≌△KBN(SAS),∴∠BKN=∠AMK,∵∠MKB是△MAK的外角,∴∠BKN+∠MKN=∠A+∠AMK,∴∠A=∠MKN=40°,∴∠B=∠A=40°,∴∠P=180°-40°-40°=100°,故答案为100°.6.(2023广东广州中考)如图,B是AD的中点,BC∥DE,BC=DE.

求证:∠C=∠E.证明∵B是AD的中点,∴AB=BD.∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在△ABC和△BDE中,

∴△ABC≌△BDE(SAS),∴∠C=∠E.7.【学科特色·教材变式】如图,为测量池塘两端的A,B两点间

的距离,小明设计了一种方案:先在平地上取一个点C,从点C

不经过池塘可以直接到达点A和B,连接AC并延长到点D,使

CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE.(1)根据小明的设计方案画出示意图.(2)请说明DE的长就是A,B两点间的距离.解析

(1)示意图如图所示.(2)在△ACB与△DCE中,

∴△ACB≌△DCE(SAS),∴AB=DE.故DE的长就是A,B两点间的距离.8.(2025江苏南通崇川期中)如图,在△ABC和△CED中,AB=

CE,∠B=∠E,BC=ED.(1)求证:AB∥CD.(2)若AB=5,AE=2,求CD的长.解析

(1)证明:在△ABC和△CED中,

∴△ABC≌△CED(SAS),∴∠CAB=∠DCE,∴AB∥CD.(2)∵△ABC≌△CED,∴CE=AB=5,CD=AC,∵AE=2,∴CD=AC=CE-AE=5-2=3.9.(2025江苏连云港实验中学月考,★★☆)如图,已知AB=AC,

AD为∠BAC的平分线,D,E,F,…为∠BAC的平分线上的若干

点.如图1,连接BD,CD,图中有1对全等三角形.如图2,连接BD,

CD,BE,CE,图中有3对全等三角形.如图3,连接BD,CD,BE,CE,

BF,CF,图中有6对全等三角形,……依此规律,第2025个图形

中全等三角形的对数是

()

B

A.2049300

B.2051325C.2068224

D.2084520解析如题图1,△ABD≌△ACD,共有

=1对全等三角形;如题图2,△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BDE≌△CDE,共

有

=3对全等三角形;如题图3,△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BDE≌△CDE,

△BEF≌△CEF,△BDF≌△CDF,△ABF≌△ACF,共有

=6对全等三角形,由此发现规律:第n个图形中,全等三角形有

对,∴第2025个图形中有

=2051325对全等三角形,故选B.10.(2024江苏盐城阜宁期中,★☆☆)如图,已知∠C=∠D,CE=

DE,BC=AD,A,E,B三点在同一条直线上.下列结论:①∠A=∠B;

②E是AB的中点;③∠AEC=∠BED;④AD⊥BC.其中正确的有

()A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

C

解析在△EAD和△EBC中,

∴△EAD≌△EBC(SAS),∴∠A=∠B,AE=BE,∠AED=∠BEC,

∴∠AEC=∠BED,故①②③正确;∵∠A+∠B不一定等于90°,

∴AD与BC不一定垂直,故④不正确.故选C.11.(2025江苏扬州月考,★★☆)如图,在等边三角形ABC中,顶

点A,C处各有一只蚂蚁,它们同时出发,分别以同样的速度由A

向B和由C向A爬行,经过t秒后,它们分别到达D,E处,请问两只

蚂蚁在爬行过程中,(1)CD与BE有何数量关系,为什么?(2)DC与BE相交所成的∠BFC的大小是否发生变化?若有变

化,请说明理由;若没有变化,求出∠BFC的大小.解析

(1)CD=BE.理由:∵两只蚂蚁同时出发,速度相同,∴AD=CE,∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠A=∠BCE=60°,在△ACD和△CBE中,

∴△ACD≌△CBE(SAS),∴CD=BE.(2)∠BFC大小不会发生变化.∵△ACD≌△CBE,∴∠DCA=∠EBC,又∵∠DCA+∠DCB=60°,∴∠EBC+∠DCB=60°,∴∠BFC=180°-60°=120°.12.【新课标·推理能力】(2025江苏南京玄武期中)在△ABC

中,AB=AC,点D是射线CB上一动点(不与点B,C重合),以AD为

边在其右侧作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,点D在线段CB上,求证:△ABD≌△ACE.(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.当点D在射线CB上移动时,探究α与β之间的数量关系,并说明理由.解析

(1)证明:∵∠DAE=∠BAC,∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,

∴△ABD≌△ACE(SAS).(2)当点D在射线CB上移动时,α与β之间的数量关系是α+β=180°或α=β,理由如下:①当点D在线段CB上时,由(1)可知△ABD≌△ACE(SAS),∴∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB,∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠