2024苏科版八年级数学上册题型专练：勾股定理的探究（二）含解析

3.1勾股定理的探究（2）

题型一、勾股定理的证明方法

基础达标题型二、证明勾股定理

题型三、有关弦图的计算问题

题型四、构造勾股定理解决问题

勾股定理的题型一、勾股定理与展开图最短路径问题

能力提升题型二、勾股定理与三免形动点问题

探究（2）

题型三、构造直角三角形解决最值问题

拓展培优

A基础达标题

题型一、勾股定理的证明方法

1.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的"赵爽弦图"，在

用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（）

1,7

B.3ab=(a-b)C.-2ab+(Q—byD.ab=，—(a—

2.（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能证明

勾股定理的是（）

3.（24-25八年级上•河南关B州•阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形

可以验证公式（）

1/50

c

A.(a+Z?)(a-Z?)=«2-b2B.(a+by=a2+lab+b~

C.a2=c2-b2D.(a-6y-a~-2ab+b~

4.（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一.下列四幅图中，不能验证

勾股定理的是（）

5.（23-24八年级・全国・单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、

乙两种方案，下列判断正确的是（）

甲乙

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

题型二、证明勾股定理

6.（24-25八年级上•上海,期末）本学期,我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的

周朝，当时商高提出了"勾三股四弦五"的特例.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且

2/50

很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽

创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.目前已知的勾股定理的证明

方法约有500多种.

⑴请写出勾股定理的内容.

（2）请写出一种勾股定理的证明方法.

7.（24-25八年级上•山东济南•期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答

下列问题：

（2）利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25,且（0+=49,求小正方形的面积.

8.（24-25八年级上•山西运城・期中）如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形.

图①图②

⑴请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形N3C。；

（2）如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为c,请你利用图②拼成的图形证明勾股定

理.

9.（24-25八年级上•福建三明•期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定

理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图"是四个全等的直角三角形（两

直角边长分别为。,b,且a>b,斜边长为C）和一个小正方形拼成的一个大正方形.

3/50

⑴请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积H.（结果化为最简）

方法1:5=;方法2：耳=；根据以上信息，可以得到等式

（2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2,若。=10,6=5,求图2中阴影部分的面积邑.

⑶图3,将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24,且6=3,

求该风车状图案的总面积.

题型三、有关弦图的计算问题

10.（24-25八年级上•辽宁辽阳•阶段练习）有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1,把它们分割后拼

A.ab=2B.a~+b2=5

C.大正方形的边长是右D.大正方形的边长是百

11.（24-25八年级上•重庆沙坪坝•期末）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的

直角三角形拼接而成.若4B=17,4H=8,则正方形EFG8的边长是（）

12.（24-25八年级上•陕西咸阳•期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了"赵爽弦图"，如图

所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29,每个

直角三角形的较短直角边均为2,则中间小正方形（阴影部分）的周长为（）

4/50

B.14.5C.14D.12

13.（24-25八年级•天津河北,期中）如图所示的"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方

形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12,大正方形的面积是169,则小正方形的面积

14.（24-25八年级上•浙江杭州•期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形

ABCD与正方形EFGH,连结。尸并延长，交3C于点若“方9BCD=5,E为N厂中点，则。尸的长

15.（24-25八年级上•河南郑州•期末）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个

正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为。，b（a<b）,斜边长为c.

G

图①图②

⑴请利用图①证明:a2+b2=c\

5/50

⑵如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形/BCDEFG",若该图形的

周长为80,OB=5,求该图形的面积.

题型四、构造勾股定理解决问题

16.（24-25八年级上•河南平顶山•阶段练习）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题："问

沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？"问题

大意：如图，在VA8C中，A8=13里，8c=14里，/C=15里，求VN8C的面积.请你解决该问题.

17.（24-25八年级•内蒙古乌兰察布•期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b,

斜边长为c,则/+/=02.

（1）图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法"，请你利用图1推导上面的关系式.利用以上所得的直

角三角形的三边关系进行解答；

⑵如图2,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点/、B,其中=由于某种

原因，由。到/的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点XG4、H、3在一条

直线上），并新修一条路CH,且测得S=6千米，/田=4千米，求新路C”比原路C/少多少

千米？

⑶在第（2）问中若4BW/C时，CH工AB,AC=8,BC=IO,AB=\2,设=求x的值.

能力提升题

题型一、勾股定理与展开图最短路径问题

18.（23-24八年级•全国•课后作业）已知某植物绕着树干向上生长.

6/50

A

（1）如果树干的周长（即图中圆柱的底面周长）为30cm,绕行一圈升高（即圆柱的高）40cm,则它绕行一

圈的长度是多少？

⑵如果树干的周长为80cm,绕行一圈的长度是100cm,绕10圈到达树顶，则树干高多少？

19.（23-24九年级下•山东聊城•阶段练习）如图，长方体的长为20cm,宽为10cm,高为15cm,点B与点C

之间的距离为5cm,一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖.

正面

⑴求点A到点3的距离;

（2）蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？

20.（23-24八年级♦江西赣州•期中）如图①，圆柱的底面直径为6cm,高12cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行，探

究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米:

CB

A

图①图②

⑴图②是将圆柱侧面沿/C裁剪后展开形成的四边形44'C'C,点3在线段上，求CC的长（兀取3）；

（2）在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度.

21.（23-24八年级•河北沧州,期中）【阅读材料】

如图1,有一个圆柱，它的高为12cm,底面圆的周长为18cm,在圆柱下底面的点/处有一只蚂蚁，它想吃

到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

7/50

B

图1

【方法探究】

对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定/,8两点的位置，依据"两点之

间线段最短"，结合勾股定理，解决相应的问题.如图2,在圆柱的侧面展开图中，点4,3对应的位置如图

所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段N5的长.

图2

【方法应用】

(1)如图3,圆柱形玻璃容器的高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与

蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点尸处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走

的最短路线的长度.

图3

(2)如图4,长方体的棱长48=2C=6cm,AA,=14cm,假设昆虫甲从盒内顶点G开始以Icm/s的速度

在盒子的内部沿棱CC向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫

乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？

8/50

Di无盖C

图4

22.（23-24七年级下•全国•单元测试）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.诗中隐含着一个有趣的数学问题:

诗中将军在观望烽火之后从山脚的/点出发，奔向小河旁边的尸点饮马，饮马后再到2点宿营，若/,B

到水平直线/（/表示小河）的距离分别是2,1,N8两点之间水平距离是4.

⑴请作出使4P+P5和最小的点P.

（2）请求出/尸+P8最小值.

题型二、勾股定理与三角形动点问题

23.（23-24八年级上•湖南衡阳•阶段练习）如图，V/BC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若动点尸

从点C开始，按Cf/f的路径运动，且速度为每秒1c加，设出发的时间为/秒.

（1）出发2秒后，求A/BP的周长.

（2）问/满足什么条件时，ABCP为直角三角形？

⑶另有一点。，从点C开始，按N-C的路径运动，且速度为每秒2CTW,若P、。两点同时出发,

当尸、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当,为何值时，直线尸。把V/8C的周长分成相等的两

部分？

题型三、构造直角三角形解决最值问题

24.（23-24九年级上•江西南昌•开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难

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入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分

密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：

（1）【提出问题】已知0<x<l,求Jl+Y+Jl+（1-的最小值

（2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为"亨和Jl+（l-x）2的

线段，将代数求和转化为线段求和问题.

【解决问题】

①如图，我们可以构造边长为1的正方形/BCD,P为8C边上的动点.没BP=x,则尸C=l-x.则

V177+7i+（i-x）2=线段+线段;

②在（1）的条件下，已知0<x<l,求Jl+x，+Jl+（l-x）2的最小值;

（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求值7?-J（X_6）2+1的最大值.

25.（22-23八年级上•江苏苏州•阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.

【知识运用】

D

C

AB

（1）如图，铁路上48两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、。为两个村庄（看作两个点），AD1AB,

BCLAB,垂足分别为/、B,/。=25千米，5C=16千米，则两个村庄的距离为一米.

⑵在（1）的背景下，若42=40千米，/。=24千米，BC=16千米，现要在48上建造一个供应站尸，使得

PC=PD,请用尺规作图在图中作出尸点的位置并求出4尸的距离.

⑶【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式心+25+«9-x）2+49（其中0<x<9）最小

值为一

10/50

c拓展培优题

26.（24-25八年级上•安徽宿州•期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长"后，在它的左右肩上"生长"

出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次"生长"后，变成了如图所示的

形状图，如果继续"生长”下去，它将变得"枝繁叶茂"，"生长"了2024次后形成的图形中所有的正方形的面

积和是（）

A.1012B.2023C.2024D.2025

27.（24-25八年级上•江苏苏州•阶段练习）如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从

/点到2点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（）米.

A.3V17B.20C.15D.9亚

28.（24-25八年级上•湖南永州•阶段练习）代数式+招二¥喜最小值为（）

A.4B.5C.1+2^5D.2+75

29.（24-25八年级上•河南焦作•期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm,3cm和1cm,/和8是

这个台阶的两个相对的端点，点N上有一只蚂蚁，想到点3去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点8

的最短路程长为cm.

30.（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数

形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出

的三角形全等，朱方与青方是两个正方形.为便于叙述，将其绘成图2,若记朱方对应正方形GD出的边长

为。，青方对应正方形/2CZ）的边长为6,已知6-。=3,a2+b?=29,则图2中的阴影部分面积为.

3L（24-25八年级上•福建泉州•期末）我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理

进行理论证明.三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图"，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这

幅."勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图如图，小明利用正方形纸张画出内接的"赵爽弦图"，正方

形EFGH的各顶点均在正方形/8CA的边上.记正方形/8C。、正方形EFGH、正方形尸的面积分别

为邑,若正方形EFG8的边长为正，贝!]5+邑+$3=—.

32.（24-25八年级上•福建漳州•期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼

成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于1，另一种是等于四个直角

11

三角形与一个小正方形的面积之和，-abx4+（b-a）92,从而得到等式，2=506x4+（6-°）7一,化简便得结论

a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.

图1图2图3

请你用“双求法"解决下面两个问题:

⑴如图2,在RtA/3C中，4c3=90。，CO是48边上的高，AC=3,BC=4,求CD的长度；

（2汝口图3,在A4BC中，是2C边上的高，AB=15,AC=13,BC=14,设B0=x,求尤的值；

33.（24-25八年级上•甘肃张掖•期末）【教材变式】

【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形

拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是

等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的

方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用"双求法"解决下面问题：

【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2）,模仿上述过程也

能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程；

【应用】如图3,在V/BC中，4D是8c边上的高，AB=4,ZC=5,BC=6,设30=x,求x的值；

【拓展】如图4,将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为

24,OC=3,直接写出该飞镖状图案的面积.

13/50

3.1勾股定理的探究（2）

题型一、勾股定理的证明方法

基础达标题型二、证明勾股定理

题型三、有关弦图的计算问题

,题型四、构造勾股定理解决问题

勾股定理的题型一、勾股定理与展开图最短路径问题

能力提升题型二、勾股定理与三角形动点问题

探究（2）

题型三、构造直角三角形解决最值问题

拓展培优

A基础达标题

题型一、勾股定理的证明方法

1.（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图"，在

用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（）

A.c2=(a-b)2B.~^ab=(a-b)2C.c2=lab+(a-Z))2D.ab—c2—(a—b)2

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据面积关系证明勾股定理是解题的关键；根据大正方形的面积等

于4个直角三角形的面积与小正方形的面积之和证明即可.

【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，，小正方形的面积为伍—6）2,直角三角形的面积为:仍,

则c2=4x^ab+（a-b）2,

/.c2=2ab+（a-b?,

故选：C.

14/50

2.（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一.下面四幅图中，不能证明

勾股定理的是（）

A.

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键.先表示出

图形中各个部分的面积，再判断即可.

【详解】解：A、•.，+5c2+6）（。+6）,

，整理得：/+/=。2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

B、4x—ah+0?=（Q+b）2,

・•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

1,

C、4x—cib+（Z?-a）=c9,

・•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

故选：D.

3.（24-25八年级上•河南郑州•阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形

可以验证公式（）

A.(a+-b)=/-力B.+Z?)2=a2+lab+b2

C.a2=c2-b2D.(a-b)=a?—2ab+b?

【答案】C

【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为。的正方形，则其面积为。2,大正方形面积

15/50

等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，贝IJ大正方形的面积为4xgM+伍-。区二力+/，根

据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论.

【详解】解：大正方形是边长为C的正方形，则其面积为°2,

中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为（b-a）2,

大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为

4x—ab+(b-a)=4?+6?,

a2+b1=c1，BPa2=c2-b29

故选：C.

4.（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一.下列四幅图中，不能验证

勾股定理的是（）

B.

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键.根据等面积法证明

即可.

【详解】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意;

I2

B、伍-〃)=c2

••.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

12

C、4x—ab+c2=+,

••.整理得：a2+b2=c2

即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;

16/50

D、•—ab+~+—cib=—（a+b）（a+b）,

・•.整理得：a2+b2=c2,

即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

故选：A.

5.（23-24八年级•全国・单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、

乙两种方案，下列判断正确的是（）

甲乙

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确

C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结

合的思想是解此题的关键.

【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为（。+6『=/+2成+/，还可以表示为

—a/?x4+c2=2ab+c2,

2

a2+2ab+b2^2ab+c2,即/+〃=02,可以证明勾股定理，故甲正确；

乙方案中：大正方形的面积可以表示为=/+2仍+〃,还可以表示为/+/?+gabx4=a2+b2+2ab,

：.（a+b）2=a2+b2+2ab,不可以证明勾股定理，故乙错误；

故选:A.

题型二、证明勾股定理

6.（24-25八年级上•上海,期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的

周朝，当时商高提出了"勾三股四弦五”的特例.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且

很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽

创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.目前已知的勾股定理的证明

方法约有500多种.

⑴请写出勾股定理的内容.

（2）请写出一种勾股定理的证明方法.

【答案】⑴一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

⑵见解析

【分析】本题考查勾股定理及其证明：

（1）直接写出勾股定理即可；

（2）利用赵爽弦图进行证明即可.

【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；

（2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为。,6伍＞。），斜边为，）和一个小正方形组成，贝！］：

大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，

•*.c2=cr+b2■

7.（24-25八年级上•山东济南•期中）用图1中四个完全一样的直角三角形可以拼成图2的大正方形，解答

下列问题：

⑵利用（1）的关系式解答：如果大正方形的面积是25,且g+=49,求小正方形的面积.

【答案】（1）见解析；

⑵小正方形的面积等于1.

【分析】本题考查了对勾股定理的证明，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键.

18/50

（1）方法1、根据图2是由4个完全一样的直角三角形和1个小正方形构成的，所以其面积=1个正方形的

面积+4个三角形的面积；方法2、观察图形发现图2是一个正方形，所以其面积=边长2；写出。、b、c之

间的等量关系；

（2）直接用（1）的结论求出结果.

【详解】（1）证明：大正方形=4s三角形+S小正方形，

（Q-ZJ）2+4x~，

••〃-2ab+〃+4x—ctb=c2,

2

:.a2+/=c2;

（2）解：，,大正方形的面积是25,

c2=25=tz2+b2，

v（a+b）2=49,

/.Q?+2ab+b?=49，

lab=49-（a2+b2）,

2^=49-25=24.

由（1）得（0-6）2+4x；曲=/,

.1（aW-2ab=25-24=1,

二小正方形的面积等于L

8.（24-25八年级上•山西运城・期中）如图①的网格中有一个正方形和四个全等的直角三角形.

（1）请在图②中用图①的正方形和四个三角形拼接成一个更大的正方形/3C。；

⑵如果图①中的直角三角形的两直角边长分别为6,斜边长为。，请你利用图②拼成的图形证明勾股定

理.

【答案】⑴见解析

19/50

⑵见解析

【分析】题目主要考查勾股定理与图形面积计算，理解题意，作出相应图形是解题关键.

（1）根据题意作出相应图形即可；

（2）根据（1）中图形，分别表示出面积即可得出结果.

【详解】（1）解：如图所示正方形/BCD即为所求；

、21

(2)证明：S正方形/Be。=("+办)，S正方%80=4x,a6+c9,

(a+6)2=4xgab+c2,

:.a2+b2=c2•

9.（24-25八年级上•福建三明•期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定

理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图"是四个全等的直角三角形（两

直角边长分别为6,且。＞b,斜边长为c）和一个小正方形拼成的一个大正方形.

（1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积H.（结果化为最简）

方法1：耳=;方法2：5=；根据以上信息，可以得到等式

⑵将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2,若a=10,6=5,求图2中阴影部分的面积S2.

⑶图3,将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24,且6=3,

求该风车状图案的总面积.

2222

【答案】⑴/十〃；c；a+b=c;

20/50

(2)75；

⑶24

【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键.

（1）运用等面积法计算即可；

（2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可；

（3）将风车周长表示出来，其中b=3,c=9-“，再结合勾股定理求解出最后计算面积即可.

【详解】（1）解：方法1：={a+b）2—4x.—ab=a2+b2,

2

方法2：S1=c,

:.a2-^-b2=（?,

故答案为：a2+b2;c2;a2+b2=c2;

（2）解：S=a2+b2-2x—ab=a2+b2-ab,

?2

22

当。=10,6=5时，52=10+5-10X5=75；

（3）解：・・，b=3,外围轮廓（实线）的周长为24,

4c+4（Q-b）=4（Q-b+c）=24,

「・a+c=9,c=9—a,

a2+b2=c2

：.a2+9=（9-a）2,

解得：a=4,

S」abx4=2ab=2x4x3=24.

2

题型三、有关弦图的计算问题

10.（24-25八年级上•辽宁辽阳•阶段练习）有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1,把它们分割后拼

A.ab=2B.a2+b2=5

C.大正方形的边长是右D.大正方形的边长是百

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理，分析分割法及熟练掌握勾股定理是解题的关键.

根据题意在图中进行分割，然后再根据勾股定理即可求解.

【详解】解：按如图所示分割后可拼成一个大正方形，

a=1,b=2,

A、ab=2,选项正确，不符合题意；

B、cr+b2=5，选项正确，不符合题意；

C、大正方形的边长为：彳万=石，选项正确，不符合题意；

D、大正方形的边长是石，选项不正确，符合题意.

故选：D.

11.（24-25八年级上•重庆沙坪坝•期末）如图，是我因古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的

直角三角形拼接而成.若4B=17,AH=8,则正方形EFGH的边长是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关

键.

根据三角形全等性质得出==AG=BF=CE=BH,再根据勾股定理求出4G,然后

线段的和差即可解答.

【详解】解：：正方形/3CD为四个全等的直角三角形拼接而成，

AH=BG=CF=DE=8,AG=BF=CE=BH,

在Rta/BG中，由勾股定理=_8G2=J172-8z=15,

HG=AG-AH=15-^=7,即正方形EFGH的边长是7.

故选C.

22/50

12.（24-25八年级上•陕西咸阳•期末）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了"赵爽弦图"，如图

所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是29,每个

直角三角形的较短直角边均为2,则中间小正方形（阴影部分）的周长为（）

A.29B.14.5C.14D.12

【答案】D

【分析】本题主要考查勾股定理，设小正方形的边长为x,小三角形的长直角边长为（x+2）,根据勾股定理

列方程求解即可.

【详解】解：设小正方形的边长为x,小三角形的长直角边长为卜+2）,

根据题意得2?+（x+2>=29,

解得尤=3或x=-3（舍去），

小正方形的周长为3x4=12,

故选：D.

13.（24-25八年级•天津河北•期中）如图所示的"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方

形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12,大正方形的面积是169,则小正方形的面积

是.

【答案】49

【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据题意和题目中的数据，可以

计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积.

【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为阿=13,

小正方形的边长=12-,13?-12?=7，

23/50

二小正方形的面积为7x7=49,

故答案为：49

14.(24-25八年级上•浙江杭州•期末)如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形

ABCD与正方形EFGH,连结。尸并延长，交BC于点M.若S正方孙B0=5,E为/尸中点，则。尸的长

【答案】V5以

4

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，先证明A/切也△尸E4SAS),由全等三角

形的性质得到，DF=AD,进而证明即/=月W，根据勾股定理得。1〃=52+°2,建立方程解方程，

即可求解.

【详解】解：•.一为4F中点，

:.EF=-AF=AE,

2

又­.■ZAED=ZFED=90°,DE=DE,

:."ED也AFED(SAS),

DF=AD,

••v—5

,Q正方形45C。一，

DF=AD=5

DE//BG,

ZEDF=ZDFG,

•/ZFBM=ZEDF,ZDFG=ZBFM,

ZFBM=ZBFM,

BM=FM，

DM2=CM2+CD2,

：.(DF+BM)?=CD2+{BC-BM)?,

24/50

(V5+W)2=(V5)2+(V5-W)2,

BM=—,

4

故答案为：加，见.

4

15.(24-25八年级上•河南郑州•期末)用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个

正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为。，b(a<b),斜边长为c.

G

C

图①图②

(1)请利用图①证明：a2+b2=c2;

⑵如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形/BCDMG/Z,若该图形的

周长为80,OB=5,求该图形的面积.

【答案】⑴见解析

(2)120

【分析】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各

个线段长度及面积关系是解题关键.

(1)由图形可知，中间小正方形面积=大正方形面积等于一四个完全相同的直角三角形的面积，列出等式

化简即可得到结论；

(2)根据周长得到+设=则/3=20-x,结合勾股定理求出x,利用三角形面积公式，进

而求出该图形的面积.

【详解】(1)证明：由图可知5小正方形=仅一。)2=尸一2仍+/,

S小正方形=c2-4x；"Z)=c2-22b,

,•b~-2ab+a~=c2-2ab•

a2+b2=c2;

（2）解：由题意得，/B+/”=80+4=20,

25/50

设N〃=x,则A8=20-x,OH=OB=5,

在尺加0/8中403=90。，由勾股定理，得02?+0/2=/炉，

即52+（x+5）2=（20-x）\

解得x=7,

所以，该图形的面积是gx5x（5+7）x4=120.

题型四、构造勾股定理解决问题

16.（24-25八年级上•河南平顶山•阶段练习）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题："问

沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？"问题

大意：如图，在V/8C中，48=13里，BC=14里，4C=15里，求V/BC的面积.请你解决该问题.

【答案】黑瓯=84平方里

【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破

点，主要利用了勾股定理进行解答.过点A作4。18c于。，设5Q=x里，则CD=（14-x）里，利用勾股

定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求出V/2C的面积即可.

【详解】解：如图，过点A作AD工3C于。，

设8O=x里，贝1］。=8。-8。=(14-”里，

在RtaZAD中，AD2=AB2-BD2,即4。2=132-％2,

在RtA/CD中，AD2=AC2-CD2,BP^Z)2=152-(14-X)2,

132-X2=152-(14-X)2,

解得：x=5,

26/50

在RM/皿中，AD=yJ132-x2=7132-52=12,

=

••△7A12R>VC—2BC*AD=—2xl4xl2=84（平方里）.

17.（24-25八年级•内蒙古乌兰察布•期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b,

斜边长为c,则/+/=。2.

⑴图1为美国第二十任总统伽菲尔德的"总统证法"，请你利用图1推导上面的关系式.利用以上所得的直

角三角形的三边关系进行解答；

（2）如图2,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点/、B,其中/B=/C,由于某种

原因，由C到/的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点”H、B在一条

直线上），并新修一条路C”,且测得CH=6千米，，汨=4千米，求新路C4比原路C4少多少

千米？

⑶在第（2）问中若48W/C时，CHLAB,AC=8,BC=10,AB=12,,设/"=无，求x的值.

【答案】（1）见解析

⑵新路C"比原路C4少0.5千米

⑶T

【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用；

（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列

出关系式，化简即可得证；

（2）设。=x千米，则/〃=（x-4）千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果；

（3）在RMZC〃和RtA8Cff中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结

果.

【详解】（1）M：■：ABVAD,BCLAB,DELCE,

，梯形48cZ）的面积为:（。+6）（。+6）或;/+ab,

27/50

.•.5(4+6)(〃+/?)=502+ab,

ab+—c2=—a2+ab+—b2

222

即/+/2

(2)解：设。=x千米，则/〃=(x-4)千米，

在Rt"C"中，CA2=CH2+AH1,

即/=6°+(x—4)2,解得：x—6.5,BPCA=6.5,

CA-CH=6.5-6=0.5(千米)，

答：新路CH比原路G4少0.5千米，

(3)解：由题得，BH=12—x,

在RtdCH中，CH2=CA2-AH2,

在RtASCff中，CH2=CB2-BH2,

:.CA2-AH2=CB2-BH2,

,9

BP82-X2=102-(12-X),解得：x=~.

能力提升题

题型一、勾股定理与展开图最短路径问题

18.(23-24八年级•全国•课后作业)已知某植物绕着树干向上生长.

A/

(1)如果树干的周长(即图中圆柱的底面周长)为30cm,绕行一圈升高(即圆柱的高)40cm,则它绕行一

圈的长度是多少？

⑵如果树干的周长为80cm,绕行一圈的长度是100cm,绕10圈到达树顶，则树干高多少？

【答案】⑴50厘米

(2)6米

【分析】本题考查平面展开图问题，解题的关键是正确理解圆柱的侧面展开图，本题属于基础题型.

(1)将圆柱侧面展开后，利用勾股定理即可求出一圈的路程；

28/50

（2）求出该侧面图的宽，即/C的长度，由题意可知3C的长度，利用勾股定理即可求出树干高.

【详解】（1）如答图，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形.

由题意可得/C=30cm,NB=40cm,

所以BC?=AC2+AB2=302+402=2500，

所以8C=50cm.

答：植物绕行一圈的长度为50厘米.

（2）树干周长为80cm,即2c=80cm,

绕行一圈的长度是100cm,则8C=100cm.

^AB2=BC2-AC2=1002-802=3600,

所以48=60cm,

所以树干高为60x10=600（cm）=6（m）.

答：树干高为6米.

19.（23-24九年级下•山东聊城•阶段练习）如图，长方体的长为20cm,宽为10cm,高为15cm,点B与点C

之间的距离为5cm,一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖.

正面

⑴求点A到点3的距离；

（2）蚂蚁从点A爬到点5的最短路程是多少？

【答案】（1）点A到点8的距离为5vsem

⑵15行011

【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图.

29/5