2025-2026学年北京某中学八年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年北京大学附中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1・10题符合题意的选项只有一个.

1.（2分）在我校初二年级数学"对称之美”徽章设计实践活动中，以下同学的原创设计作品充满想象力

和创造力，请选出其中不是轴对称的图案（）（只考虑图形特征，不考虑颜色）

2.（2分）下列算式中计算正确的是（）

A.(2a)3=6。3

C.不入2=。3

3.(2分)如图，ZC=ZD=90>,BC=BD()

4.(2分)如图，△ABCmWCB,若/0=75°,则N/8C的度数是（

5.（2分）已知：。是等腰三角形，AB=AC,力。是底边8。上的高()

第1页（共32页）

A

B.BD=AD

C.力。平分NB4cD.N8=N。

6.（2分）如图，在△48C中，AB=AC,线段48的垂直平分线环交4C于点。，交4B于点E,则/ZMC

的度数是（）

A.20"B.30°C.40°D.23

7.（2分）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式

是（）

甲乙

A.(a-b)(a+b)=a1-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)1=cr-2ab+b2D.(2a-b)2=4a2-4ab+b2

8.（2分）如图，点M是N/OB平分线上的一点，点2、点。分别在射线CM、射线08上，若△。”户的

面积是2,则△OQM的面积是（)

A.1B.2C.3D.4

第2页（共32页）

9.（2分）已知一张三角形纸片,48。（如图甲），其中48=4C.将纸片沿过点8的直线折叠，使点。落

到48边上的£点处（如图乙）.再将纸片沿过点£的直线折叠，点4恰好与点。重合（如图丙）.原

三角形纸片/4C中，N/14。的大小为（）

甲乙丙

A.60°B.72°C.36°D.90°

10.（2分）如图是2X2的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形,

则正方形网格中与△力月。成轴对称的格点三角形的个数是（）

二、填空题：（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）若xWO,则x°=.

12.（3分）如图，RC、QE交于点O,且AC=£）E,使得△4AC0△/E£）,则可以添加的条件

是.

13.（3分）如图，一个直角三角板的一条直角边经过/力。8的顶点O,一把直尺经过三角板的直角顶点E

并且与这条直角边垂直，当CE=OE时，N4OE与N4O8的数量关系为：.

第3页（共32页）

A

14.（3分）如图是某商场•楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中/18、8分别表示•楼、二楼地面的水

平线，N44C=I5O°,AC的长是10em.

15.（3分）如图，8D是△48。的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E.若N4=36°,则N8QE

16.（3分）如图1,MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一介质射到分界面时,

折射光线进入第二介质.入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面

的法线组成的角分别叫作反射角、折射角.根据光线的反射定律，法国数学家费马提出著名的光行最速

原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，也就是光线行进的“光程”最短.

此原理是可以用数学方法证明的：如图2,光线经过点力射向分界面上的点。，反射经过点4,可以证

明要比其他路径（如沿着路径/尸8）短.若作点4关于分界面MN的对称点夕，请结合证明过程选出

下面结论中正确的，将序号填写在横线上.

①点4O,B'三点共线；②08=08'；®AP^BP<AO+OB

第4页（共32页）

法线

图1图2

三、解答题：（本题共62分，17题8分，18题・21题，每题5分，22・23题，每题6分，24-25题，每题7

分，26题8分）

17.（8分）计算：

（1）a2*a+2a5-i-a2；

（2）（x-3y）（xf）2.

18,（5分）已知：如图，点。为力8中点，CD=BE

求证：△ACD/ACBE.

19.（5分）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+y）Cx-y）-y1,其中x=3,y=2.

20.（5分）如图，ZX/BC是等边三角形，8。是中线，使CE=CD求N8OE的度数.

21.（5分）小兵遇到一个作图问题：如图，在^力^。中，N6=3NC

下面是小兵设计的尺规作图过程.

作法：①以点力为圆心，力8长为半径作弧，交线段8C于另一点Z）；

第5页（共32页）

②作线段。的垂直平分线/,直线/交线段4C于点号

③连接4。，DE.则△48。，AADE

根据小兵设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：由作图可知①

・・・N8=N.

VZ5=3ZC,

JNADB=3/C.

•・•直线/为线段co的垂直平分线，

：.CE=DE（）（填推理的依据）.@

:.ZC=NCDE.

：,NAED=NC+NCDE=2NC,

丁ZADB=NC+NUQ=3NC,

：.ZCAD=ZADB-ZC=2ZC.

JZAED=ZCAD.

:.AD=DE（）（填推理的依据）.③

由①②③得：△力夕。，△4。凡△《、£）石均为等腰三角形.

22.（6分）如图，在平面直角坐标系中，ZX/IB。各顶点的坐标分别为：A（1,6）,B（-3,2）,C（3,4）.

（1）在图中作△/'B'C',使△力'B'C和△48C关于x轴对称；

（2）写出点C关于y轴的对称点的坐标；

（3）点。是x轴.上的一个动点，当△08C的周长最小时，在图中画出点。的位置_____________.

第6页（共32页）

23.（6分）如图，在△AB。中，ZJC5=90°，D4平分N8E,h.AB=AE,BD=3,求QE的长.

24.（7分）对于一个正整数〃，若存在正整数也使得〃能表示为k和1-2的平方差2-52,则24为7系

平方差数.

（1）直接写出6系平方差数；

（2）已知M=（3%-2）（3什2）-3k（3k-1）+5为左系平方差数；

（3）已知m人为正整数，a>b,且（a+2/7）2-36（Z>+2a）-4为A系平方差数.

①直接写出a与b之间的数量关系;

②若a+b+8是k系平方差数，请写出2025a-2023/）是系平方差数（用含k的代数式来

表示）.

25.（7分）如图，△43C为等边三角形，在△48c的外侧作射线力尸（0°<a<90°），点8关于射线/P

的对称点为点。，连接力。

（1）依题意补全图形；

第7页（共32页）

(2)当a=20°,ZADC=°；

(3)当0°<a<60°时，用等式表示BE,并证明；

(4)若△O4C为等腰三角形，直接写出a的度数

26.(8分)在平面直角坐标系中，S是给定的〃(〃23)边形出山…4.我们称如下的变换为一次“S-

轴反射变换”:将平面内一点X沿直线力"2进行翻折得到点无；将点%|沿直线A2A3翻折得到点先；…;

将点沿直线4小翻折最终得到点X〃,并记点X”为点X在“S-轴反射变换”下的像点.请回答下

列问题：

(1)如图1,若S是给定的等腰直角三角形4加小(ZJ2=90°),顶点坐标为小(0,0),A2<0,2),

Ay(2,2),则点M(1,0)在此“S一轴反射变换”下的像点%的坐标为：

(2)如图2,若S是给定的四边形4顶点坐标为小(-2,2),J2(-2,-2),/13(2,-2),

4(2,2),点4在此“S-轴反射变换”下的像点治的坐标是(9,7〉，则点8的坐标为；

四边形内一点尸(a,b)的像点尸〃的坐标是(用含a,8的代数式表示)；

(3)如图3,若S是给定的平面内一个等边三角形出力2/13,点P是此三角形内(不含边界)一点，对

点P进行一次“S-轴反射变换”得到点为，是否存在点P使得尸3和尸重合？如果存在，请在图中给

出点夕的具体位置；如果不存在

第8页(共32页)

y

F8

:

:7

:

6

-:i5

*:.

:4

-

:3

:A

f

M•To2Lx

Zif-'o

l4«:3-・--7.

I—

I-5TI:

—

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一

一

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：■4T-1

IF,C

JJILI1

■)一--

:t-II—

LIAIK—

.■:.-y3<--4•.

f

-T6

T

图2

第9页（共32页）

2025-2026学年北京大学附中八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CBDABBAABB

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题符合题意的选项只有一个.

1.（2分）在我校初二年级数学“对称之美”徽章设计实践活动中，以下同学的原创设计作品充满想象力

和创造力，请选出其中不是轴对称的图案（）（只考虑图形特征，不考虑颜色）

【解答】解：力、选项中的图形能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合;

8、选项中的图形能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；

C、选项中的图形不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；

。、选项中的图形能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合.

故选：C.

2.（2分）下列算式中计算正确的是（）

A.（2a）3=6苏B.a3*a5=an

C.a6~ra2=a3D.（-tz3）2=-a6

【解答】解：直接利用同底数幕的乘法和除法法则、积的乘方运算法则依次判断如下：

A.（2。）3=3。3,故力不正确，不符合题意；

£a3・q3=q8,故4正确，符合题意；

笫10页（共32页）

C.t/6-ra7=a4,故。不正确，不符合题意;

D.（-^）4=〃6,故。不正确，不符合题意;

故选：B.

3.(2分)如图，NC=NO=9()',BC=BD()

A.SASB.ASAC.AASD.HL

【解答】解：•；NC=ND=90°,

••・△朗。和△8力。都是直角三角形,

在RtA^JC和Rt△历1。中,

BC=BD

AB=AB

JRSXgRt△历IHL),

，证明△从1C0△ZMQ的理由是：HL,

故选：D.

4.（2分）如图，△ABCmADCB,若/。=75°,则的度数是（)

70°C.75°D.55°

【解答】解：,:△ABg/XDCB,/。=75°,

AZJ=ZD=75°,/ACB=NDBC=40",

,/ZABC\ZA\N/1C8=180°,

，N/L5C=I8O0-ZJ-ZJC5=180°-75°-40°=65°.

故选：A.

5.（2分）已知：△/8c是等腰三角形，AB=AC,力。是底边8c上的高)

BDC

第11页（共32页）

A.BD=CDB.BD=AD

C.40平分/加CD./B=/C

【解答】解：＜AB=AC,

•••力。是底边8c上的高，

:,BD=CD,4D平分NB4C,

・•・/、C、。都是正确的，不符合题意，

8不一定成立，符合题意，

故选：B.

6.（2分）如图，在△力4c中，AB=AC,线段/也的垂直平分线EF交力。于点。，交AB于点、E,则N。4c

的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.25°

【解答】解：・・・//=40°,AB=AC,

；・NABC=/ACB=70°,

又TOE垂直平分48,

：,DB=AD

：.ZABD=ZA=4（r,

:・NDBC=NABC-NABD=10°-40°=30°.

故选：B.

7.（2分）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式

是（）

第12页（共32页）

甲乙

A.(u-b)(a+力)=『・PB.(a十〃)'=J十2必十/

C.(a-b)2=a2-lab-^-b2D.(2a-b)2=4r/2-4ab+b2

【解答】解：如图，图甲中①，

图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差2-房，

因此有(a+b)(a-b)=a4-b2,

8.(2分)如图，点〃是N498平分线上的一点，点产、点。分别在射线04、射线。8上，若△OMP的

面积是2,则△OQM的面积是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：过点M作ME_LOP,MFLOB.F.

•・•”是/408平分线上的一点，MEJLOP,

:,ME=MF.

丁S“)MP=幺PXEM=3,

2

：.0PXEM=4.

rO产=20。,

第13页(共32页)

；・0QXEM=8.

.\S„OMQ=^OQXEF

=^OQXEM

=1.

故选：A.

9.（2分）已知一张三角形纸片,48C（如图甲），其中48=4C.将纸片沿过点8的直线折叠，使点C落

到边上的E点处（如图乙）.再将纸片沿过点E的直线折叠，点力恰好与点。重合（如图丙）.原

三角形纸片Z8C中，N/i8c的大小为（）

D.90°

【解答】解：:AB=AC,

，ZABC=ZC,

由折叠得/8EO=NC,NEDF=NA,

••・/BED=NEDF+N4=24,

，ZJ5C=ZC=2ZJ,

VZJ5C+ZC+ZJ=180°,

/.8ZJ+2ZJ+Z^=180o,

AZJ=36°,

AZABC=2ZA=12°,

故选：B.

第14页（共32页）

10.（2分）如图是2X2的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形,

则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是（）

A.6个C.4个D.3个

【解答】解：与△力8C成轴对称的格点三角形如图所示,

在图中最多能画出3个不同的格点三角形与成轴对称.

故选：B.

二、填空题：（本题共18分，每小题3分）

11.（3分）若xHO,贝I]x0=1.

【解答】解：x0=L

故答案为：6.

12.（3分）如图，BC、交于点O,且BC=DE,使得△力8cg△力£。，则可以添加的条件是/B=

NE或/力。4=NADE或N4CE=NEDB或4B=4E.

【解答】解：,:BC=DE,N/=N4

・•・当添加一个条件，使得△力始且/\力瓦）时

①当添加N8=NE时，可使得A/BC丝A4ED

在△48C和△力EO中,

第15页（共32页）

rZB=ZE

<NA=/A，

BC=DE

:.△ABgAAED(AAS\

②当添加乙4cB=/月。£时，可使得△力E。

在△力8c和△力石。中，

rZACB=ZADE

■ZA=ZA,

BC=DE

：./\ABC^^AED(44S)：

③当添加N8CE=NEQ8时，可使得。丝△月KO

〈NBCE+NACB=180°,NEDB+/ADE=180",

/.ZACB=ZADE,

在△力8c和△力石。中，

rZACB=ZADE

'ZA=ZA，

BC=DE

:•△ABgAAED(AAS)：

④当添加/必=4?时，可使得△48。g/\力£。

在△//。和△力EO中，

rAB=AE

<NA=NA，

BC=DE

:•△ABC/4AED(4S/D；

综上所述：添加的条件是N8=Z£或/力CB=/ADE或NBCE=/EDB或AB=AE.

故答案为：ZB=ZE或N4CB=/ADE或/BCE=/EDB或AB=AE.

13.（3分）如图，一个直角三角板的一条直角边经过N4O8的顶点O,一把直尺经过三角板的直角顶点E

并且与这条直角边垂直，当CE=Z）E时，N/OE与N/O〃的数量关系为；ZAOB=2ZA（）E.

第16页（共32页）

【解答】解：'：OEVCD,DE=CE,

・・・0E是。。的垂直平分线，

：,OC=OD,

：,ZAOB=2ZAOE,

故答案为：NAOB=2NAOE.

14.（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中44、C。分别表示一楼、二楼地面的水

平线，N/8C=150°,8C的长是〃?.

AZCW=180°-150°=30°,

在RtZXCBM中，

•：BC=\0m,NC8W=30°,

:.CM=Uc=7m,

2

即乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m.

故答案为：5.

15.（3分）如图，8。是△48。的角平分线，过点、D作DE〃BC交AB于点、E.若/力=36°,则N8DE

=40°.

【解答】解:•••4=36°,/BDC=76°,

又二乙BDC延4ABD的一个外角，

第17页（共32页）

：.ZBDC=ZA+ZABD,

即76°=36°+ZABD,

•••480=76°-36°=40°,

VBD是△力8c的角平分线，

；・NCBD=N/iBD=40°,

*：DE〃BC,

；・/BDE=NCBD=40°.

故答案为：40.

16.（3分）如图1,MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一介质射到分界面时,

折射光线进入第二介质.入射光线与分界面的法线组成的角叫作入射角，反射光线、折射光线与分界面

的法线组成的角分别叫作反射角、折射角.根据光线的反射定律，法国数学家费马提出著名的光行最速

原理：当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短，也就是光线行进的“光程”最短.

此原理是可以用数学方法证明的：如图2,光线经过点力射向分界面上的点。，反射经过点以可以证

明要比其他路径（如沿着路径加小）短.若作点8关于分界面MN的对称点夕，请结合证明过程选出

下面结论中正确的，将序号填写在横线上①⑵③.

①点4,O,B'三点共线；@OB=OB'；④AP+BPVA8OB

NMP0

折射光线

牌

Bf

角

ffll图2

【解答】解：•・•入射角等于反射角，即

A90°-4EOB=900-Z.EOA,

，/MOA=NNOB,

根据轴对称可知：/NOB'=NNOB,

:・/NOB'=ZMOA,

・••点“，O,B'三点共线，符合题意：

第18页（共32页）

由条件可知MN垂直平分88',

：,OB=OB',故②正确：

•:点P在MN上，MN垂直平分8B,，

:・PB=PB'，故③正确：

•:AP+BP=AP+B'P,

又,；AP+B'P>ABr=AO+OBf=AO+OB,

：.AP+BP>AO+OB,故④错误；

综上分析可知：正确的有①②③.

故答案为：①②③.

三、解答题：(本题共62分，17题8分，18题-21题，每题5分，22・23题，每题6分，24・25题，每题7

分，26题8分)

17.(8分)计算：

(1)a2*a+2a5-i-a2：

(2)(x-3y)(xy2)2.

【解答】解：(1)原式=/+2/

=3八

(2)原式=(x-4y)•x2/

=祗4_30/.

18.(5分)已知：如图，点。为44中点，CD=BE

求证：4ACD安4CBE.

第19页(共32页)

cD

屋-------------

【解答】证明：・・・C是45的中点（已知），

:・AC=CB（线段中点的定义）.

'CCD//BE（已知），

・・・N/CO=N8（两直线平行，同位角相等）.

在△4CO和△C8E中，

AC=CB

<ZACD=ZCBE.

CD=BE

:.XACD沿XCBE（SAS）.

19,（5分）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+y）（x-y）-y2,其中x=3,y=2.

【解答】解：（x+2y）2+（x+y）（x-y）-7

=x2+4xy+5y1+x2~y1~y2

=2X4+4X）H-2V8,

当x=3,y=2时，

原式=8X32+7X2X3+5X22=18+24+2=50.

20.（5分）如图，△川9c是等边三角形，8。是中线，使CE=CQ.求N8OE的度数.

【解答】证明：：8。是中线，△48。是等边三角形,

・・・N。4c=30°,NABC=N.4CB=6()°,

又•：CE=CD,

:,NCDE=NCED,

又,//BCD=/CDE+/CED,

第20页（共32页）

ZCDE=ZCED=yZBCD=30"，

；・NDBC=NDEC=30°,

AZ5Z）E=180°-30°-30°=120°.

21.（5分）小兵遇到一个作图问题：如图，在中，ZB=3ZC

卜面是小兵设计的尺规作图过程.

作法：①以点月为圆心，月6K为半径作孤，交线段8C于另点D；

②作线段C。的垂直平分线/，直线/交线段力C于点匕

③连接力。，DE.则△/BO,/XADE

根据小兵设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：由作图可知力4=4。，①

:・NB=NADB.

'：NB=3NC,

・•・NADB=3/C.

•・・直线/为线段CD的垂直平分线，

:・CE=DE（垂宜.平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）.②

：.ZC=ZCDE.

ZAED=ZC+ZCDE=2ZC,

•・•ZADB=ZC+ZC/1D=3ZC,

：.ZCAD=ZADB-ZC=2ZC.

JNAED=/CAD.

：.AD=DE（等角对等边）（填推理的依据）.③

由①②③得：△彳8。，AADE,△COE均为等腰三角形・

【解答】⑴解:如图所示.

第21页（共32页）

（2）证明：由作图可知48=/1。，①

:・NB=NADB.

•・・/8=3/C,

・•・NADB=3NC.

•・•直线7为线段CD的垂直平分线，

・・・CE=DE（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）.②

AZC=ZCD£.

/.ZAED=ZC+ZCDE=8ZC,

NADB=ZC+ZCJD=3ZC,

：.ZCAD=ZADB-ZC=2ZC.

JNAED=NCAD.

：,AD=DE（等角对等边）.（3）

由①②③得：AABD,AJZ）E.

故答案为：ADB-,垂直平分线上任意一点；等角对等边.

22.（6分）如图，在平面直角坐标系中，ZX/IB。各顶点的坐标分别为：力（1,6）,4（-3,2）,C（3,4）.

（1）在图中作△<‘B'C',使△，B'C和4力^。关于x轴对称；

（2）写出点C关于y轴的对称点的坐标（-3,4）；

（3）点。是x轴上的一个动点，当△08。的周长最小时，在图中画出点。的位置一（-I,0）.

第22页（共32页）

y

【解答】解：（1）直接利用关于X轴对称点的性质得出答案，如图所示.

（2）点C关于y轴的对称点的坐标为（-3,4）；

故答案为：（・3,4）；

（3）如图所示：连接BC'交x轴于点0,

。点的坐标为（-1,8）.

故答案为：（-1,0）.

第23页（共32页）

23.（6分）如图，在△AB。中，ZJC5=90°，D4平分N8E,h.AB=AE,BD=3,求QE的长.

【解答】解：如图，过点力作力〃_LOE于〃,

•：CD=2,8。=3,

:・BC=6,

平分NCDE,ZACD=9O0,

AZADC=ZADH,NC=NAHD=NAHE=90。,

在△/IOC和△力。〃中,

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rZADC=ZADH

<ZC=ZAHD，

AD二AD

:•△ADgfDII(AAS),

:・AC=AH,CD=DH=2,

在RtA/i5C和R【△力EH中，

[AC=AH,

lAB=AE，

，Rl△力4c和RtAJEHkHL),

:,BC=EH=5,

:,DE=DH+HE=8.

24.(7分)对于一个正整数力若存在正整数后，使得〃能表示为k和&-2的平方差2-52,则24为7系

平方差数.

(1)直接写出6系平力差数_致_:

(2)已知必=(34-2)(3A+2)-3〃(3八1)+5为A系平方差数；

(3)已知。，/)为正整数，a>b,且(a+2h)2-3bCb+2a)-4为％系平方差数.

①直接写出a与b之间的数量关系i=4；

②若a+b+8是k系平方差数,请写出20254-2023/)是什2022系平方差数(用含A的代数式来表示).

【解答】解：(1)对于一个正整数〃，若存在正整数比那么称这个正整数〃为k系平方差数.

62-52=36-16=20,

故答案为：20；

(2)依题意可知，

(3女-7)(3k+2)-5/(3%・I)+8=3・(Zr-2)7,

整理得：-4+3好8=软-4,

解得：k=4,

AM=52-(3-2)2=25-7=16；

(3)①(。+28)2-7b32。)-4

=/+4aZ?+4b4-3Z)2-6ab-4

=a2-5ab+b2-4

=(a-h)5-22,

V(«+8/>)2-3/)(b+7a)-4为〃系平方差数，且〃>儿

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-b=k,k-2=7,

解得攵=4,

・・・a-b=2+3=4,

故答案为：a-力=4；

②・・・a+b+2是4系平方差数，

：,a+b+S=k2-(A-3)2,

a+b+8=8片-4,

由①得a-b=4,

，a=b+4,

：,b+4+b+S=2k-4,

:.b=2k-4,

：.a=2k-4,

工2025a-2023b

=2025X(64-4)-2023X(2k-7)

=44+8084,

设2025a-2023b是n系平方差数，则4什8084=--(〃-2)2,

.,.7^+8084=4/?-4,

.•.〃=A+2O22,

••・2025a-20236是什2022系平方差数.

故答案为：AH-2022.

25.(7分)如图，△力BC为等边三角形，在△力8c的外侧作射线4P(0°<a<90°)，点8关于射线AP

的对称点为点。，连接力。

(1)依题意补全图形；

(2)当a=20°,ZADC=40°；

(3)当()°<a<60°时，用等式表示力E,BE,并证明；

(4)若△QAC为等腰三角形，直接写出a的度数30°或75°.

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AA

【解答】解：（1）过点6作/I尸的垂线，交4尸于点。，则点。是点6关于射线力尸的对称点、CD,如

图所示：

(2)•••△48C为等边三角形，

:・AB=AC,ZBAC=60a,

根据轴对称可知：AD=AB,NDAP=NBAP=20°,

：.ZDAC=ZDAP+ZBAP+ZBAC=\QO°,

•，-ZADC=ZACD-5-(180O-100")=40°；

(3)CD=4E+3BE,证明如下：

在CO上截取8G=8E,如图：

•••△48。是等边三角形，

：.AC=AB,ZBAC=60a,

由对称可知:BE=DE,AB=AD,

：.AC=AD,

：,NACD=ND,

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・：/BAP=a,

：.ZPAD=a,

AZCAD=ZBAC+ZPAB+ZPAD=60°+2a,

••­ZADC=y(180°-ZCAD)=60°-a，

VZAEC=ZD+ZDAP=60°-a+a=60°,

••・N8CG=GO°-RACD,ZDAE=60Q-N力,

•・•NACD=ND,

:・NBCG=/DAE,

由对称可知：/PEB=/PED，DE=BE,

ZPED=ZAEC=60°,

:・/PEB=NPED=6G,

.•・N4£G=18O0-60"-60°=60”，

,:BG=BE,

•••△BGE是等边三角形，

；・NBGE=60°,BG=EG=BE=DE,

・・・N8GC=120°,

VZJEZ)=180°-ZAEC=\20a,

JZAED=ZBGC,

在ABCG和△£)/£：中，

rZBCG=ZDAE

'ZBGC=ZAED.

BC=AD

:ZCG叁2DAE(AAS),

：,AE=CG,

,:EG=BE=DE,

：・CD=AE+2BE；

(4)①当8。=。。时，延长D4交4c于点E

第28页（共32页）

A

•；AC=AB,BD=CD,

・•・/£）垂直平分BC,即4E垂直平分8C,

•:AABC为等边三角形，

••­ZBAE=ZCAE=^-ZBAC=SO"，

o

AZD/1B=180°-30°=150°,

根据轴对称可知：a=ZPAD=ZPAB=1-ZDAB=75O：

②当BC=BD时，如图：

根据轴对称可知：AB=AD,

:,AB=AD=BC=BD,

是等边三角形，

：.ZBAD=60°,

・•・aq*600=30°；

③当8C=CO时，如图：

BC

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'：CD=BC,AD=AB,

・・・4C垂直平分BD,

根据轴对称可知，力户垂直平分40,

C»力，尸三点在同一条直线上，

・・・NE48=a=180°-ZBAC=\20Q（不合题意，舍去），

综上所述，当△OBC是等腰三角形时♦.

故答案为：30°或75°.

26.（8分）在平面直角坐标系中，S是给定的〃（〃23）边形出山…4.我们称如下的变换为一次“S-

轴反射变换”:将平面内一点X沿直线出小进行翻折得到点荀；将点%|沿直线力汹3翻折得到点必；…；

将点Xn.\沿直线AnAi翻折最终得到点X〃,并记点Xn为点X在“S-轴反射变换”下的像点.请回答下

列问题：

（1）如图1，若S是给定的等腰直角三角形小月2小（N血=90°）,顶点坐标为小（0,0）,Ai（0,2）,

Ay（2,2）,则点"（1,0）在此“S-轴反射变换”下的像点A/3的坐标为（4,7）:

（2）如图2,若S是给定的四边形出42用4顶点坐标为小（-2,2）,4（-2,-2）,A3（2,-2）,

44（2,2）,点4在此“S-轴反射变换”下的像点厮的坐标是（9,7）,则点8的坐标为（1,-1）；

四边形内一点b）的像点巴的坐标是（8+a,8+人）（用含a,8的代数式表示）；

（3）如图3,若S是给定的平面内一个等边三角形出片乂3,点P是此三角形内（不含边界）一点，对

点P进行一次“S一轴反射变换”得到点心，是否存在点P使得03和"重合？如果存在，请在图中给

出点P的具体位置.；如果不存在

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y

7

6

5